数学回归分析与声速测量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,LOGO,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,数学回归分析,线性回归,非线性回归,一元回归,多元回归,Logistic回归,Poisson回归,一元回归模型的建立,一元回归模型的基本模型只有一个自变量x和一个因变量y，他们之间的关系是线性的，即,(1.1),其中，为零均值的随机变量,，,方差为,。,式子（1.1）将实际中的变量y和x之间关系划分为两部分，一部分是由于x的变化而引起自变量y变化的部分，即为,，另一部分则是由一切随机因素或者测量误差引起的，我们用,来表示它。,一般情况下，我们要研究的某个实际问题，我们可以通过测量获得n组样本观测值：,如果符合模型（1.1）,切满足于 ，,其中，这表明的期望不同，方差相同。因此是独立的随机变量，但是不同分布。式子解释了变量x和y的变化规律，这对我们实际应用非常重要。,我们利用回归分析来解决实际问题的主要是目的是通过观测样本 对其中的参数和进行估计，一般我们常用，分别表示和的估计值，即：,回归的最小二乘估计,为了,估计,出参数,和,的值，我们希望找到一条截距为和斜率为的直线，同时又要使这条直线离离散图上的每个点都最接近，从数学上说我们可以将残差平方和达到最小值，也就是说我们找到和，使得：,只需求出上式的驻点即可,由,解得参数的估计为,其中 ，,我们简单化上式,则最终估计可记为,这样我就求得模型（1.1）参数,一元回归参数检验,在我们通过最小二乘法得到回归方程（1.4）模型中,0,和,1,的值后，我们并不能直接用它去做分析和预测，为了确定方程（1.4）是否能够反映出两个变量之间的关系规律性，我们必须进行检验，在检验时我们通常需要正态性假设，,即,，我们称为对回归方程的显著性检验。,我们将特定的观测值和均值之间的差异,称之为离差，考虑n组实验观测值的离差平方和，,记为：,因此公式（1.9）可进一步写为：,由于我们假设误差项和x不相关，即,；而误差项的期望值为0，即,，根据方程（1.4）因此我们可以得到,。,因此,我们另,其中,R,称之为回归平方和，,E,称之为残差平方和，式子（1.10）可简写为,这里回归平方和表示因变量上的总变异，回归平方和表示总回归中被回归方程解释的部分，残差平方和则表示未被解释的变异，我们用回归方程来解释两个变量的关系的好坏，衡量回归直线的优度，其判断标准就是看R在S中所占的比例。其中的取值范围为,0，1,，若,的比值越接近于1，说明直线的拟合效果越好，我们用回归方程来代替两个变量的变化规律也越合适。,2,一元回归在超声波速度检测中的应用,2.1,超声波的传播特性,声波是物体机械振动的传播形式，我们把振动频率超过,20000,赫兹的声波成为超声波，由于超声波具有方向性好，传播能力强等特性，,因此超声波进行测距，测速，探伤等工程实践中。,超声波跟其他声波一样在介质中会发生反射，折射衍射等传播规律，但是超声波波长很短，最短可达千分之几毫米，而通常的障碍物的尺寸要比超声波大的多，所以超声波衍射能力差，它可以看作在均匀介质中沿指定直线传播，这对我们们对其速度研究有着重大帮助。,工业上我们常用超声波用于探伤技术，一般使用的超声波频率是,2kHz,到,25Hz,之间，对于不同频率的超声波其速度也有所不同，但我们可以根据超声波沿直线传播这一特性，建立时间与距离的数学回归模型，用来测定超声波在某一恒定频率下的超声波速度。,2.2,超声波速度的测量方法,超声波声速,在材料介质中的基本测量方法有脉冲回波法和超声波共振法，在频率恒定的情况下，本文我们选用脉冲回波计数法来测量超声波在薄板中的传播速度，脉冲回波法是将超声波通过水平入射到被测材料中，通过超声波脉冲回波的传播时间来计算超声波的声速，这种方法装置比较简单，比较容易实现。,实验：,LABVIEW,信号发生器,用于产生虚拟的脉冲电压信号,压电元件,由于超声波是机械波，利用压电元件可以实现电能与机械能的转换，实现对超声波速度的测量,超声波探头,超声波的发射与接收都有此探头来完成,示波仪,用来进行脉冲计数，选取第一次到第二次回波测量的时间间隔,在采用压电元件作为传感器时，在薄板上选取合适的传感器，用测得传感器之间的距离，通过示波仪上面读取声波回波的时间差。,则可估计出声波在薄板材料的传播速度：,测量误差分析,（,1,）超声波在薄板中传播会发生波束的扩散，在薄板内部缺陷处的发生散射、材料的吸收等特性，因此会发生声波的传播衰减，实际的传播时间会偏大，因此我们通过常规测量的方法会导致测得速度的偏小。,（,2,）由于薄板内部可能有缺陷或者质地不均等现象，通过单个传感器测量可能会只能测出在此区间里的传播速度，不能准确测得在薄板介质中的传播速度，因此测得声速具有局限性。,（,3,）在距离和时间的测量过程中避免不了实验误差，可能会导致实验测得的速度过大或者过小。,2.4,一元回归的声速测量,由于上述方法测量在薄板中的声速会由于实验条件的限制，产生各种各样的误差，因此在超声波速度实验中，采用的单一的传感器发射接收信号很难获得完整的被测对象的信息，而具有一定的局限性，我们可以通过增加传感器的个数，采用十字阵列多传感器测量，从而更加完善的确定准确的对象特征。,如右图所示,