4 第四次课、Maxwell方程组和波动方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四次课、,Maxwell,方程组和波动方程,一、,Maxwell,方程组,二、物质方程组,三、边值关系,四、洛仑兹力,五、波动方程,内容,1,一、,Maxwell,方程组,1,、积分形式,2,、微分形式,内容,2,1,、积分形式,(1),Faraday,电磁感应定律,(2),电场,Gauss,定律,(3),磁场,Gauss,定律,(4),Maxwell-,Ampre,定律,电场强度矢量,磁感强度矢量,电位移矢量,电荷密度,位移电流矢量,磁场强度矢量,电流密度矢量,3,2,、微分形式,对上述积分公式分别用,Stokes,公式：,和,Gauss,公式：,(5),(6),(7),(8),电场强度矢量的旋度等于磁感应强度随时间的变化率,(,负值,),，即空间某一点磁通密度的变化在该点周围产生一个环形电场。,电位移矢量的散度等于空间同一处的自由电荷密度，即电位移矢量是由正电荷所在点向外发散或向负电荷所在点汇聚。,磁场中任意一点的磁感应强度的散度恒等于零，即磁场是无源场，没有起止点。,磁场强度的旋度等于引起该磁场的传导电流密度和位移电流密度,(,电位移矢量随时间的变化率,),之和，也可这样理解：环形磁场可以由传导电流产生，也可以由位移电流产生。,4,(5),(6),(7),(8),是涡旋场,是有源场,和 是有旋无源场,(5),两边求散度,(7),(8),两边求散度,利用电荷守恒定律：,(6),四个方程只有两个是独立的。,简单讨论,5,二、物质方程组,1,、真空中,2,、均匀各向同性介质中,3,、均匀各向异性介质中,6,(11),(10),(9),1,、真空中,(12,b,),(12,a,),真空的介电常数。,各矢量满足物质方程：,介电常数,导磁率,导电率,真空中的磁导率。,7,2,、均匀各向同性无色散介质中,(13,a,),(13,b,),是介质的相对,磁导率,是介质的介电常数,是介质的相对介电常数,是介质的磁导率,对于,导电介质,，还有：,(9),对于一般,非磁性,介质,它描述了介质中电流密度和电场强度矢量之间的关系，,电导率,是一个量纲不为,1,的标量物质常数，单位是西门子,/,米,(S/m),。,真空中的电导率为,0,。,8,3,、均匀各向异性介质中,一般的有：,(14),(15),称之为,介电张量,，,是二阶张量，一般情况下，介电张量由,9,个非零元素组成。,选取适当坐标如以介电主轴为坐标轴,(,对应的坐标就称为主坐标系,),，可以使得这个张量变成只有三个非,0,元素的对角张量：,(16),9,纵论,：,*电磁场的物质方程反映了所处介质的宏观电磁性质，这个性质称为,极化性质,。,*真空和均匀各向同性介质的极化性质与外场强度呈线性，方向相同；,*各向异性介质也与外场强度呈线性，方向不同。强电磁场下，还呈非线性，超出本课程范围。,10,三、边值关系,电磁场总要穿过两种介质的分界面的。,这时，由于界面两侧的物质常数不同，可以设想，界面两侧电磁场量将发生跃变而不连续。,根据积分形式的麦克斯韦方程组得：,(17),为界面法线方向的单位矢量,为界面上的传导电流密度,为自由电荷,(,体,),密度。,11,(19),下标,n,，,t,表示场的法向和切向分量。,(18),当不存在自由电荷、电流分布时,可见，不存在自由电荷、电流分布时，,电场强度和磁场强度矢量的切向分量连续；,而电位移矢量和磁感应强度的法向分量连续。,12,在界面处的条件,(18),或,(19),可,利用积分形式的麦克斯韦方程组来讨论,1,电场 的边界条件,长边长度,l,短边长度,h,l,规定矩形的周边为逆时针方向为正,积分面积元,自纸面向外为正,界面法线单位矢量的方向自媒质,1,指向媒质,2,R,可以忽略,A,h,C,1,2,界面,图,1,边界两侧 的值有限,13,只要保持 ，即可得到 垂直于界面或平行于界面法线 的结果。,由此得出结论：,在界面两侧，电场强度的切向分量连续,。,O,2,1,1,2,界面,图,2,小矩形的取法是不唯一的，它可以在原位绕着界面的法线 旋转,这个结论可表示成：,14,2,磁场 的边界条件,h,界面,1,2,图,3,上下面线度均远远小于波长,扁盒的高度,h,0,表明,磁感应强度在界面两侧的法向分量是连续的,界面,O,1,2,图,4,15,3,电位移矢量,的边界条件,电场,Gauss,定律,这说明，,电位移矢量在界面两侧的法向分量是连续的,。,h,界面,1,2,图,3,结合图,3,规定的积分域，在没有自由电荷的情况下，,，可导出 的边界条件：,16,4,磁场强度 的边界条件,Maxwell-,Ampre,定律：,结合图,1,所规定的积分域，,并限定界面处,为有限值，,在没有电流的情况下，,采用相同的方法可求出 的边界条件：,这表明,磁场强度的切向分量连续,。,A,h,C,1,2,界面,图,1,17,四、洛仑兹力,当一个电量为,e,，,速度 为的运动电荷位于电磁场中时，将同时受到电场和磁场的作用力，称为,洛仑兹力,，表示为：,(20),(21),一个电量为,Q,体积为,V,的带电系统受到电磁场作用的,洛仑兹力密度,为：,18,五、波动方程,1,、无源空间的波动方程,2,、,有源空间的波动方程,19,1,、无源空间的波动方程,(22),(23),(24),(25),下面讨论最简单的一种情况,(5),(6),(7),(8),无源空间,20,(25),两端对时间微分,(22),(26),称为,Laplace,算符,于是对于一维的情形，有：,(26),同样,(27),公式,(26),、,(27),就是普通物理光学里的波动方程。,21,(27),交变的电场 和磁场 以波的形式在物质常数为,=,0,、,、,无色散的介质里传播，其传播速度为：,(28),对于真空,(26),22,这与实际测得的真空中的数值很接近，,1860,年左右，,Maxwell,将之作为重要依据，提出了光的电磁理论并预言了光就是一种电磁波。,1889,年，,Hertz,发现了电磁波，观察了电磁波在金属表面的反射，在石蜡棱镜中的折射，并证明电磁波和光波一样具有干涉、衍射和偏振的现象。,除了无线电波和光波之外，,x,射线、,射线也是电磁波，只是波长短，将电磁波按照波长或者频率排列，形成,电磁波谱,。,光谱区,包括,红外辐射,、,可见光,和,紫外辐射,，可见光谱区只是电磁波谱中波长在,0.4,m,到,0.76,m,的一段很窄的波段。,对于无色散各向均匀介质,(29),对于一般,非磁性,介质,(30),介质的折射率,23,总结,一、,Maxwell,方程组,二、物质方程组,三、边值关系,四、洛仑兹力,五、波动方程,1,、积分形式,2,、微分形式,(11),(10),(9),1,、真空中,2,、均匀各向同性无色散介质中,3,、均匀各向异性介质中,(18),(21),1,、无源空间,的波动方程,2,、,有源空间,的波动方程,24,预告：,几种光波及相关知识,25,