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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直接向大师们而不是他们的学生学习。-阿贝尔,第十章 球函数,偏微分方程,常微分方程组,分离变量,本征值问题,广义傅立叶级数,勒让德多项式,贝塞耳函数,（,特殊函数,）,特殊函数,勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；,贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、,超几何，合流超几何等函数。,2,一般的球函数,球函数方程：,球函数,（,l,称作球函数的阶,）：,10.1,轴对称球函数,3,轴对称,拉普拉斯,方程的求解,4,（一）勒让德多项式,处有限,（,1,）代数表示,则对,约定最高次幂系数,5,勒让德多项式：,：,小于、等于,l,/2,的最大整数,。,每项,总含,x,唯一不含,x,的项,6,7,勒让德多项式的图象,8,(2),微分表示（罗德里格斯公式）,证：,9,(3),积分表示（施列夫积分）,由科西公式,C,绕,z=x,点,。,设半径为,C,上,10,即,第二类勒让德函数,勒让德方程的一般解,由朗斯基行列式导出第二个线性独立解,11,在,x,=,1,处均发散,本征值,v,=0,1,2,3,在,x,=0,点邻域内，两个线性无关解,附录,4,：对于一般的,v,值，两个解在,x,=,1,处均对数发散,12,（三）正交关系,（四）模,习题,9.3,（,5,）,P261,在,x,=1,点邻域内，两个线性无关解,第一类勒让德函数,第二类勒让德函数,在,x,=1,点解析,在,x,=1,点,发散,若还要求在,x,=-1,点有界,，,本征值,v,=0,1,2,3,x,=1,点有界,13,第一项为零，即,进行,l,次分步积分后,只有最高次幂才不为零，故,再逐次进行分步积分，得,即,14,（五）广义傅立叶级数,定义在区间,-1,1,的函数,f,(,x,),可以展开为广义傅立叶级数,展开系数为,或区间,0,的函数,f,(,),展开为,系数为,勒让德多项式的完备性：任意一个在区间,-1,1,中分段连续的函数,f,(,x,),，,在平均收敛意义下，可展开为级数,平均收敛：,15,16,正交性,正交性应用例题,模,例,1,：,在,-1,1,中将,展开为广义傅立叶级数,。,解：,比较,展开式最多含三阶勒让德多项式。,17,例,2,是奇函数：,x,=1,为二阶零点,18,因,找出,项，它在,x,=0,才不为零,19,例,3,解：,由轴对称,球内含,所以,（六）拉普拉斯方程的轴对称定解问题,边界条件与角,无关，可以推断,解也与角,无关。故,m,=0,边界条件：,20,例,4,定解问题：,偶延拓：,或,或,21,22,例,5,均匀电场中放置介电常数,的球，求介质球,内、外,的电场,解：,无穷远处有边界条件，,球面处有衔接条件。,取球坐标，,z-,方向沿,轴对称拉普拉斯问题,内外分别讨论，然后连接起来,边界条件：,衔接条件：,Internal:,External:,电势连续：,电位移连续：,有限,23,轴对称拉普拉斯方程解的一般形式：,球内,有限：,球外,无穷远边值：,24,利用衔接条件：,解得,25,球内电场强度：,26,（七）母函数,定义：,叫勒让德多项式的,母函数。,电荷在单位球的北极。,求球内任一点电势。,它又是拉普拉斯方程的内解：,令,故,27,令,所以,半径,R,的球：,球外,28,例,6,解：,利用已知结果。,导体内：等势。,导体外：,无导体时,有导体时，设,接地,29,又,是 处电荷 的电势。这个电荷叫原电荷的,镜像,。,是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。,30,（八）递推公式,两边对,r,求导,或,两边同幂 的系数,递推,公式,31,32,母函数应用：,勒让德多项式模的计算,10.2,连带勒让德函数,（一）函数,设,(1),表达式,33,(2),微分表示,情况：,二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边界条件的本征解只有一个，故这两个解只相差一个常数。,比较最高次幂系数,34,(3),积分表示,（二）正交关系,（三）模,多次分步积分：,（四）广义傅立叶级数,35,36,连带勒让德函数,以 为基，再,-1,1,区间展开函数,例,1,例,2,37,项系数有贡献,项系数有贡献,每项含有,x,38,10.3,一般的,球函数,（一）球函数,（二）正交关系,（三）模,（四）球面上的广义傅立叶级数,39,例,1,例,2,注意：,40,例,3,偶极矩的电场中的电势,解,沿,x,轴,41,沿,y,轴,沿,z,轴,m,=0,沿任意方向,(,五,),拉普拉斯方程的非轴对称解,例,4,球内解,42,其余,边界条件：,例,5,球外解,43,四极矩,取分量：,一个偶极矩的电势,两个偶极矩的电势,偶极矩,44,一般的,45,加法公式：,用一般球函数,展开,复数形式,矢量,OP,与,OM,的标积,归一化球函数,46,
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