函数的极值和最大

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的极值和最大、最小值,中国青年政治学院,邓艳娟,一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数,x=100-p,，其中,x,是需求（产出），,p,是价格。这个厂商的成本函数为,C=25x,，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。,反需求函数为,P=100-x,厂商的利润,(x)=,px,-C=100 x-x,2,-25x,一、,函数的极值,1,、定义,设,f(x,),在区间,(a,b,),内有定义,是,(a,b),内的一点,.,如果对于,的一个去心邻域内的任何点,x,都有,则称,是,f(x,),的一个,极大值,(,极小值,).,极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,注,（,1,）极值是局部概念，不同于最大（小）值，极小值不一,定小于极大值。,（,2,）极值点不能在端点,证,(,极小值的情况可类似证明,),假定,是极大值,驻点,.,2,、必要条件,设,f(x,),在,的一个去心邻域内可导且,(1),(2),(,负,),(,正,),(,极小值,);,3,、第一充分条件,(,a,),(,b,),(,c,),(,d,),求函数的极值可按如下步骤进行,:,（,1,）求定义域,（,2,）求使,f,(,x,),=,0,的点，或使,f,(,x,),不存在的点,（,3,）上述各点把定义域分成若干个区间，列表讨论在,各个区间上的单调性，并求极值。,一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数,x=100-p,，其中,x,是需求（产出），,p,是价格。这个厂商的成本函数为,C=25x,，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。,反需求函数为,P=100-x,厂商的利润,(x)=,px,-C=100 x-x,2,-25x,x*,表示使厂商利润最大化的产量，可得,(x*)=100-x-25=,x*=37.5,厂商的利润最大化价格,P*=100-x*=,62.5,和,最大化利润,(x*)=1406.25,。,一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数,x=100-p,，其中,x,是需求（产出），,p,是价格。这个厂商的成本函数为,C=0.1x,-,x,+50 x+200,，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。,厂商的利润,(x)=100 x-x,2,-,0.1x,-,x,+50 x+200,(x*)=100-2x-0.3x,2,+6x-50,=,例,解,(2),(1),厂商的利润最大化价格,P*=100-x*=,78.80,和,最大化利润,(x*)=806.07,。,极,小,极,大,一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数,x=100-p,，其中,x,是需求（产出），,p,是价格。这个厂商的成本函数为,C=25x,，图书的作者可以得到每本卖出的书的销售价格的作为版权费，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。,作者的收入,(x)=,.1px,.1R(,)=0.1(100 x-x,2,),出版商的利润,(x)=,R(x)-C(x)-Y(x,)=65-0.9x,2,作者的希望销售量,x*=50,销售价格,P*=,50,出版商的希望销售量,x*=36.1,销售价格,P*=,63.9,出版商总是定一个更高的价格而卖出比作者希望的数量少的书。,作者的收入,(x)=,rpx,0r1,出版商的利润,(x)=,R(x)-C(x)-Y(x,)=(1-r)R(x)-C(x),最大化,Y(x,),得到,Y(x,)=0=,R(x,),只要边际成本大于零，即,，出版商的期望销售量肯定和作者的期望销售量不同，由于我们通常假设边际收入随产量的增加而减少即,。所以出版商总是定一个更高的价格而卖出比作者希望的数量少的书。,出版商最大利润,(x)=0,，,R(x,)=C(x)/(1-r),4,、第二充分条件,证,设,f(x,),在,处具有二阶导数且,那么,(1),因此,(2),可类似证明,.,一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数,x=100-p,，其中,x,是需求（产出），,p,是价格。这个厂商的成本函数为,C=25x,，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。,反需求函数为,P=100-x,厂商的利润,(x)=,px,-C=100 x-x,2,-25x,(x)=-20,例,解,注,例,解,假设垄断厂商有线性需求函数,x=a-,bp,，其中,x,是需求，,p,是价格，且总有一个线性总成本函数,C=,cx,。但是这个垄断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大价格,q,。其中,qc,，否则这个厂商将会倒闭。,厂商收入函数,R(p,)=,px,=ap-bp,2,厂商成本函数,C(p,)=,cx,=ca-,cbp,问题：,max,(p,)=ap-bp,2,-(ca-cbp),s.t,.,qp,二、,函数的最大、最小值,1,.,最大（小）值点,端点,内部,驻点,求出端点和驻点的函数值，,其中最大（小）的就是函,数的最大（小）值,注,1),若,f,(,x,),在一个区间内可导且只有一个驻点,且,是,f,(,x,),的极大值点,(,极小值点,),就是,f,(,x,),在,则,该区间上的最大值,(,最小值,).,2),实际问题中,若根据问题的性质可以断定可导函数,确有最大值,(,或最小值,),并且一定在定义区间内部,取得,而此时,在定义区间内部只有一个驻点,则可断定,是最大值,(,或最小值,),。,0,x,问题,如果,x*,是问题,max,f(x,),s.t,.,axb,的一个最优解，则它至少满足下面一个条件：,f(x,*),0,且,(x*-a),f(x,*),=0,f(x,*),0,且,(,b-x,*),f(x,*),=0,其中如果函数同时满足两个条件且,f(a,)0,，,f(b,)0,，我们一定有,a,x*,b,。,问题,如果,x*,是问题,min,f(x,),s.t,.,axb,的一个最优解，则它至少满足下面一个条件：,f(x,*),0,且,(x*-a),f(x,*),=0,f(x,*),0,且,(,b-x,*),f(x,*),=0,其中如果函数同时满足两个条件且,f(a,)0,，,f(b,)0,，我们一定有,a,x*,b,。,一个区间上最优化,假设垄断厂商有线性需求函数,x=a-,bp,，其中,x,是需求，,p,是价格，且总有一个线性总成本函数,C=,cx,。但是这个垄断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大价格,q,。其中,qc,，否则这个厂商将会倒闭。,厂商收入函数,R(p,)=,px,=ap-bp,2,厂商成本函数,C(p,)=,cx,=ca-,cbp,问题：,max,(p,)=ap-bp,2,-(ca-cbp),s.t,.,qp,由问题得到,(p*)=a-2bp*+,cb,0,且,(,q-p,*),(p*)=,得到两种情况：,若,p*,q,，则,(p*)=,即,p*=(a+cb)/2b,这显然是垄断厂商利润最大化价格。约束价格没有约束力。厂商价格相对监管者允许的价额低，看起来对消费者是好事，但实际上只是说明监管是无效的。,若,p*=q,，则监管有效,(p*),或者监管无效,(p*)=,。,二、,函数的最大、最小值,2,.,最大（小）值点,端点,内部,驻点、不可导点,求出端点、不可导点和驻点的函数值，其中最大（小）的就是函数的最大（小）值,