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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多元函数,*,第六节,复习 目录 上页 下页 返回 结束,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第八章,10/2/2024,多元函数,复习,:,平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,一、,空间曲线的切线与法平面,过点,M,与切线垂直的平面称为曲线在该点的,法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,位置,.,空间光滑曲线在点,M,处的,切线,为此点处割线的极限,平面,.,点击图中任意点动画开始或暂停,10/2/2024,多元函数,1.,曲线方程为参数方程的情况,切线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,此处要求,也是法平面的法向量,切线的方向向量,:,称为曲线的,切向量,.,如个别为,0,则理解为分子为,0 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不全为,0,因此得,法平面方程,说明,:,若引进向量函数,则,为,r,(,t,),的矢端曲线,处的,导向量,就是该点的切向量,.,10/2/2024,多元函数,例1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程,.,切线方程,法平面方程,即,即,解,:,由于,对应的切向量为,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,10/2/2024,多元函数,2.,曲线为一般式的情况,光滑曲线,当,曲线上一点,且有,时,可表示为,处的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,也可表为,法平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,例,2.,求曲线,在点,M,( 1,2, 1),处的切线方程与法平面方程,.,切线方程,解法,1,令,则,即,切向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,法平面方程,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法,2.,方程组两边对,x,求导,得,曲线在点,M,(1,2, 1),处有,:,切向量,解得,10/2/2024,多元函数,切线方程,即,法平面方程,即,点,M,(1,2, 1),处的,切向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,二、,曲面的切平面与法线,设,有,光滑曲面,通过其上定点,对应点,M,切线方程为,不全为,0 .,则,在,且,点,M,的,切向量,为,任意,引一条光滑曲线,下面证明,:,此平面称为,在该点的,切平面,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上过点,M,的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上,.,10/2/2024,多元函数,证,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在 ,上,得,令,由于曲线,的任意性,表明这些切线都在以,为法向量,的,平面上,从而切平面存在,.,10/2/2024,多元函数,曲面, 在点,M,的,法向量,法线方程,切平面方程,复习 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面,的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,法向量,用,将,法向量的,方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,例,3.,求球面,在点,(1 , 2 , 3),处的切,平面及法线方程,.,解,:,所以球面在点,(1 , 2 , 3),处有,:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,例,4.,确定正数,使曲面,在点,解,:,二曲面在,M,点的法向量分别为,二曲面在点,M,相切,故,又点,M,在球面上,于是有,相切,.,与球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此有,10/2/2024,多元函数,1.,空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1),参数式情况,.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2),一般式情况,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,空间光滑曲面,曲面,在点,法线方程,1),隐式情况,.,的,法向量,切平面方程,2.,曲面的切平面与法线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2),显式情况,.,法线的,方向余弦,法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,思考与练习,1.,如果平面,与椭球面,相切,提示,:,设切点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,二法向量平行,),(,切点在平面上,),(,切点在椭球面上,),10/2/2024,多元函数,证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点,.,提示,:,在曲面上任意取一点,则通过此,作业,P45 2,，,3,，,4,，,5,，,8,，,9,，,10,2.,设,f,(,u,),可微,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,证明原点坐标满足上述方程,.,点的切平面为,10/2/2024,多元函数,1.,证明曲面,与定直线平行,证,:,曲面上任一点的法向量,取,定直线的方向向量为,则,(,定向量,),故,结论成立,.,的,所有切平面恒,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,2.,求曲线,在,点,(1,1,1),的切线,解,:,点,(1,1,1),处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线,:,法平面,:,即,与法平面,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/2/2024,多元函数,
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