导数的应用(118)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2.4 导数的应用(118),*,1,2.4 导数的应用(118),2,2.4 导数的应用(118),2.4.1,函数单调性的判别法,3,2.4 导数的应用(118),证,应用拉氏定理,得,4,2.4 导数的应用(118),例1,解,注意,:,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,5,2.4 导数的应用(118),单调区间求法：,问题,:,函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,若函数在其定义域的某个,区间,内是单调的，则该区间称为函数的,单调区间,.,导数等于零的点和不可导点是单调区间的,可能,分界点,方法,:,6,2.4 导数的应用(118),例2,解,单调区间为,7,2.4 导数的应用(118),例3,解,单调区间为,8,2.4 导数的应用(118),例4,证,注意,:,区间内个别点导数为零不影响区间的单调性,.,例如,9,2.4 导数的应用(118),2.4.6,小结与思考题,1,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用,.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立,.,利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式,.,10,2.4 导数的应用(118),思考题,11,2.4 导数的应用(118),思考题解答,不能断定,.,例,但,12,2.4 导数的应用(118),当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,13,2.4 导数的应用(118),课堂练习题,14,2.4 导数的应用(118),15,2.4 导数的应用(118),课堂练习题答案,16,2.4 导数的应用(118),17,2.4 导数的应用(118),2.4.2,曲线的凹凸性及其判别法,问题,:,如何研究曲线的弯曲方向,?,18,2.4 导数的应用(118),图形上任意弧段位,于所张弦的上方,图形上任意弧段位,于所张弦的下方,曲线凹凸的特点：,19,2.4 导数的应用(118),凹凸弧的定义：,20,2.4 导数的应用(118),曲线凹凸的判定：,21,2.4 导数的应用(118),判别法：,22,2.4 导数的应用(118),例,5,解,注意：,23,2.4 导数的应用(118),曲线的拐点及其求法,注意,:,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,.,拐点的求法：,证,24,2.4 导数的应用(118),方法,1:,25,2.4 导数的应用(118),例,6,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,26,2.4 导数的应用(118),27,2.4 导数的应用(118),方法,2:,例,7,解,28,2.4 导数的应用(118),注意,:,29,2.4 导数的应用(118),例,8,解,30,2.4 导数的应用(118),曲线的弯曲方向,凹凸性,;,改变弯曲方向的点,拐点,;,凹凸性的判定,.,拐点的求法,1, 2.,2.4.6,小结与思考题,2,31,2.4 导数的应用(118),思考题,32,2.4 导数的应用(118),思考题解答,例,33,2.4 导数的应用(118),课堂练习题,34,2.4 导数的应用(118),课堂练习题答案,35,2.4 导数的应用(118),2.4.3,函数的极值及求法,36,2.4 导数的应用(118),极值的定义：,37,2.4 导数的应用(118),函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,函数极值的求法：,定理,(,必要条件,),注意,:,38,2.4 导数的应用(118),例如,定理,(,第一充分条件,),39,2.4 导数的应用(118),(,是极值点情形,),(,非极值点情形,),如图所示：,40,2.4 导数的应用(118),求可导函数极值的步骤,:,41,2.4 导数的应用(118),例,9,解,列表讨论,极大值,极小值,42,2.4 导数的应用(118),图形如下,43,2.4 导数的应用(118),定理,(,第二充分条件,),证,44,2.4 导数的应用(118),45,2.4 导数的应用(118),例,10,解,图形如下,46,2.4 导数的应用(118),注意,:,47,2.4 导数的应用(118),例,11,解,注意,:,函数的不可导点也可能是函数的极值点,.,48,2.4 导数的应用(118),求函数极值的步骤：,函数的驻点和不可导点同称为函数的,临界点,.,(2),求函数的临界点；,49,2.4 导数的应用(118),极值是函数的局部性概念,:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,.,驻点和不可导点统称为,临界点,.,函数的极值必在,临界点,取得,.,判别法,第一充分条件,;,第二充分条件,.,(,注意使用条件,),2.4.6,小结与思考题,3,50,2.4 导数的应用(118),思考题,下命题正确吗？,51,2.4 导数的应用(118),思考题解答,不正确,例,52,2.4 导数的应用(118),在,1,和,1,之间振荡,故命题不成立,53,2.4 导数的应用(118),课堂练习题,54,2.4 导数的应用(118),55,2.4 导数的应用(118),课堂练习题答案,56,2.4 导数的应用(118),2.4.4,曲线的渐近线,1,、渐近线的定义：,57,2.4 导数的应用(118),2,、水平渐近线,例如,有水平渐近线两条,:,58,2.4 导数的应用(118),3,、铅直渐近线,例如,有铅直渐近线两条,:,59,2.4 导数的应用(118),4,、斜渐近线,斜渐近线求法,:,60,2.4 导数的应用(118),注意,:,例,12,解,61,2.4 导数的应用(118),62,2.4 导数的应用(118),63,2.4 导数的应用(118),2.4.5,函数图形的描绘,利用函数特性描绘函数图形，,步骤如下,：,第一步,第二步,64,2.4 导数的应用(118),第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势,;,第五步,65,2.4 导数的应用(118),作图举例：,例,13,解,非奇非偶函数,且无对称性,.,66,2.4 导数的应用(118),列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,:,不存在,拐点,极小值,间断点,67,2.4 导数的应用(118),作图,68,2.4 导数的应用(118),69,2.4 导数的应用(118),例,14,解,偶函数,图形关于,y,轴对称,.,70,2.4 导数的应用(118),拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,:,拐点,71,2.4 导数的应用(118),72,2.4 导数的应用(118),例,15,解,无奇偶性及周期性,.,列表确定函数升降、,凹凸区间及极值点与拐点,:,73,2.4 导数的应用(118),拐点,极大值,极小值,74,2.4 导数的应用(118),75,2.4 导数的应用(118),函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,2.4.6,小结与思考题,5,76,2.4 导数的应用(118),思考题,77,2.4 导数的应用(118),思考题解答,78,2.4 导数的应用(118),课堂练习题,79,2.4 导数的应用(118),课堂练习题答案,80,2.4 导数的应用(118),81,2.4 导数的应用(118),*补充,1,：最值的求法,82,2.4 导数的应用(118),求最值的步骤,:,1.,求函数的临界点,;,2.,求区间端点及临界点的函数值,比较大小,最大者即最大值,最小者即最小值,.,注意,:,如果区间内只有一个极,(,大或小,),值,则这个极,(,大或小,),值就是最,(,大或小,),值。,83,2.4 导数的应用(118),应用举例：,例1,6,解,计算,84,2.4 导数的应用(118),比较得,85,2.4 导数的应用(118),点击图片任意处播放,暂停,例,1,7,一汽车从河的北岸,A,处以,1,千米,/,分钟的速度向正北行驶，同时一摩托车从河的南岸,B,处向正东追赶，速,度为,2,千米,/,分钟,问摩托车何,时与汽车相距最,近？,86,2.4 导数的应用(118),解,(1),建立两车相距函数关系：,两车相距函数,得唯一驻点,87,2.4 导数的应用(118),实际问题求最值应注意,:,(1),建立目标函数,;,(2),求最值,;,88,2.4 导数的应用(118),例,1,8,某房地产公司有,50,套公寓要出租，当租金定为每月,180,元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加,10,元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费,20,元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,89,2.4 导数的应用(118),（唯一驻点）,故每月每套租金为,350,元时收入最高。,最大收入为,90,2.4 导数的应用(118),点击图片任意处播放,暂停,例,19,91,2.4 导数的应用(118),解,如图,92,2.4 导数的应用(118),解得,93,2.4 导数的应用(118),注意最值与极值的区别,.,最值是整体概念而极值是局部概念,.,实际问题求最值的步骤,.,2.4.6,小结与思考题,5,94,2.4 导数的应用(118),思考题,95,2.4 导数的应用(118),思考题解答,结论不成立,.,因为最值点不一定是内点,.,例,在 有最小值，但,96,2.4 导数的应用(118),课堂练习题,97,2.4 导数的应用(118),课堂练习题答案,98,2.4 导数的应用(118),1,、弧微分,规定：,*补充,2,：弧微分与曲率,基点：,为任意一点,.,99,2.4 导数的应用(118),单调增函数,如图，,弧微分公式,100,2.4 导数的应用(118),2,、曲率,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。,),),弧段弯曲程度,越大转角越大,转角相同弧段越,短弯曲程度越大,),101,2.4 导数的应用(118),),y,x,o,（,设曲线,C,是光滑的，,（,曲线,C,在点,M,处的曲率,存在的条件下，,102,2.4 导数的应用(118),3.,曲率的计算公式,注意,:,(1),直线的曲率处处为零,;,(2),圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大,.,103,2.4 导数的应用(118),104,2.4 导数的应用(118),例,20,解,显然,105,2.4 导数的应用(118),点击图片任意处播放,暂停,例,21,106,2.4 导数的应用(118),107,2.4 导数的应用(118),证,如图,（,（,在缓冲段上,实际要求,108,2.4 导数的应用(118),109,2.4 导数的应用(118),4,、曲率圆与曲率半径,110,2.4 导数的应用(118),1.,曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数,.,注意,:,2.,曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小,(,曲线越平坦,);,曲率半径越小,曲率越大,(,曲线越弯曲,).,3.,曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧,(,称为曲线在该点附近的二次近似,).,111,2.4 导数的应用(118),例,22,解,如图,受力分析,视飞行员在点,O,作匀速圆周运动,O,点处抛物线轨道的曲率半径,112,2.4 导数的应用(118),得曲率为,曲率半径为,即,:,飞行员对座椅的压力为,641.5,千克力,.,113,2.4 导数的应用(118),运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支,微分几何学,.,基本概念,:,弧微分,曲率,曲率圆,曲率半径,.,曲线弯曲程度的描述,曲率,;,曲线弧的,(,二次,),近似代替,曲率圆,(,弧,).,2.4.6,小结与思考题,5,114,2.4 导数的应用(118),思考题,椭圆 上哪些点处曲率最大？,115,2.4 导数的应用(118),思考题解答,要使 最大，,必有 最小，,此时 最大，,116,2.4 导数的应用(118),课堂练习题,117,2.4 导数的应用(118),课堂练习题答案,118,2.4 导数的应用(118),