第2章线性系统数学模型4

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2.5,信号流图,方框图及其等效变换虽然对分析系统很有效,。但对于复杂的控制系统，,方框图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时，并易于出错,。,Mason,提出的,信号流图,方法，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。,信号流图和方框图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而信号流图也是一种数学模型。,1,2.5.1,信号流图的定义,信号流图是一种将线性代数方程组用图形来表示的方法。例如：,信号流图中，用小圆圈“,O,”,表示变量，并称其为,节点,。节点之间用,加权,的有向线段连接，称为,支路,。通常在支路上标明前后两个变量之间的数学关系，因此支路的,权又称为,传输,。,2,2.5.2,信号流图的绘制,由微分方程求解 方程，这与画方块图差不多。,由系统方块图绘制。,例,2-9,如上图所示的电阻网络，,v,1,为输入、,v,3,为输出。选,5,个变量,v,1,、,i,1,、,v,2,、,i,2,、,v,3,，,由电压、电流定律可写出四个独立方程,3,将变量,V,1,(,s,),、,I,1,(,s,),、,V,2,(,s,),、,I,2,(,s,),、,V,3,(,s,),作节点表示，由因果关系用支路把节点与节点联接，得信号流图。,4,2.5.3,信号流图的定义和术语,节点,：表示变量或信号的点，用“”表示。,支路,：连接两个节点之间的有向有权线段，方向,用箭头表示，权值用传输函数表示。,输入支路,：指向节点的支路。,输出支路,：离开节点的支路。,源节点,：只有输出支路的节点，也称输入节点，,如图中节点,X,1,。,汇节点,：只有输入支路的节点，如图节点,X,7,。,5,混合节点,：既有输入支路、又有输出支路的节点，,如图中的,X,2,、,X,3,、,X,4,、,X,5,、,X,6,。,通道,(,路径,),：沿着支路箭头方向通过各个相连支路,的路径，并且,每个节点仅通过一次,。,如,X,1,到,X,2,到,X,3,到,X,4,或,X,2,到,X,3,又反馈回,X,2,。,6,前向通道,：从输入节点,(,源节点,),到汇节点的通道。,如图,X,1,到,X,2,到,X,3,到,X,4,到,X,5,到,X,6,到,X,7,为,一条前向通道，又如,X,1,到,X,2,到,X,3,到,X,5,到,X,6,到,X,7,也为另一条前向通道。,7,闭通道,(,反馈通道或回环,),：通道的起点就,是通道的,终点，如图,X,2,到,X,3,又反馈到,X,2,；,X,4,到,X,5,又反馈到,X,4,。,自回环,：单一支路的闭通道，如图中的,-,H,3,构成,自回环。,8,通道传输或通道增益,：沿着通道的各支路传输的,乘积。如从,X,1,到,X,7,前向通道,的增益,G,1,G,2,G,3,G,4,G,5,G,6,。,不接触回环,：如果一些回环没有任何公共的节点，,称它们为不接触回环。如,G,2,H,1,与,G,4,H,2,。,9,2.5.4,信号流图的性质,（,1,）信号流图只适用于线性系统；,（,2,）信号流图所依据的方程式，一定为因果函数形式的代数方程；,（,3,）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；,（,4,）节点上可把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路；,（,5,）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的支路，可把其变为输出节点，即汇节点；,（,6,）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。,10,2.5.5,信号流图的简化,（,1,）加法规则：,n,个同方向并联支路的总传输，等于各个支路传输之和，如图,(a),所示：,（,2,）乘法规则：,n,个同方向串联支路的总传输，等于各个支路传输之积，如图（,b,）。,11,（,3,）混合节点可以通过移动支路的方法消去，如图（,c,）。,（,4,）回环可根据反馈连接的规则化为等效支路，如图（,d,）。,12,例,2-10,将图,2-43,所示系统方框图化为信号流图并化简求出系统的闭环传递函数,13,解：信号流图如图,(,a,),所示。化,G,1,与,G,2,串联等效为,G,1,G,2,支路，,G,3,与,G,4,并联等效为,G,3,+,G,4,支路，,14,如图,(,b,),，,G,1,G,2,与,-,H,1,反馈简化为 支路，又与,G,3,+,G,4,串联，等效为 如图,(,c,),15,进而求得闭环传递函数为,16,2.5.6,信号流图的增益公式,给定系统信号流图之后，常常希望确定信号流图中输入变量与输出变量之间的关系，即两个节点之间的总增益或总传输。上节采用信号流图简化规则，逐渐简化，最后得到总增益或总传输。但是，这样很费时又麻烦，而梅逊,(Mason),公式可以对复杂的信号流图直接求出系统输出与输入之间的总增益，或传递函数，使用起来更为方便。,17,信号流图上从源节点（输入节点）到汇节点（输出节点）的总传输公式，即梅逊公式：,式中,系统总增益（总传递函数）,前向通路数,第,k,条前向通路增益,18,所有不同回路增益乘积之和；,所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；,所有任意,m,个不接触回路增益乘积之和。,的计算公式为：,信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是,，变化的只是其分子。,为与第,k,条前向通路,不,相接触的那一部分信号流图,的,值，称为第,k,条前向通路特征式的余因子式。,19,例,2-11,利用梅逊公式求图,中,所示系统的传递函数,C,(,s,)/,R,(,s,),。,20,前向通道有,4,条，对应,P,k,与,k,为：,P,1,=,G,1,G,2,G,3,G,4,G,5,1,=1,P,2,=,G,1,G,6,G,4,G,5,2,=1,P,3,=,G,1,G,2,G,7,G,5,3,=1,P,4,=-,G,1,G,6,G,2,G,7,G,5,4,=1,解：图中有,6,个回环，其增益为：,L,1,=-,G,3,H,2,，,L,2,=-,G,5,H,1,，,L,3,=-,G,2,G,3,G,4,G,5,H,3,，,L,4,=-,G,6,G,4,G,5,H,3,，,L,5,=-,G,2,G,7,G,5,H,3,，,L,6,=,G,6,H,2,G,7,G,5,H,3,其中,L,1,与,L,2,互不接触，其增益之积,L,1,L,2,=,G,3,G,5,H,1,H,2,系统特征式,21,系统的传递函数为,22,例,2-12,求图示信号流图的闭环传递函数,解：系统单回环有：,L,1,=,G,1,，,L,2,=,G,2,，,L,3,=,G,1,G,2,，,L,4,=,G,1,G,2,，,L,5,=,G,1,G,2,系统的特征式,为：,23,前向通道有四条：,P,1,=-,G,1,1,=1,P,2,=,G,2,2,=1,P,3,=,G,1,G,2,3,=1,P,4,=,G,1,G,2,4,=1,系统的传递函数为,24,例,2-13,已知系统的结构图，试,：（,1,）画出系统的,信号流图；（,2,）利用梅森公式求系统的传递函数,C,(,s,)/,R,(,s,),和,C,(,s,)/,N,(,s,),。,25,解：绘制系统的信号流图：,系统有,4,个回环：,L,1,=-,G,1,G,2,H,1,，,L,2,=-,G,2,G,3,H,2,，,L,4,=-,G,1,G,5,H,3,，,L,3,=-,G,1,G,2,G,3,G,4,H,3,，没有互不接触回环，系统特征式,26,R,(,s,),到,C,(,s,),的前向通道有,2,条：,P,1,=,G,1,G,2,G,3,G,4,1,=1,P,2,=,G,1,G,5,2,=1,27,返回,N,(,s,),到,C,(,s,),的前向通道有,2,条：,P,1,=,G,3,G,4,1,=1+,G,1,G,2,H,1,P,2,=-,G,3,G,5,H,2,2,=1,同一系统不同输入和输出之间的前向通道不同，但系统的特征式相同。,28,本章小结,本章要求熟练掌握系统数学模型的建立和拉氏变换方法。对于线性定常系统，能够列写其微分方程，会求传递函数，会画方框图和信号流图，并掌握方框图的变换及化简方法。,1.,数学模型是描述元件或系统动态特性的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。用解析法建立实际系统的数学模型时，分析系统的工作原理，忽略一些次要因素，运用基本物理、化学定律，获得一个既简单又能足够精确地反映系统动态特性的数学模型。,29,2.,实际系统均不同程度地存在非线性，但许多系统在一定条件下可近似为线性系统，故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理,(,如增量化法,),，然后用线性理论进行分析。但应注意，不是任何非线性特性均可进行线性化处理。,3.,传递函数是经典控制理论中的一种重要的数学模型。其定义为：在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯与输入的拉普拉斯变换之比。,4.,根据运动规律和数学模型的共性，任何复杂系统都可划分为几种典型环节的组合，再利用传递函数和图解法能较方便地建立系统的数学模型。,30,5.,方框图是研究控制系统的一种图解模型，它直观形象地表示出系统中信号的传递特性。应用梅逊公式不经任何结构变换，可求出源节点和汇节点之间的传递函数。信号流图的应用更为广泛。,31,作业：,P48,49,8,、,9,、,10,32,