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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1,一、相似矩阵的概念和性质,定义,5.2,对于,n,阶方阵,A,和,B,，,若存在,n,阶,可逆,方阵,P,，,使得,则称,A,与,B,相似,记为,矩阵的,“,相似,”,关系具有以下特性：,(1)反身性：,(2)对称性：,证,(3)传递性：,证,相似的矩阵必等价，即,若 ，则,.,1一、相似矩阵的概念和性质定义5.2 对于n阶方阵A和B，若,2,相似矩阵的性质：,定理,5.7,相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.,证,推论1,相似矩阵的行列式相等；,推论2,相似矩阵的迹相等；,推论3,若矩阵,A,与一个对角阵,相似,2相似矩阵的性质：定理5.7 相似矩阵有相同的特征多项式,从,3,注意:,特征值相同的矩阵不一定相似.,但它们不相似,因为对任意可逆阵,P,即与,E,相似的矩阵只有它自己。,相似矩阵的其它性质：,相似矩阵的秩相等；,若,P,Q,为可逆矩阵,则有,3注意:特征值相同的矩阵不一定相似.但它们不相似,因为对任意,4,A,B,同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。,只证(3)，其余证明留作练习.,(1),(2),(3),(4),(5),(6),为常数,),4A,B 同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也,5,例1,解,5例1解,6,n,阶矩阵,A,与一个对角阵相似的充分必要条件是,A,有,n,个线性无关的特征向量。,二、矩阵可相似对角化的条件,定理,5.8,如果一个矩阵能与一个对角阵相似,则称该矩阵可以(相似),对角化,。,证,必要性：,设,A,与一个对角阵相似,即存在一个可逆,阵,P,使,6 n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有,7,即,即,即得,必要性得证。,上述步骤倒过来写,即得充分性证明。,7即即即得必要性得证。上述步骤倒过来写,即得充分性证明。,8,推论1,如果矩阵,A,的特征值互不相同,则,A,必可对角化.,因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的.,注意,:这个,条件是充分的而不是必要的.,如果,A,的特征方程有,重根,，此时不一定有,n,个线性无关的特征向量，从而矩阵,A,不一定能对角化；但如果能找到,n,个线性无关的特征向量,A,还是能对角化,8推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化.因为,9,n,阶矩阵,A,可对角化的步骤：,（,1,）求出 的所有不同根（即的全部特,征值）,其重数依次为 ；,（,2,）对每一特征值,解方程组 得基础,解系,;,（,3,）若存在 ，则,A,不能对角化,.,否则,A,可对角,化，以这些基础解系的向量为列,构成矩阵，则,P,可逆且,9n阶矩阵A可对角化的步骤：（1）求出,10,因此，若 ，则有重要等式：,其中 为多项式，,m,为正整数,.,注（,1,）特征值在 中的顺序与特征向量在,P,中的,顺序应一致；,（,2,）满足 的可逆矩阵,P,不唯一；,（,3,）为检验 是否正确，可用下列式,子验证：,10因此，若 ，,11,例,2,判断下列矩阵是否可对角化？若能，则求,P,，,使 为对角阵，并计算 、及,解 （,1,）,(1),(2),得,A,的特征值为 ，又,得 ，所以，由推论,5.7,知,A,不能对角化,.,11 例2 判断下列矩阵是否可对角化？若能，则求P，解,12,（,2,）,由,得,A,的特征值为,.,对 ，解方程组 ，由,得基础解系为,.,对,解方程组,由,12（2）由 得A的特征值为 .对,13,得基础解系为,.,所以,A,有,3,个线性无关的特征向量，,A,可对角化,.,令,则,P,可逆且,又易求,故,13得基础解系为 .则P可逆且又易求故,14,由特征多项式可知：,.,令 ，则,所以，,.,14由特征多项式可知：,15,例,3,解,设,求可逆阵,P,，,15例3解设求可逆阵P，,16,特征向量,特征向量,16特征向量特征向量,17,特征向量,特征向量,特征向量,17特征向量特征向量特征向量,18,令,则,18令则,19,例,4,解,求可逆阵,P,，,判断矩阵,能否对角化，若能，,特征向量,19例4解求可逆阵P，判断矩阵 能否对角化，若能，特征向量,20,特征向量,可对角化,20特征向量可对角化,21,例,5,解,求可逆阵,P,，,只有一个线性无关的特征向量,判断矩阵,能否对角化，若能，,所以不能对角化.,21例5解求可逆阵P，只有一个线性无关的特征向量,判断矩阵,22,例,6,解,得,A,的特征值为,22例6解得A的特征值为,23,23,24,例,7,解,24例7解,25,从而,A,可相似对角化.,秩为,1,，,25从而A可相似对角化.秩为1，,26,从而,A,不可相似对角化.,秩为,2,，,26从而A不可相似对角化.秩为2，,27,一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵,A,能对角化，即存在可逆阵,P,，,使得,则,于是,转化为对角阵求幂.,27 一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对,28,例,8,解,设,28例8解设,29,29,30,练习：,P189,习题四,30练习：P189 习题四,31,END,END,31ENDEND,
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