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,考点清单,方法技巧,栏目索引,专题十五坐标系与参数方程,高考理数,考点一极坐标方程,考点,清单,考向基础,1.极坐标系,在平面上取一个定点,O,由,O,点出发的一条射线,Ox,一个长度单位、一个角,度单位(通常取弧度)及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一,个极坐标系.,O,点称为极点,Ox,称为极轴.平面上任一点,M,的位置可以由线段,OM,的长度,和从,Ox,到,OM,的角度,来刻画(如图所示).这两个数组成的有序,数对(,)称为点,M,的极坐标.,称为,极径,称为,极角,.,2.极坐标与直角坐标的互化,设,M,为平面上的一点,它的直角坐标为(,x,y,),极坐标为(,).由图可知下面的,关系式成立:,或,顺便指出,上式对,0也成立.,这就是极坐标与直角坐标的互化公式.,3.简单曲线的极坐标方程,曲线,图形,极坐标方程,圆心在极点,半径为,r,的圆,=,r,(0,2),圆心为(,r,0),半径为,r,的圆,=2,r,cos,圆心为,半径为,r,的圆,=2,r,sin,(0,),过极点,倾斜角为,的直线,(1),=,(,R),(2),=+,(,R),过点(,a,0),与极轴垂直的直线,cos,=,a,过点,与极轴平行的直线,sin,=,a,(0,b,0),(,为参数),中心在原点,焦点在,y,轴上的椭,圆,+,=1(,a,b,0),(,为参数),中心在原点,焦点在,x,轴上的双,曲线,-,=1(,a,0,b,0),(,为参数),2.常见曲线的参数方程与普通方程,顶点在原点,焦点在,x,轴正半轴,上的抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),(,t,为参数),考向突破,考向参数方程,例,(2019甘肃酒泉中学模拟,21)在平面直角坐标系,xOy,中,直线,l,的倾斜角,为,(0,0)在曲,线,C,:,=4sin,上,直线,l,过点,A,(4,0)且与,OM,垂直,垂足为,P,.,(1)当,0,=,时,求,0,及,l,的极坐标方程;,(2)当,M,在,C,上运动且,P,在线段,OM,上时,求,P,点轨迹的极坐标方程.,解析,本题主要考查了极坐标的概念和求极坐标方程的基本方法,考查了,数学运算能力和数形结合的思想方法,体现了直观想象和数学运算的核心,素养.,(1)因为,M,(,0,0,)在,C,上,当,0,=,时,0,=4sin,=2,.,由已知得|,OP,|=|,OA,|cos,=2.,设,Q,(,)为,l,上除,P,的任意一点.,在Rt,OPQ,中,cos,=|,OP,|=2.,经检验,点,P,在曲线,cos,=2上.,所以,l,的极坐标方程为,cos,=2.,(2)设,P,(,),在Rt,OAP,中,|,OP,|=|,OA,|cos,=4cos,即,=4cos,.,因为,P,在线段,OM,上,且,AP,OM,故,的取值范围是,.,所以,P,点轨迹的极坐标方程为,=4cos,.,方法2,参数方程与普通方程的互化方法,1.将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消,参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对,于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数基本关系式消参,如sin,2,+,cos,2,=1.,2.将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中点的,坐标的影响,注意两种方程的等价性,避免产生增解的情况.,3.将普通方程化为参数方程时,应选择适当的参数,把点(,x,y,)的横、纵坐标,分别用参数表示,同时注意参数的意义和取值范围.,例2,(2018课标,22,10分)在平面直角坐标系,xOy,中,O,的参数方程为,(,为参数),过点(0,-,)且倾斜角为,的直线,l,与,O,交于,A,B,两点.,(1)求,的取值范围;,(2)求,AB,中点,P,的轨迹的参数方程.,解析,本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系.,(1),O,的直角坐标方程为,x,2,+,y,2,=1.当,=,时,l,与,O,交于两点.当,时,记,tan,=,k,则,l,的方程为,y,=,kx,-,.,l,与,O,交于两点当且仅当,1,解得,k,1,即,或,.综上,的取值范围是,.,(2),l,的参数方程为,.,设,A,B,P,对应的参数分别为,t,A,t,B,t,P,则,t,P,=,且,t,A,t,B,满足,t,2,-2,t,sin,+1=0.于,是,t,A,+,t,B,=2,sin,t,P,=,sin,.又点,P,的坐标(,x,y,)满足,所以点,P,的轨迹的参数方程是,.,易错警示,容易忽略直线斜率不存在的情形.,
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