教育专题：二次函数_总复习

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课题：二次函数复习,一、图象与性质,一、二次函数的概念,形如,y=ax,2,+bx+c(a,、,b,、,c,是常数，,a0,的函数叫做二次函数,二次函数的几种表达式：,(,顶点式,),(,一般式,),(,交点式,),x,y,o,抛物线,开口方向,顶点坐标,对称轴,最值,a0,a0,a0,时开口向上，并向上无限延伸；,当,a0,时，,y,随,x,的增大而减小,.,x,O,y,1,、函数,y=2x,2,的图象的开口,，对称轴是,，顶点是,；在对称轴的左,侧，,y,随,x,的增大而,_,。,3,、二次函数,y=x,2,2x,3,的图象是,_,顶点是,_,对称轴为,_,当,x _,时，,y,随,x,的增大而增大，当,x_,时，函数值最,_,等于,_,。,4,、已知,y=,（,k+2,）,x,是二次函数，,且当,x0,时，,y,随,X,增大而增大，则,k=_.,k,2,+k-4,2,、二次函数,y=-3(x-1),5,的图象开口向,，对称轴是,，当,x=,时 函数有最,值为,。当,x,时，,y,随,x,的增大而增大。,5,、已知以,x,为自变量的二次函数,y=(m,2)x,2,+m,2,m,2,的图象顶点在原点，则,m=,，当,x,时,y,随,x,增大而减小,.,6,、抛物线,y=x,2,+bx+c,的顶点为（,2,，,3,），则,b=,，,c=,.,y,=,ax,2,y,=,ax,2,+,k,y,=,a,(,x,-,h,),2,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,结论,:,抛物线,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,与,y,=,ax,2,形状相同，位置不同,二,、,各种形式的二次函数的关系,(,平移,),左加右减上加下减,5,、将抛物线,y=(x-2),2,-1,先,向右平移,3,个单位，再向上平移,2,个单位，得到二次函数的解析式为,。,二、抛物线与坐标轴的交点情况,A,C,x,y,o,A,C,x,y,o,B,B,5,、根据下列图象确定二次函数,y=ax,2,+bx+c,中,a,b,c,的符号。,(1)a,0;b,0;c,0,(2)a,0;b0;c0,一、二次函数,y=ax,2,+bx+c(a,0),的系数,a,，,b,，,c,，,与,抛物线的关系,a,a,b,c,a,决定开口方向,：,a,时开口向上，,a,时开口向下,a,越大开口越小。,a,、,b,同时决定对称轴位置：,a,、,b,同号时对称轴在,y,轴左侧,a,、,b,异号时对称轴在,y,轴右侧,b,时对称轴是,y,轴,c,决定抛物线与,y,轴的交点：,c,时抛物线交于,y,轴的正半轴,c,时抛物线过原点,c,时抛物线交于,y,轴的负半轴,决定抛物线与,x,轴的交点,：,时,抛物线与,x,轴有两个交点,时,抛物线与,x,轴有一个交点,时,抛物线于,x,轴没有交点,、二次函数,y=,a,x,2,+bx+c,（,a,0,），,=b,2,-4ac,。当,0,时,抛物线与,x,轴有,个交点，这两个交点的横坐标是方程,a,x,2,+bx,+c,=0,的两个不相等的根。,当,=0,时,抛物线与,x,轴有,个交点。这时方程,a,x,2,+bx,+c,=0,有两个,的根。,当,0,；（,2,）当,时，,y=0,；（,3,）当,时，,y 0,。,X,1,或,X,3,X,1,或,3,1,X,3,2,X,0,或,X,4,X,0,或,4,0,X,4,4,2,2,2,A,B,2,、已知,二次函数,y,=,kx,2,7,x,7,的图象与,x,轴,有交点，则,k,的取值范围是,(),A,、,k,B、,k,C、,k,D、,k,B,3,、抛物线,y=x,2,-2x-3,与,x,轴分别交于,A,、,B,两点，则,AB,的长为,.,4,、直线,y=,3x+2,与抛物线,y=x,2,x+3,的交点有,个，交点坐标为,。,5,、抛物线,y=x,2,+bx+4,与,x,轴只有一个交点则,b=,。,4,一,(-1,5),4,或,-4,二、若抛物线 与,x,轴两交点为,则,x,1,、,x,2,是方程,ax,2,+bx+c=0,的两个根,;,三、解析式的确定,回 顾,1,、已知函数类型，求函数解析式的基本方法是：,。,2,、二次函数的表达式有三种：,（,1,）一般式：,；,（,2,）顶点式：,；,（,3,）交点式：,。,待定系数法,Y=ax,2,+bx+c(a0),Y=a(x-h),2,+k(a0),Y=a(x-x,1,)(x-x,2,)(a0),例,1.,选择最优解法，求下列二次函数解析式,已知二次函数的图象过点,(,1,6),、,(1,，,2),和,(2,，,3),已知二次函数当,x,=1,时，有最大值,6,，且其图象过点,(2,，,8),已知抛物线与,x,轴交于点,A(,1,，,0),、,B(1,，,0),并经过点,M(0,，,1),1,）设,二次,函数的解析式为,2,）设,二次,函数的解析式为,3,）设,二次,函数的解析式为,解题,策略：,例,2,、,已知二次函数,y=ax,2,+bx+c,，当,x=3,时，函数取得最大值,10,，且它的图象在,x,轴上截得的弦长为,4,，试求二次函数的关系式,3,2,1,1,2,A,O,第,2,题图,B,x,y,例 题,例,3,已知抛物线 与,x,轴交于点,A,（,1,0,）,和,B,（,3,，,0,），与,y,轴交于点,C,，,C,在,y,轴的正半轴上，,S,ABC,为,8.,（,1,）求这个二次函数的解析式；（,2,）若抛,物线的顶点为,D,，直线,CD,交,x,轴于,E.,则,x,轴 上方的抛物,线上是否存在点,P,，使,S,PBE,=15,？,y,A,E,O,B,C,D,x,四、二次函数的应用,例,1,、小李想用篱笆围成一个周长为,60,米的矩形场地，矩形面积,S,（单位：平方米）随矩形一边长,x,（单位：米）的变化而变化,（,1,）求,S,与,x,之间的函数关系式，并写出自变量,x,的取值范围；,（,2,）当,x,是多少时，矩形场地面积,S,最大？最大面积是多少？,2,、某商场试销一种成本为每件,60,元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于,45%,，经试销发现，销售量,y,（件）与销售单价,x,（元）符合一次函数 ，且,x=65,时，,y=55,；,x=75,时，,y=45,（,1,）求一次函数的表达式；,（,2,）若该商场获得利润为,W,元，试写出利润,W,与销售单价,x,之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？,（,3,）若该商场获得利润不低于,500,元，试确定销售单价,x,的范围,例,3.,某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为,12m,，抛物线拱高为,5.6m,（,1,）在如图所示的平坐标系中，求抛物线的表达式,（,2,）现需在抛物线,AOB,的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在,AB,上，每扇窗户宽,1.5m,，高,1.6m,，相邻窗户之间的间距均为,0.8m,，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为,0.8m,请计算最多可安装几扇这样的窗户？,例,4,、如图，足球场上守门员在,O,处开出一高球，球从离地面,1,米的,A,处飞出（,A,在,y,轴上），运动员乙在距,O,点,6,米的,B,处发现球在自己头的正上方达到最高点,M,，距地面约,4,米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半,（,1,）求足球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式,（,2,）足球第一次落地点,C,距守门员多少米？（取 ）,（,3,）运动员乙要抢到第二个落点,D,，他应再向前跑多少米？（取 ）,例,1,、,如图所示，某建筑工地准备利用一面旧墙建一个长方形储料场，新建墙的总长为,30,米。（,1,）,如图，设长方形的一条边长为,x,米，则另一条边长为多少米？（,2,）设长方形的面积为,y,平方米，写出,y,与,x,之间的关系式。（,3,）若要使长方形的面积为,72,平方米，,x,应取多少米？,x,例,2.,改革开放后，不少农村用上自动喷灌设备，如图所示，设水管,AB,高出地面,1.5m,，在,B,处有一个自动旋转的喷头。一瞬间，喷出水流呈抛物线状，喷头,B,与水流最高点,C,的连线与水平面成,45,角，水流最高点,C,比喷头高出,2m,，,在所建的坐标系中，求水流的落地点,D,到,A,点的距离是多少米。,A,y,B,O,C,F,D,E,x,作,CFAD,于,F,，作,BECF,于,E,，,连结,BC,，易知,OF=BE=CE=2,，,EF=OB=1.5,，,CF=2+1.5=3.5,，,B(0,1.5),，,C(2,3.5).,设所求,抛物线的解析式为：,y=a,(,x,2),2,+3.5,当,x,=0,时，,y,=1.5,，即,a,(0,2),2,+3.5=1.5,，,(,舍,),，,(1),直线,x,=2,，（,2,，,-9,）,(2)A,（,1,，,0,）,B,（,5,，,0,）,C,（,0,，,5,）,(3)27,例,2,已知二次函数 的图象与,x,轴交,于,A,、,B,两点，与,y,轴交于,C,点，顶点为,D,点,.,（,1,）求出抛物线的对称轴和顶点坐标；,（,2,）求出,A,、,B,、,C,的坐标；,（,3,）求,DAB,的面积,.,x,O,y,A,B,C,D,3,、,如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上,A(4,0),，,B,两点，该抛物线的对称轴,x=,1,，与,x,轴交于点,C,且,ABC=90,求：,(1),直线,AB,的解析式；,(2),抛物线的解析式。,某幢建筑物，从,10,米高的窗口,A,用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图建立平面直角坐标系）如果抛物线的最高点,M,离墙,1,米，离地面 米，求水流落地点,B,离墙的距离,OB,是多少米？,O,x,y,A,B,M,顶点坐标（,1,，）,过点（,0,，,10,）,解析式：,令y=0,x=-1,x=3,OB=3,米,练习,3,B,例,5,、,如图，在矩形,ABCD,的边上，截取,AH=AG=CE=CF=x,，,已知：,AB=8,，,BC=6,。,求：（,1,）四边形,EHGF,的面积,S,关于,x,的函数表,达式和,X,的取值范围；（,2,）当,x,为何值时，,S,的数值等于,x,的,4,倍。,（,1,）,D,C,E,F,H,G,A,分析,：,AGH CEF,吗？,DHE BFG,吗？,S,DHE,=S,BFG,S,AHEG,=S,ECF,所以，,S=S,矩形,=2S,DHE,-2S,AGH,自变量,x,的取值范围是：,解得，,0,x6,（,2,）令,S=4x,，,得，,4x=-2x,2,+14x,解题 欣赏,例,6,、,把长为,20,的铁丝弯成半径为,R,的一个扇形，,（,1,）试写出扇形面积,S,与,半径,R,的函数关系式；,（,2,）求扇形的半径,R,的取值范围；（,3,）当,R,为,多长时，扇形的面积最大，其最大面积是多少？,（,2,）根据实际意义，扇形,的半径和弧长必须是正数。,分析：（,1,）,S=,S=,RL,L=20-2R,（,3,）因为,a=10,20-2R,0,解得，,0,R10,R,R,L,