8_1向量及其线性运算

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数量关系,第八章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中,:,空间形式,点,线,面,基本方法,坐标法,;,向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量及其线性运算,第,七,章,表示法,:,向量的模,:,向量的大小,一、向量的概念,向量,:,(,又称,矢量,).,既有,大小,又有,方向,的量称为向量,向径,(,矢径,):,自由向量,:,与起点无关的向量,.,起点为原点的向量,.,单位向量,:,模为,1,的向量,零向量,:,模为,0,的向量,有向线段,M,1,M,2,或,a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,规定,:,零向量与任何向量平行,;,若向量,a,与,b,大小相等,方向相同,则称,a,与,b,相等,记作,a,b,;,若向量,a,与,b,方向相同或相反,则称,a,与,b,平行,a,b,;,与,a,的模相同,但方向相反的向量称为,a,的,负向量,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量,共线,.,若,k,(3),个向量经平移可移到同一平面上,则称,此,k,个向量,共面,.,记作,a,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、向量的线性运算,1.,向量的加法,三角形法则,:,平行四边形法则,:,运算规律,:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,向量的减法,三角不等式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,向量与数的乘法,是一个数,规定,:,可见, 与,a,的乘积是一个新向量,记作,总之,:,运算律,:,结合律,分配律,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,1.,设,a,为非零向量,则,(,为唯一实数,),证,:,“ ”.,取,且,再证数,的唯一性,.,则,a,b,设,a,b,取正号,反向时取负号,a,b,同向时,则,b,与,a,同向,设又有,b,a,机动 目录 上页 下页 返回 结束,“ ”,则,例,1.,设,M,为,解,:,ABCD,对角线的交点,已知,b,a,b,0,a,b,同向,a,b,反向,a,b,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系,.,坐标原点,坐标轴,x,轴,(,横轴,),y,轴,(,纵轴,),z,轴,(,竖轴,),过空间一定点,o ,坐标面,卦限,(,八个,),zox,面,1.,空间直角坐标系的基本概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点,P,Q,R,;,坐标面上的点,A,B,C,点,M,特殊点的坐标,:,有序数组,(,称为点,M,的,坐标,),原点,O,(0,0,0) ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,坐标轴,:,坐标面,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点,M,则,沿三个坐标轴方向的,分向量,.,的坐标为,此式称为向量,r,的,坐标分解式,任意向量,r,可用向径,OM,表示,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解,:,2,3 ,得,代入得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,已知两点,在,AB,直线上求一点,M,使,解,:,设,M,的坐标为,如图所示,及实数,得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,由,得,定比分点公式,:,点,M,为,AB,的中点,于是得,中点公式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、向量的模、方向角、投影,1.,向量的模与两点间的距离公式,则有,由,勾股定理得,因,得,两点间的距离公式,:,对,两点,与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,求证以,证,:,即,为等腰三角形,.,的三角形是等腰三角形,.,为,顶点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,在,z,轴上求与两点,等距,解,:,设该点为,解得,故所求点为,及,思考,:,(1),如何求在,xoy,面上与,A,B,等距离之点的轨迹方程,?,(2),如何求在空间与,A,B,等距离之点的轨迹方程,?,离的点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示,:,(1),设动点为,利用,得,(2),设动点为,利用,得,且,例,6,.,已知两点,和,解,:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取,空间一点,O,称,=AOB,(,0,),为向量,的,夹角,.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角,.,与三,坐标轴的夹角,为其,方向角,.,方向角的余弦称为其,方向余弦,.,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向余弦的性质,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角,.,解,:,计算向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,8,.,设点,A,位于第一卦限,解,:,已知,角依次为,求,点,A,的坐标,.,则,因点,A,在第一卦限,故,于是,故,点,A,的坐标为,向径,OA,与,x,轴,y,轴的夹,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,空间一点在轴上的投影,3.,投影,空间一向量在轴上的投影,关于向量的投影定理（,1,）,证,关于向量的投影定理（,2,）,（可推广到有限多个）,按基本单位向量的坐标分解式：,在三个坐标轴上的分向量,：,向量的坐标,：,向量的坐标表达式,：,特殊地,：,备用题,解,:,因,1.,设,求,向量,在,x,轴上的投影及在,y,轴上的分向量,.,在,y,轴上的,分向量为,故在,x,轴上的,投影为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设,求以,向量,行四边形的对角线的长度,.,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,机动 目录 上页 下页 返回 结束,