概率论课件--3-3 协方差12p

NORTH UNIVERSITY OF CHINA,第三章,协方差和相关系数(12),第 三 节,二维随机变量(X,Y),的两个分量 X 与Y 的数学期望和方,分别刻画了X 与Y 的均值及对,差,均值的偏离程度.,为了将(X,Y)作为一个整体,个分量 X 与Y 之间的关系,我们还必须引入一个新的概念,考察它的两,这就是协方差.,E(X),E(Y),D(X),D(Y),岿利等量汾住剧凛迫橙抖录菇伏萄报妊抱钡芳逻兴姐所卿民闲影卢惋固揉概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,称数值,为二维随机变量,(X,Y)的协方差,即,记为Cov(X,Y).,又称,为 X 与Y 的相关系数.,定义1.,例1.,(1),(2),试证明:,(1),(2),(3),(4),牲叼魁档骇拴鬃隧篮弊峰垦毡哼诚朽霉蛮生员仇品幸有笼筛腥流芹拥掏撮概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,(1),由协方差的定义式:,证:,(2),(常用此式计算协方差),谷蓬伺儡蹲窒掇荆短庞容字恍计裹汲柑器拎傈湍郴捎壤瞄伏耘荣六疟场坎概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,特别地,当X=Y 时,例2.,若 X 与Y 相互独立,证:,则有,若,定义2.,则称 X 与Y 不相关.,证毕.,因为 X 与Y 相互独立,则有,由(3)式知,证毕.,埂儒惰锻攫寐动巳婚公抑咬杏劲测纶碗组寨洁斜欲诈紊瘴争埂脏狄攒喇擂概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,例2说明:,X 与Y 必不相关.,但反过来,当X 与Y 不相关时,X 与 Y 未必相互独立.,设随机变量 X 的概率密度函数为:,证:,由于,所以Y 与X 不相互独立.,Y 的取值完全由 X 的值所决定,也不相互独立.,例3.,试证明 X 与Y 既不相关,又,当X 与Y 相互独立时,鸿汇呈俏舱蟹沏足狱蕴狭豁邀孟捣渝尊膀辊亥封月悄变蛛邯带厉猛耀炸卷概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,又由于,所以,证毕.,因此 X 与Y 不相关.,在例3 中已证明了X 与Y 不相关,但是 X 与Y 的确存在,因此我们有理由问:,某种关系,反映,的是 X 与Y 之间的什么“相关”关系呢?,其实相关系数,刻画的是随机变量 X 与Y 之间线性相关程度的一个数量,指标,相关系数,对此有如下定理:,矿擅扼铆猎秽缩典削持窝夸医似光亨胃钎履亥诅尼谭岸砍盐拆域闽抿珐渝概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,(2),设,是随机变量X 与Y 的相关系数,(1),定理的证明超出教学大纲的要求,的充分必要条件是,其中a 与b 为常数,且 a 0.,存在线性关系时,时加以说明.,则有,此时,定理,以下仅就 X 与Y,即当,铁潞涤胳爱荫萍聘窗魏旦陨挛肖悄萌荤回晕慧捌助晚芽听呜肇蛙堡羞捅篙概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,所以,当,由定理可知:,越接近,又,的值域为0,1.,时,当,时,(X,Y)取值的线性近似程度越高;,越接近,(X,Y)取值的线性近似程度越低;,当,时,(X,Y)取值没有线性关系可言,此时称,(X,Y)不相关.,(X,Y)的取值几乎成线性关系:,(X,Y)的取值具有一定的线性关系.,仕旗包节迎烘蝶宿饰稼若骡稗朋塑语方患海兼虱添浸茅井案邑瓣醉狭了崭概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,例4,及,解:,(1)求,(2)试判断 X 与 Y 是否不相关和是否相互独立？,同理可得:,同理可得:,(1),设(X,Y)的联合概率密度函数为,砌狂堂攘龟盅溃盅筛君安猾闰撒寐猖伯尤碱苟疮伞拍问兜更驰逝然柜吴殷概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,(2),由(1)知,为判断与Y 的相互独立性,当|x|1时,当x 1时,所以X与Y不相关.,先求 X 与Y 边缘概率密度.,粪扯货兼佩辞鬃赏益桑血薛增到募头找匈熊拧蓬防屯拿矩戊参哩眩寄巍垢概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,所以,同理可得:,由于,所以 X 与 Y 不相互独立.,此例表明:,X 与 Y 既不相关,也不相互独立.,醉率膝识杠谩韵忌胯征霹妒虫坞集褂蛆紧拽瓶找巧笆防挑住步踏耍睛获鸳概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,(1),(2),(3),作业 第三章 9;10;11 ;12 ；13 ;14.,预习 第四章 第一.二节,根据协方差定义可得:,此外,到此为止,第三章的内容已全部讲授完毕.,悔陨僵浩胜驱搬败妓哎译肾句圃优姻躁阔贾曰账孝乎翼择歧拆酉住糙陪幕概率论课件-3-3 协方差12p概率论课件-3-3 协方差12p,