教育专题：14角平分线的性质

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,角平分线的性,质,汪旭川,本课内容,本节内容,1.4,角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角,.,探究,如图,1-26,，在,AOB,的平分线,OC,上任取一点,P,，,作,PD,OA,，,PE,OB,，垂足分别为点,D,，,E,，,试问,PD,与,PE,相等吗？,图,1-26,你能证明吗？,将,AOB,沿,OC,对折，我发现,PD,与,PE,重合，即,PD,与,PE,相,等.,图,1-26,PD,OA,，,PE,OB,，,PDO=,PEO,=90.,在,PDO,和,PEO,中，,PDO,=,PEO,，,DOP,=,EOP,，,OP=OP,，,PDO,PEO,.,PD=PE,.,我们来证明这个结论,.,图,1-26,图,1-26,结论,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,由此得到角平分线的性质定理：,动脑筋,角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？,如图,1-27,，点,P,在,AOB,的内部，作,PD,OA,，,PE,OB,，垂足分别为点,D,，,E,.,若,PD=PE,，那么点,P,在,AOB,的平分线上吗？,图,1-27,在,Rt,PDO,和,Rt,PEO,中，,OP=OP,，,PD=PE,，,Rt,PDO,Rt,PEO,.,PD,OA,，,PE,OB,，,PDO,=,PEO,=90.,如图,1-27,，过点,O,，,P,作射线,OC,.,AOC,=,BOC,.,OC,是,AOB,的平分线，即点,P,在,AOB,的平分线,OC,上,.,图,1-27,结论,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.,由此得到角平分线的性质定理的逆定理：,举,例,例,1,如图,1-28,，,BAD=,BCD=,90,，,1=2.,（,1,）求证：点,B,在,ADC,的平分线上；,（,2,）求证：,BD,是,ABC,的平分线,.,图,1-28,证明：,在,ABC,中，,1=2,，,BA=BC,.,又,BA,AD,，,BC,CD,，,点,B,在,ADC,的平分线上,.,图,1-28,（,1,）求证：点,B,在,ADC,的平分线上；,图,1-28,证明：,在,Rt,BAD,和,Rt,BCD,中，,BA=BC,，,BD=BD,，,Rt,BAD,Rt,BCD,.,ABD,=,CBD,.,BD,是,ABC,的平分线,.,（,2,）求证：,BD,是,ABC,的平分线,.,解 作,AOB,的角平分线，交,MN,于一点，则这点即为所,求作的点,P,.,（提示：用尺规作图）,练习,如图，在直线,MN,上求作一点,P,，使点,P,到,AOB,两边,的距离相等,.,P,2.,如图，在,ABC,中，,AD,平分,BAC,，,DE,AB,于点,E,，,DF,AC,于点,F,，,BD=CD,.,求证：,AB=AC,.,证明,点,D,在,BAC,的平分线上，,DE,AB,，,DF,AC,，,DE=DF,.,AB=AC,.,在,Rt,BED,和,Rt,CFD,中，,BD=CD,，,DE=DF,，,Rt,BED,Rt,CFD,.,B,=,C,.,动脑筋,如图,1-29,，已知,EF,CD,，,EF,AB,，,MN,AC,，,M,是,EF,的中点,.,需添加一个什么条件，就可使,CM,，,AM,分别为,ACD,和,CAB,的平分线呢？,图,1-29,图,1-29,ME,CD,，,MN,CA,，,同理可得,AM,是,CAB,的平分线,.,可以添加条件,MN=ME,（或,MN=MF,）,.,M,在,ACD,的平分线上，即,CM,是,ACD,的平分线,.,图,1-29,如图,1-30,，在,ABC,的外角,DAC,的平分线上任取,一点,P,，作,PE,DB,，,PF,AC,，垂足分别为点,E,，,F,.,试探索,BE+PF,与,PB,的大小关系,.,例,2,PE=PF,.,在,EBP,中，,BE+PE,PB,，,BE+PFPB,.,AP,是,DAC,的平分线，,又,PE,DB,，,PF,AC,，,解,图,1-30,举,例,如图,1-31,，你能在,ABC,中找到一点,P,，使其,到三边的距离相等吗？,动脑筋,图,1-31,因为角平分线上的点到角的,两边的距离相等，所以只要作,ABC,任意两角（例如,A,与,B,）,的平分线，其交点,P,即为所求作的,点,.,点,P,也在,C,的平分线上，如图,1-32.,图,1-32,练习,如图，,E,是,AOB,的平分线上一点，,EC,OA,于点,C,，,ED,OB,于点,D,.,求证：（,1,）,ECD,=,EDC,；（,2,）,OC=OD,.,（,2,）在,Rt,OED,和,Rt,OEC,中，,OE=OE,，,ED=EC,，,Rt,OED,Rt,OEC,(,HL,).,OD=OC,.,证明（,1,）,点,E,在,BOA,的平分线上，,EC,AO,，,ED,OB,，,ED=EC,.,ECD=,EDC,.,EDC,是个等腰三角形,.,2.,如图，在,ABC,中，,AD,DE,，,BE,DE,，,AC,，,BC,分别平分,BAD,，,ABE,，点,C,在线段,DE,上,.,求证：,AB=AD+BE,.,M,证明 作,CM,AB,于点,M.,AC,，,BC,分别平分,BAD,，,ABE,，,CD=CM,，,CE=CM.,在,Rt,ACD,和,Rt,ACM,中，,CM=CD,，,AC=AC,，,Rt,ACD,Rt,ACM,.,AD=AM.,同理，,BE=BM.,又,AB=AM+BM,，,AB=AD+BE.,小结与复习,1.,直角三角形的两个锐角有什么关系？,2.,直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？,3.,请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理.,4.,判断两个直角三角形全等的方法有哪些？,5.,角平分线有哪些性质？,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,有两个角互余的三角形是直角三角形,直角,三角形,判定,全等判定方法,角平分线,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,性质,直角三角形两个锐角互余,有一个角是直角的三角形是直角三角形,HL,SAS ASA AAS SSS,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,勾股定理,勾股定理的逆定理,“斜边、直角边定理”是判定两个直角三角形全等所独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件是两个直角三角形,.,2.,要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及其逆定理等，它们都是互为逆命题,.,3.,勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想,.,勾股定理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方法来研究几何问题，体现了由数到形,.,结 束,