不定积分的概念与性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,不定积分的概念与性质 牛顿莱布尼兹公式,一、原函数与不定积分,二、牛顿莱布尼兹公式,在为,微分学中，已知运动规律,s,=,s,(,t,),则在时刻,t,的瞬时速度,v,=,s,(,t,),在运动学中，也有相反的问题，即已知时刻,t,的瞬时速度,v,=,v,(,t,),而要求运动规律,s,=,s,(,t,),即,已知一个函数的导数或微分，寻求原来函数,.,定义,设,f,(,x,),定义在,区间,I,内，如果对任意的 ，都有,F,(,x,)=,f,(,x,),或,d,F,(,x,),=f,(,x,)d,x,则称,F,(,x,),为,f,(,x,),在,该区间上的一个,原函数,.,又如,d(sec,x,),=,sec,x,tan,x,d,x,，,所以,sec,x,是,sec,x,tan,x,的原函数,.,一,.,原函数与不定积分,1.,原函数,例如,:,，,是函数 在 上的原函数,.,，,sin,x,是,cos,x,在,上的原函数,.,定,理,5.1,若函数,f,(,x,),在区间,I,上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项,.,证,设,F,(,x,),，,G,(,x,),是,f,(,x,),在区间,I,上的任意两个原函,数,.,所以,F,(,x,)=,G,(,x,)=,f,(,x,),，,即,G,(,x,)=,F,(,x,),C,0,(,C,0,为某常数,).,所以有,G,(,x,),F,(,x,)=,C,0,，,于是,G,(,x,),F,(,x,),=,G,(,x,),F,(,x,),=,f,(,x,),f,(,x,)=0,定义,如果函数,F,(,x,),是,f,(,x,),区间,I,上,的一个,原函数,，那么,f,(,x,),的全体,原函数,F,(,x,),C,(,C,为任意常数,),称为,f,(,x,),在,区间,I,上,的,不定积分,.,记作,其中记号 称为,积分号,，,f,(,x,),称为,被积函数,，,f,(,x,)d,x,称为,被积表达式,，,x,称为,积分变量，,C,为,积分常数,.,即,2.,不定积分,例,1,求,解,例,2,求,解,例,3,求,解,例,4,验证下式成立,:,解,例,5,利用例,4,的结果，计算下列积分,解,3,.,不定积分的几何意义,函数,f,(,x,),的原函数图形称为,f,(,x,),的积分曲线，此积分曲线为一族积分曲线，,f,(,x,),为积分曲线在,x,处的切线斜率,.,例6,解,例7,解,定理,6.5,(,微积学基本定理,),二、牛顿莱布尼兹公式,证明,上式称为,牛顿,-,莱布尼茨公式，,也称为,微积分基本定理,.,牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的,基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数,f,(,x,),的一个原函数,F,(,x,),，,然后计算原函数在区间,a,b,上的,增量,F,(,b,),F,(,a,),即可,.,该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,.,例,1,求,解,例,2,求,解,例,3,求,解,例,4,求,解,