第二章第三节奇偶性

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,菜 单,课后作业,典例探究,提知能,自主落实,固基础,高考体验,明考情,BS,新课标,文科数学（安徽专用）,本小节结束,请按ESC键返回,本小节结束,请按ESC键返回,第三节函数的奇偶性与周期性,1,奇,(,偶,),函数,奇偶性,定义,图像特征,偶函数,如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,),，那么函数,f,(,x,),是偶函数,.,关于,_,对称,奇函数,如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,),，那么函数,f,(,x,),是奇函数,.,关于,_,对称,y,轴,原点,2.,奇,(,偶,),函数的性质,(1),奇函数在关于原点对称的两个区间上有,_,的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有,_,的单调性,(2),如果奇函数,y,f,(,x,),在原点有定义，则,f,(0),0.,3,周期函数,(1),周期函数的定义：,若,f,(,x,),对于定义域中,x,，都有,f,(,x,T,),f,(,x,)(,T,为不等于,0,的常数,),，则,f,(,x,),为周期函数,相同,相反,(2),周期函数的性质：,若,T,是函数,y,f,(,x,),的一个周期，则,nT,(,n,Z,，且,n,0),也是函数,y,f,(,x,),的一个周期,1,奇,(,偶,),函数的定义域具有什么特征？它是函数具有奇偶性的什么条件？,【,提示,】,定义域关于原点对称，必要不充分条件,2,(1),若,y,f,(,x,a,),是偶函数，则,y,f,(,x,),的图像有什么对称性？,(2),若,y,f,(,x,b,),是奇函数，则,y,f,(,x,),的图像有什么对称性？,【,提示,】,(1),y,f,(,x,),的图像关于直线,x,a,对称；,(2),y,f,(,x,),的图像关于点,(,b,，,0),中心对称,【,答案,】,A,【,答案,】,D,3,设,f,(,x,),是定义在,R,上的周期为,3,的周期函数，如图表示该函数在区间,(,2,，,1,上的图像，则,f,(2 011),f,(2 012),(,),A,3 B,2,C,1 D,0,【,解析,】,由于,f,(,x,),是定义在,R,上的周期为,3,的周期函数，,所以,f,(2 011),f,(2 012),f,(670,3,1),f,(671,3,1),f,(1),f,(,1),，,而由图像可知,f,(1),1,，,f,(,1),2,，,所以,f,(2 011),f,(2 012),1,2,3.,【,答案,】,A,4,设函数,f,(,x,),e,x,a,e,x,(,x,R,),是奇函数，则实数,a,的值为,_,【,解析,】,由题意，知,f,(0),0,，即,1,a,0,，解得,a,1.,【,答案,】,1,5,(2012,上海高考,),已知,y,f,(,x,),x,2,是奇函数，且,f,(1),1,，若,g,(,x,),f,(,x,),2,，则,g,(,1),_,【,解析,】,因为,y,f,(,x,),x,2,为奇函数，所以,f,(,x,),x,2,f,(,x,),x,2,，所以,f,(,x,),f,(,x,),2,x,2,，,g,(1),f,(1),2,3,，,所以,g,(,1),f,(,1),2,f,(1),2,2,f,(1),1.,【,答案,】,1,【,思路点拨,】,利用函数奇偶性的定义判断,定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足：对于任意,，,R,，总有,f,(,),f,(,),f,(,),2012,，则下列说法正确的是,(,),A,f,(,x,),1,是奇函数,B,f,(,x,),1,是奇函数,C,f,(,x,),2 012,是奇函数,D,f,(,x,),2 012,是奇函数,【,解析,】,依题意，取,0,，得,f,(0),2 012,；取,x,，,x,，得,f,(0),f,(,x,),f,(,x,),2 012,，,f,(,x,),2 012,f,(,x,),f,(0),f,(,x,),2 012,，因此函数,f,(,x,),2 012,是奇函数，选,D.,【,答案,】,D,【,尝试解答,】,(1),设,x,0,，,所以,f,(,x,),(,x,),2,2(,x,),x,2,2,x,，,又,f,(,x,),为奇函数，所以,f,(,x,),f,(,x,),，,于是,x,0,时，,f,(,x,),x,2,2,x,x,2,mx,，,所以,m,2.,1,本题也可用赋值法求,m,，例如：由,f,(,1),f,(1),，得,m,2,，但需要对求出的,m,值进行检验,2,提出函数奇偶性的背景是研究函数的需要，我们在研究函数时，要观察一下函数是否具有奇偶性，这样有助于问题的转化,(1),函数,f,(,x,),|,x,3,1|,|,x,3,1|,，则函数,f,(,x,),图像,(,),A,关于原点对称,B,关于直线,y,x,对称,C,关于,x,轴对称,D,关于,y,轴对称,(2),已知,f,(,x,),是,R,上的奇函数，则函数,y,f,(2,x,1),1,的图像必过点,_,设,f,(,x,),是,(,，,),上的奇函数，,f,(,x,2),f,(,x,),，当,0,x,1,时，,f,(,x,),x,.,(1),求,f,(,),的值；,(2),当,4,x,4,时，求,f,(,x,),的图像与,x,轴所围成图形的面积；,(3),写出,(,，,),内函数,f,(,x,),的单调增,(,或减,),区间,【,思路点拨,】,第,(1),问先求函数,f,(,x,),的周期，再求,f,(,),；,第,(2),问，推断函数,y,f,(,x,),的图像关于直线,x,1,对称，再结合周期画出图像，由图像易求面积；,第,(,3),问，由图像观察写出,【,尝试解答,】,(1),由,f,(,x,2),f,(,x,),，得,f,(,x,4),f,(,x,2),2,f,(,x,2),f,(,x,),，,所以,f,(,x,),是以,4,为周期的周期函数，,f,(,),f,(,1,4,),f,(,4),f,(4,),(4,),4.,(2),由,f,(,x,),是奇函数与,f,(,x,2),f,(,x,),，得,f,(,x,1),2,f,(,x,1),f,(,x,1),，即,f,(1,x,),f,(1,x,),故知函数,y,f,(,x,),的图像关于直线,x,1,对称,又,0,x,1,时，,f,(,x,),x,，且,f,(,x,),的图像关于原点成中心对称，则,f,(,x,),的图像如图所示,(2012,淮北二模,),已知函数,f,(,x,),对任意,x,R,都有,f,(,x,4),f,(,x,),2,f,(2),，若,y,f,(,x,1),的图象关于直线,x,1,对称，且,f,(1),2,，则,f,(1 003),(,),A,2,B,3,C,4,D,6,【,解析,】,将,y,f,(,x,1),的图象向左平移,1,个单位后即得,y,f,(,x,),的图象因此由,y,f,(,x,1),的图象关于,x,1,对称，可得,y,f,(,x,),的图象关于,y,轴对称，即为偶函数，从而对于,f,(,x,4),f,(,x,),2,f,(2),，令,x,2,可得,f,(2),f,(,2),f,(2),f,(2),0,，因此,f,(,x,4),f,(,x,),，即函数以,4,为周期，从而,f,(1 003),f,(3),f,(,1),f,(1),2,，故选,A.,【,答案,】,A,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件,1.,若奇函数,f,(,x,),在,x,0,处有定义，则,f,(0),0.,2,设,f,(,x,),，,g,(,x,),的定义域分别是,D,1,，,D,2,，那么在它们的公共定义域上：,奇奇奇，奇,奇偶，偶偶偶，偶,偶偶，奇,偶奇,1.,若对于,R,上的任意,x,都有,f,(2,a,x,),f,(,x,),，且,f,(2,b,x,),f,(,x,)(,其中,a,b,),，则,y,f,(,x,),是以,4(,b,a,),为周期的周期函数,2,若对于,R,上的任意,x,都有,f,(2,a,x,),f,(,x,),，且,f,(2,b,x,),f,(,x,)(,其中,a,b,),，则,y,f,(,x,),是以,2(,b,a,),为周期的周期函数,3,若对于,R,上的任意,x,都有,f,(2,a,x,),f,(,x,),，且,f,(2,b,x,),f,(,x,)(,其中,a,b,),，则,y,f,(,x,),是以,2(,b,a,),为周期的周期函数,从近两年高考试题看，主要考查函数奇偶性与周期性在解题中的转化作用主要涉及奇偶性与周期性的判定以及利用函数奇偶性与周期性求函数值，其背景函数多为分段函数与抽象函数,对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为,0,，即,g,(,x,),max,g,(,x,),min,0,，而,f,(,x,),max,1,g,(,x,),max,，,f,(,x,),min,1,g,(,x,),min,，,所以,f,(,x,),max,f,(,x,),min,2.,【,答案,】,2,创新点拨：,(1),本题主要考查奇函数的性质，但由于设问方式新颖，造成考生找不到解决问题的切入点,(2),该题需要通过分离，构造奇函数,g,(,x,),，利用奇函数的性质求解，由于考生缺乏变形与构造能力，造成思维受阻,应对措施：,(1),解决此类问题要抓住题目中的关键信息进行分析，比如本题中的函数解析式的结构特征以及设问的形式,(2),要掌握对函数解析式变形的常用方法，比如变量分离，变形是实现化归的一种方法,(3),要培养用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质解题的意识,1,(2012,重庆高考,),已知,f,(,x,),是定义在,R,上的偶函数，且以,2,为周期，则,“,f,(,x,),为,0,，,1,上的增函数,”,是,“,f,(,x,),为,3,，,4,上的减函数,”,的,(,),A,既不充分也不必要的条件,B,充分而不必要的条件,C,必要而不充分的条件,D,充要条件,【,解析,】,若,f,(,x,),在区间,0,，,1,上是增函数，又,f,(,x,),为偶函数，则,f,(,x,),在,1,，,0,上为减函数，,又,函数,f,(,x,),的周期是,2,，,在区间,3,，,4,也为减函数,若,f,(,x,),在区间,3,，,4,为减函数，根据函数的周期可知,f,(,x,),在,1,，,0,上则为减函数，又,f,(,x,),为偶函数，根据对称性可知，,f,(,x,),在,0,，,1,上是增函数，,综上可知，,“,f,(,x,),在,0,，,1,上是增函数,”,是,“,f,(,x,),为区间,3,，,4,上的减函数,”,成立的充要条件，故选,D.,【,答案,】,D,2,(2012,课标全国卷,),设函数,D,(,x,),，则下列结论错误的是,(,),A,D,(,x,),的值域为,0,，,1,B,D,(,x,),是偶函数,C,D,(,x,),不是周期函数,D,D,(,x,),不是单调函数,【,解析,】,根据解析式易知,A,和,D,正确；若,x,是无理数，则,x,和,x,1,也是无理数，若,x,是有理数，则,x,和,x,1,也是有理数，所以,D,(,x,),D,(,x,),，,D,(,x,1),D,(,x,),，从而可知,B,正确，,C,错误故选,C.,【,答案,】,C,课后作业（六）,