线性系统理论-5b

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 线性系统的,能控性和能观测性,能控性,:,输出,:,y,；,输入,:,i,s,回路,的模式（模型）,：,e,-,t,可由,i,s,控制,；,回路,的,模式（模型）,：,e,-2,t,不能被,i,s,控制,。,若,U,C2,(,t,0,)=0,，,t,t,0,，,回路,的模式,e,-2t,不能被激励,；,若,U,C2,(,t,0,),0,，,t,t,0,，,模式为,e,-2t,，,但输入,i,s,也无法控制它的变化,。,回路,的模式,e,-,t,，,由输出,y,上观测不到,，,y,能观测的仅仅是回路,的模式,e,-2,t,；,回路,的模式,e,-t,，,可由,i,s,控制,可控,；,不能由,y,观测,不能观测,。,回路,的模式,e,-2t,不能由,i,s,控制,不能控,；,可由,y,观测,能观测,。,5-1,引言,控制作用对控制系统影响的可能性,。,能观测性,:,由系统的输出量确定系统状态的可能性,。,引例,1,如图所示,：,_,+,R,3,2,y,C,1,1,F,R,1,1,C,2,0.5,F,R,2,1,x,1,、,x,2,都是由,u,控制，达到一定状态,系统完全能控,；,y,只反映了,x,2,系统不完全能观测。,状态,x,(,t,),：,若,x,(,t,0,)=0,，,t,t,0,，,u,s,，,x,(,t,)=0,x,(,t,),不能控,；,若,u,s,=0,，,x,(,t,0,),，,t,t,0,，,y=,0,x,(,t,),不能观测,；,不能控不能观测的系统,。,引例,2,如图所示,:,C,x,_,+,R,R,R,R,_,+,y,引例,3,系统,5-2,能控性,定义,（,线性定常系统，状态能控性,）,对于线性定常系统,，,若,对初始状态,x,(,t,0,),0,，,存在输入,u,(,t,),，,t,t,0,t,1,，,能在有限时间区间,t,t,0,t,1,内,将,x,(,t,0,),转移到状态,x,(,t,1,)=0,，,则称此,状态,x,(,t,0,),是,能控,的,。,若,所有状态均可控，则称此系统是,完全能控,的,；,若,系统内一部分状态能控，另一部分状态不能控，则称此系统,不完全能控,。,对于线性时变系统，强调,“,x,(,t,0,),在,t,0,时刻能控,”,。,若,对于,t,(-,),，,x,(,t,),均可控，称为,“,一致可控,”。,（,n,n,对称阵,）,为,非奇异,。,能控性判据,一、,线性定常系统,(,A,B,C,),能控性判据,1.,定理,1,Gram,矩阵判据,线性定常系统为完全能控的,充要条件,是存在有限时刻,t,1,0,使,Gram,矩阵,证明,：,a,）充分性,：,=0,b,）必要性：,完全能控,W,C,(0,t,1,),非奇异,。,反证法：,反设,W,C,(0,t,1,),为奇异，至少,于是,，,又，系统完全能控,，,为,满秩,。,即,2.,定理,2,秩判据,的假设与系统完全能控相矛盾，反证不成立,。,即,W,C,(0,t,1,),是非奇异的,。,线性定常系统状态完全能控的,充要条件,是,：,能控性判别矩阵,W,C,rank,W,C,=,n,(,A,n,n,，,B,n,p,，,W,C,n,np,),（,该定理也适用于线性定常离散系统,：,证明：,a,）,充分性,已知,rank,W,C,=,n,系统完全能控。,反证法：,反证系统不完全能控。,为奇异，则存在非零向量,使其成立,：,对,(1),式逐次求导，直到,(,n,-1),次，得,(1),和,(2),中令,t,=0,，,得,由于,0,所以,(3),式意味着,W,C,为行线性相关,。,即有,rank,W,C,n,，,这与已知,rank,W,C,=,n,矛盾,，,所以，反证不成立,系统为完全能控,。,b,）必要性：,已知系统完全能控,rank,W,C,=,n,反证法：,反证,rank,W,C,n,。,这意味着,：,W,C,为行线性相关，因此，存在非零向量,使其成立,。,又由,(4),知,根据,Cayley,-Hamilton,定理知,，,A,n,，,A,n+1,，,，,均可表示为,，,A,，,A,2,，,，,A,n-1,的线性组合，,例,已知,可得,：,(9),式表明,，,Gram,矩阵,W,C,(0,t,1,),为奇异，即系统不完全能控，,与已知系统完全能控矛盾，反证不成立。,于是，有,rank,W,C,=,n,。,必要性得证。,判定系统,(,A,B,C,),是否完全能控。,rank,W,C,=23(n=3),系统不完全能控,。,作变换,：,线性定常系统的系统矩阵,A,有相异特征值,，,则系统完全能控的,充要条件,是,M,-1,B,中,没有元素全为零的行,。,4,定理,4,对角形判据,证明：,已知,3,定理,3,对状态变量,x,(t,),进行非奇异,线性变换,，,即,x,(t,)=,PZ,(,t,),（,P,为非奇异,），,不改变,系统的,能控性,。,M,是系统的模式矩阵,。（,M,=,e,1,，,e,2,，,e,n,）,证明：,M,=,e,1,，,e,2,，,e,n,x=,Mz,中第,q,行元素全为零,：,反之,，,不含有全零的行，,无线性相关行（因,i,相异,）,由下式亦可进一步理解,：,5.,定理,5,约当规范形判据,设系统,(,A,B,),有重特征值,1,(,1,重,),，,2,(,2,重,),，,，,k,(,k,重,),，,系统经,x=,Tw,非奇异变换后为约当规范形,：,式中,即每个重特征值,i,对应于一个约当块（每个约当块对应于互不相同的特征值）。,则系统完全能控的,充要条件,是,：,变换后的控制阵 中与每一约当块,J,i,(,i,=1,2,k,),的最后一行相应的各行，其元素不完全为零。即,证明：,rank,W,CW,=,n,rank,W,CX,=,n,系统,(,A,B,),完全能控,。,完全能控,某,J,约当块,J,i,，,相应的,J,i,l,为一上三角块,。,因此，若对应于,J,i,的最后一行，记为,J,的第,q,行,，,控制阵 中该行元素全为零，即,则,W,CW,中必有第,q,行元素为零。于是,：,rank,W,CW,n,.,若,rank,W,CW,=,n,，,则须使,注,:,若重特征值,i,对应的两个以上的约当块,，,即,：,由 的最后一行组成的矩阵,对于,i,=1,2,k,均为线性无关。,则系统,(,A,B,),完全能控的,充要条件,是,：,因为,则,W,CW,中必有两行线性相关，于是,rank,W,CW,n,。,若 与 线性相关（即有 线性相关,）,以上的“注,”,是针对多输入系统的。（若,P,(,行,),t,0,使,Gram,矩阵,：,其中,，,(,),为该系统的状态转移矩阵,。,即,rank,W,C,(,t,0,t,1,)=,n,。,（,完全能控,）,2,判据,2,秩判据,设,A,(,t,),和,B,(,t,),是,(,n,-1),阶,连续可微,的矩阵,，,若存在一个有限时刻,t,1,t,1,t,0,使,则线性时变系统,(,A,(,t,),B,(,t,),在时刻,t,0,为完全能控,。,其中：,（,这是一个充分条件,。）,5-3,能控标准形,(,规范形,.,典范形,),讨论：,单输入系统的能控规范形,。,1,定义,单输入系统,(,A,C,B,C,),为,能控规范形,，,若,2,定理,若系统的状态方程为,能控规范形,，,则系统必完全能控。,证,为,下三角,阵,rank,W,C,=,n,.,若单输入系统,(,A,B,),完全能控,，,则有非奇异阵,P,，,使,（,P,-1,AP,，,P,-1,B,）,为能控标准形，即,3,定理,其中,：,证,：,设,QA=A,C,Q,（,1,）,QB=B,C,（,2,）,记,：,由,(1),：,由,(2),得,：,转置,：,所以，可得出,若,Q,为非奇异（待证），,Q,-1,存在，可令,P,=,Q,-1,，,P,-1,=,Q,，,则有,如此，也给出了,P,(,P,-1,),构造方法,。,补证：,Q,为非奇异,注意,：,的最后一行，可知,5,能控标准形系统的,特性,4,推论,单输入系统,(,A,B,),完全能控的,充要条件,是,可通过非奇异,线性变换,x=,Pz,，,使系统,(,A,B,),变为能控标准形,(,A,C,B,C,),。,（单输入系统）,（,1,）,矩阵,A,C,中的系数,0,1,n-1,可为任意值，不影响系统的能控性。,（,2,）,矩阵,A,C,的特征多项式,（,3,）,这因为,当,q,=1,时,（,SISO,系统,）：,例,求：,（,1,）,能控标准形,；,（,2,）,传,函,G,(,s,),；,（,3,）,x,(0)=0,u,(,t,)=,l(,t,),时的,y,(,t,),。,解：,（,1,）,先判断能控性。,系统完全能控,。,5-4,能观测性,研究能观测性,：,能观测性判据,一、线性定常系统的能观测性判据,1,定理,1,Gram,矩阵判据,线性定常系统完全能观测的,充要条件,是存在有限时刻,t,1,0,，,使,Gram,矩阵,为非奇异。,2,定理,2,秩判据,系统,(,A,C,),为完全能观测的,充要条件,是能观测性判别矩阵,W,0,：,为满秩，即,该定理也适用于线性定常离散系统,。,若系统,(,A,C,),有奇异特征值，则系统完全能观测的,充要条件,是,CM,中没有全为零的列,。,M,=,e,1,，,e,2,，,e,n,是系统的模式矩阵,。,3,定理,3,4,定理,4,对角形判据,5,定理,5,约当规范形判据,设系统,(,A,C,),有重特征值,1,(,1,重,),，,2,(,2,重,),，,，,k,(,k,重,),，,系统经,x=,Tw,非奇异变换后为约当标准形,。,其中,，,对系统,(,A,C,),进行非奇异线性变换,，,x=,Pz,，,P,为非奇异阵，不改变其能观测性。,系统完全能观测的,充要条件,是：,均为线性无关,。,的第,1,列所组成的矩阵,由,对于单输出系统，则当,i,j,（,i,j,=1,2,，,k,）,得,：,完全能观测的,充要条件,为,：,例,(,能观测,),(,能观测,),二、线性时变系统的能观测判据,1,判据,1,Gram,矩阵判据,线性时变系统,(,A,(,t,),C,(,t,),在时刻,t,0,为完全能观测的,充要条件,是,存在有限时刻,t,1,t,1,t,0,使,Gram,矩阵,为非奇异,。,2,判据,2,秩判据,A,(,t,),和,C,(,t,),为,(,n,-1),阶连续可微，若存在时刻,t,1,t,1,t,0,使,则,(,A,(,t,),C,(,t,),在时刻,t,0,为完全能观测,。,其中,5-5,能观测标准形,(,规范形,),讨论单输出系统,1,定义,单输出系统,(,A,o,C,o,),为,能观测标准形,，,若,2,定理,若线性定常系统的系统方程为能观测标准形，,则该系统必为完全能观测。,3,定理,若单输出系统,(,A,C,),为,完全能观测,，,则必有非奇异阵,Q,，,使,(,Q,-1,AQ,CQ,),为,能观测标准形,。,即,：,5,能观测标准形系统的,特性,（单输出系统）,其中,P,n,为,中 的最后一列构成的列向量,(n,1),。,4,推论,单输出系统,(,A,B,),为完全能观测的,充要条件,是,可通过非奇异线性变换,x=,Qz,使系统,(,A,C,),变换为能观测标准形,(,A,o,C,o,),。,(1),A,o,中,i,(,i,=0,1,n,-1),为任意值,不改变系统的能观测性。,当,P,=1,（,SISO,），,5-6,能控与能观测典范分解,线性系统可分解为,四种系统,：,能控 能观测,1,2.,3.,4.,一、能控性典范分解,定理,n,阶系统,(,A,B,C,),，,rankW,c,=,k,n,，,则通过非奇异变换,可导出原系统按能控性典范分解的新系统,(,A,c,B,c,C,c,)