1.4.2(1)正弦函数、余弦函数的函数的周期性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4.2,正弦函数、余弦函数的性质,第一课时,问题提出,问题,.,根据正弦函数和余弦函数的图象,你能说出它们具有哪些性质？,y,-1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,y=,sinx,x,y,O,1,-,1,y=,cosx,根据正弦函数和余弦函数的定义域为,R,值域是,-1,1,函数的周期性,一、,周期函数的概念,思考,1:,观察上图,正弦曲线每相隔,个单位重复出现,.,y,-,1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,y=,sinx,2,诱导公式,sin(2k+,x,）,=,sin,x,其理论依据是什么？,诱导公式,sin(x+2,) =,sinx,的几何意义,x,y,o,X,X+2,X,X+2,正弦函数值是按照一定规律,不断重复地,出现的,当自变量,x,的值增加,2,的整数倍时,函数值重复出现,.,数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种,“,周而复始,”,的变化规律,思考,2:,设,f(x,)=,sinx,则,sin(x+2,) =,sinx,用符号语言可以怎样表示？,f(x+2k)=,f(x,),这就是说：当自变量,x,的值增加到,x+2k,时，函数值重复出现,.,为了突出函数的这个特性，我们把函数,f(x,)=,sinx,称为,周期函数,，,2k,为这个函数的周期,(,其中,kz,且,k0),.,思考,3:,把函数,f(x,)=,sinx,称为,周期函数,.,那么,一般地,如何定义周期函数呢？,周期函数的定义,:,对于函数,f(x,),，如果存在一个,非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的每一个值,时，都有,f(x+T,)=,f(x,),那么函数,f(x,),就叫做周期函数，,非零常数,T,就叫做这个函数的周期,.,思考,4,：周期函数的周期是否唯一？正弦函数,y=,sinx,的周期有哪些？,答,:,周期函数的周期不止一个,.,2,4,6,都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数,2k(kz,且,k0),都是它的周期,.,周期函数的定义,:,对于函数,f(x,),如果存在一个,非零常数,T,使得当,x,取定义域内的每一个值,时,都有,f(x+T,)=,f(x,),那么函数,f(x,),就叫做周期函数,非零常数,T,就叫做这个函数的周期,.,已知,f(x+T,)=,f(x,) (T0),，,求证,:f(x+2T)=,f(x,),证明：因为,T,是,f(x,),的周期，,所以,f(x+T,)=,f(x,),，,F(x+T)+T,=,f(x+T,),，,即,f(x+2T)=,f(x,),因此,2T,是,f,（,x,）的周期,这个命题推广可得到什么结论？,2T,，,3T,，,，,nT,（,nZ,）也都是,f,（,x,）的周期,如果一个函数是周期函数,所有的周期就构成一个无穷集合,最小正周期,:,今后本书中所涉及到的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期,.,思考,5,：,周期函数是否一定存在最小正周期？,例如：,f(x,)=c (c,为常数）,否,如果在周期函数,f(x,),的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做,f(x,),的,最小正周期,.,周期函数的定义,:,对于函数,f(x,),如果存在一个非零常数,T,使得当,x,取定义域内的每一个值时,都有,f(x+T,)=,f(x,),那么函数,f(x,),就叫做周期函数,非零常数,T,就叫做这个函数的周期,.,最小正周期,:,如果在周期函数,f(x,),的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做,f(x,),的最小正周期,.,答：正弦函数,y=,sinx,有最小正周期，且,最小正周期,T=2,思考,6,：我们知道,2,，,4,，,6,，,都是,y=,sinx,的周期,那么函数,y=,sinx,有最小正周期吗？若有,那么最小正周期,T,等于多少？,证明：假设存在,T(0,2),使得,y=,sinx,对于任意的,xR,都成立,那么根据周期函数的定义，当,x,为任意值时都有,sin,（,x+T,）,=,sinx,这与,T(0,2),时,cosT,1,矛盾,.,这个矛盾证明了,y=,sinx,xR,的最小正周期是,2.,令,x=/2,代入上式得，,sin,（,/2+T,）,=sin/2=1.,但,sin,（,/2+T,）,=,cosT,，,于是又,cosT,=1,。,证明：正弦函数,y=,sinx,有最小正周期，且最小正周期,T=2,f(x,T)=,f(x,),是反映周期函数本质属性的条件,.,对于任意常数,T(T0),如果在函数定义域中至少能找到一个,x,使,f(x,T),f(x,),不成立,则,y=,f(x,),不是周期函数,.,对于某个确定的常救,T0.,如果在函数定义域中至少能找到一个,x,使,f(x,T),f(x,),不成立,.,我们能断言,T,不是函数,y=,f(x,),的周期,但不能说明,y,f(x,),不是周期函数,判断下列说法是否正确,（,1,） 时， 则,一定不是 的周期,（ ）,（,2,） 时， 则,一定是 的周期,（ ）,X,X+2,y,x,0,2,4,-2,y=,sinx(xR,),自变量,x,增加,2,时函数值,不断重复地,出现的,o,y,x,4,8,x,o,y,6,12,三角函数的周期性,:,4.T,是,f,(,x,),的周期，那么,kT,也一定是,f,(,x,),的周期,.,(,k,为非零整数,),正弦函数,y=,sinx,是周期函数,2k(kZ,且,k0),都是它的周期,最小正周期,T=2,余弦函数,y=,cosx,是周期函数,2k(kZ,且,k0),都是,它的,周期,最小正周期,T=2,思考,7,：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？,y,-,1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,y=,sinx,x,y,O,1,-,1,y=,cosx,二：,周期概念的拓展,思考,1,：判断下列说法是否正确,思考,2,：周期函数的定义域有什么特点？,函数,f(x,)=sinx,x0,，,10,是周期函数,( ),x,在定义域内，,x,+T,也在定义域内,周期函数的定义域是个无限集,例,1,求下列函数的周期：,y=3cosx,xR;,y=sin2x,xR;,y=2sin( - ),xR,;,3cos(x+2)=,由周期函数的定义可知,原函数 的周期为,2,解：,y=,cosx,的周期为,2,3cosx,y=sin2x,xR;,sin2(x+)=,由周期函数的定义可知，原函数的周期为,sin2x,sin(2x+2),=,解：,y=2sin( - ),xR,;,由周期函数的定义可知，原函数的周期为,4,解：,由上例知函数,y=3cosx,的周期,T= 2,；,函数,y=sin2x,的周期,T=,；,函数,y=2sin( - ),的周期,T=4,想一想：以上这些函数的,周期,与,解析式,中哪些,量,有关吗？,思考,5:,一般地,函数,的最小正周期是多少,?,思考,3:,函数,y=3sin(2x,4),的最小正周期是多少,?,思考,6:,如果函数,y=,f(x,),的周期是,T,那么函数,y=,f(x,),的周期是多少？,例,2,已知定义在,R,上的函数,f(x,),满足,f(x,2),f(x,)=0,，试判断,f(x,),是否为周期函数？,分析,由已知有：,f(x,2)= -,f(x,),f(x+4)=,即,f(x,4)=,f(x,),由周期函数的定义知，,f(x,),是周期函数,.,f(x,),=-,f(x,)=,-,f(x,2),f(x,2)+2=,例,3,已知定义在,R,上的函数,f(x,),满足,f(x,1)=,f(x,1),且当,x0,2,时,f(x,)=x,4,求,f(10),的值,.,解：因为,f(x+1)=f(x-1),，,所以,f(10)= f(9+1)= f(9-1)=f(8);,f(8)= f(7+1)= f(7-1)=f(6);,f(6)= f(5+1)= f(5-1)=f(4);,f(4)= f(3+1)= f(3-1)=f(2);,f(2)= f(1+1)= f(1-1)=f(0);,因此,f(10)=f(0);,而,f(0)=0-4=-4,。,所以,f(10) =-4,练习,1.,求下列函数的周期：,练习,2,(1),函数,y,sin,x,的周期是,T,=,(2),函数,y,cos2,x,的周期是,T,=_,.,3.,下面函数是周期函数吗？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？,4.y=sinx(x0,4),是周期函数吗？,5.,是不是周期函数？为什么？,一般地，函数,y=,Asin(,x+,),及,y=,Acos(,x+,),（其中,A,为常数，且,A0,0,）的周期是,:,周期求法：,1.,定义法：,2.,公式法：,3.,图象法,:,g(x,)=|,sinx,|,xR,.,如果在周期函数,f(x,),的所有周期中,存在,一个最小的正数,则这个最小正数叫做,f(x,),的最小正周期,归 纳 整 理,1.,说说周期函数的定义,.,3.,什么叫周期函数的最小正周期？,2.,求函数周期的方法：,4.,周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期,.,5.,周期函数的周期有许多个，若,T,为周期函数,f(x,),的周期，那么,T,的整数倍也是,f(x,),的周期,.,6.,函数,y=,Asin(x+,),和,y=,Acos(x+,) (A,0),的最小,正周期,T=,这个公式，解题时可以直接应用,（,1,）定义法,（,2,）公式法,（,3,）图象法,作业：,P36,练习,P46,：,A,组,3 B,组,3,证明：函数,f(x,),的周期是,T,，,则,f(x+T,) =,f(x,),对定义域内的任何,x,都成立,设,g(x,) =,f(x,),则,g(x,+ T/)=,f(x,+ T/),=,f(x,+ T) =,f(x,) =,g(x,),这说明了函数,g(x,),以,T/,为周期 即 函数,f(x,),以,T/,为周期。,设函数,y=,f(x,),是以,T,为周期的周期函数，试证函数,y=,f(x)(,0),是以,T/,为周期的周期函数,