两个计数原理 (2)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多媒体教学课,苏州市第五中学 高中数学组,两个基本计数原理,问题,1.,从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车还可以乘轮船,.,一天中,火车有,4,班,汽车有,2,班,轮船有,3,班,.,那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法,?,分析,:,从甲地到乙地有,3,类方法,第一类方法,:,乘火车,有,4,种方法,;,第二类方法,:,乘汽车,有,2,种方法,;,第三类方法,:,乘轮船,有,3,种方法,;,所以,从甲地到乙地共有,:4+2+3=9,种方法。,问题,2.,由,A,村去,B,村的道路有,3,条,由,B,村去,C,村的道路有,2,条,.,从,A,村经,B,村去,C,村,共有多少种不同的走法,?,A村,B村,C,村,北,南,中,北,南,分析,:,从,A,村经,B,村去,C,村有,2,步,第一步,:,由,A,村去,B,村,有,3,种方法,第二步,:,由,B,村去,C,村,有,2,种方法,所以,从,A,村经,B,村去,C,村共有,:3,2=6,种不同的方法,概念,做一件事情,完成它可以有,n,类办法,在第一类办法中有,m,1,种不同的方法,在第二类办法中有,m,2,种不同的方法，,，在第,n,类办法中有,m,n,种不同的方法,.,那么完成这件事共有,N=m,1,+m,2,+,+,m,n,种不同的方法,.,分类加法记数原理,:,概念,做一件事情,完成它需要分成,n,个步骤,做第一步有,m,1,种不同的方法,做第二步有,m,2,种不同的方法,做第,n,步有,m,n,种不同的方法,那么完成这件事有,N=m,1,m,2,m,n,种不同的方法,.,分步乘法记数原理,:,例,1.,某班级有男三好学生,5,人,女三好学生,4,人,.,(1),从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？,(2),从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有 多少种不同的选法？,分析,:,(1),完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有,2,类办法,第一类,:,从男三好学生中任选一人,共有,m,1,=5,种不同的方法,;,第二类,:,从女三好学生中任选一人,共有,m,2,=4,种不同的方法,;,所以,根据分类记数原理,得到不同选法种数共有,N=5+4=9,种。,举例,分析,:,(2),完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分,2,步完成,第一步,:,选一名男三好学生,有,m,1,=,5,种方法,;,第二步,:,选一名女三好学生,有,m,2,=4,种方法,;,所以,根据分步记数原理,得到不同选法种数共有,N=5,4=20,种,.,点评,:,解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类记数原理”,;“,分步完成”用“分步记数原理”。,例,1.,某班级有男三好学生,5,人,女三好学生,4,人,.,(1),从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？,(2),从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有 多少种不同的选法？,举例,举例,例,2.,在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？,分析,1:,按个位数字是,2,3,4,5,6,7,8,9,分成,8,类,在每一类中满足条件的两位数分别是,1,个,2,个,3,个,4,个,5,个,6,个,7,个,8,个,.,则根据分类记数原理共有,1+2+3+4+5+6+7+8=36(,个,).,分析,2:,按十位数字是,1,2,3,4,5,6,7,8,分成,8,类,在每一类中满足条件的两位数分别是,8,个,7,个,6,个,5,个,4,个,3,个,2,个,1,个,.,则根据分类记数原理共有,8+7+6+5+4+3+2+1=36(,个,),举例,例,3.,一个三位密码锁,各位上数字由,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码,(,各位上的数字允许重复,),？首位数字不为,0,的密码数是多少？首位数字是,0,的密码数又是多少？,分析,:,按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,需分为三步完成,;,第一步,:m,1,=10;,第二步,:m,2,=10;,第三步,:m,2,=10.,根据分步记数原理,共可以设置,N=10,10,10=10,3,种三位数的密码。,答,:,首位数字不为,0,的密码数是,N=9,10,10=9,10,2,种,首位数字是,0,的密码数是,N=1,10,10=10,2,种。,由此可以看出,首位数字不为,0,的密码数与首位数字是,0,的密码数之和等于密码总数。,1.,分类记数原理,中的,“,分类,”,要全面,不能遗漏,;,但也不能重复、交叉,;,“,类,”,与,“,类,之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有,n,类办法,即它们两两的交为空集,n,类的并为全集。,2.,分步记数原理,中的“,分步,”程序要正确。“,步,”与“,步,”之间是连续的,不间断的,缺一不可,;,但也不能重复、交叉,;,若完成某件事情需,n,步,则须且只需依次完成这,n,个步骤后,这件事情才算完成,3.,在运用“,分类记数原理,、,分步记数原理,”处理具体应用题时,除要弄清是“,分类,”还是“,分步,”外,还要搞清楚“,分类,”或“,分步,”的具体标准。在“,分类,”或“,分步,”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。,点评,:,如图,从甲地到乙地有,2,条路可通,从乙地到丙地有,3,条路可通,;,从甲地到丁地有,4,条路可通,从丁地到丙地有,2,条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？,甲地,乙地,丙地,丁地,练习,小结,1.,本节课学习了哪些主要内容？,分类记数原理,和,分步记数原理,。,2.,分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？不同点什么？,答,:,共同点是,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法。,不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,分类记数原理,是,“,分类完成,”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。,分步记数原理,是,“,分步完成,”,即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。,3.,何时用分类记数原理、分步记数原理呢,?,完成一件事情有,n,类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用,分类记数原理,。,完成一件事情有,n,个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这,n,步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用,分步记数原理,。,小结,