第四章一阶系统

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 一阶系统,4.1,概述,一个系统阶数是由此系统包含多少状态变量决定的。,一个复杂的高阶的系统从结构上可分解成若干的低阶子系统。,复杂系统的特性并不等于组成它的简单子系统的特性之和。,一个复杂系统的行为往往是由某些主回路和某些主要的变量决定的,复杂系统中往往存在一些起主导作用的主回路或主要变量。,4.2,一阶系统的重要参数,4.2.1,指数增长及其参数,（,1,）指数增长方程式,L LEV.K=LEV.J,DT*,（,RT.JK,）,由此式可以改写为：,（,LEV.K-LEV.J,）,/DT=RT.JK,脱去,DYNAMO,的符号，并令,DT,趋于,0,，则可得微分方程式：,dLEV(t)/dt,=,RT(t,),假定,RT(t,)=CONST*,LEV(t,)CONST,为比例常数,所以,dLEV(t)/dt,=CONST*,LEV(t,),可解的：,式中：,LEV(t,),状态在,t,时刻的值；,LEV(0),状态的初始值；,CONST,比例常数；,e,自然对数基。,(2),时间常数,T,时间常数定义为,CONST,的倒数，即,T=1/CONST,，,T,具有时间的量纲。,P91,时间常数的物理意义。,时间常数,T,决定正反馈系统中的增长或减少的速度。当时间常数大时（或,CONST,小），相应的,LEV,（,t,）为较平缓的增长曲线。反之，,LEV,（,t,）为较陡峭的变化曲线。,（,3,）倍增时间,Td,倍增时间定义为变量由初始值增至二倍的初始值所需要的时间。,Td=0.69*T,倍增时间约等于,70,的时间常数,T,。即每经过一段时间,Td,，,LEV,的值将较前增加一倍。,P92,的图,5.2,表示了倍增时间常数与时间常数的关系。,一阶负反馈系统的重要参数,(1),方程式的基本形式,方程式：,L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK,R RT.KL=CONST*DISC.K,A DISC.K=GL-LEV.K,同理解得：,（,2,）时间常数,T,P93,（,3,）减半时间常数（或半衰期）,Th,Th,=0.69T,4.3,正反馈系统,工资,-,物价增长系统的应关系图,4.2.1,正反馈的一般结构,L LEV.K-LEV.J+DT*RT.JK,N LEV=1,R RT.KL=CONST*LEV.K,C CONST=0.2,C DT=1,计算步骤如,P95,4,2,2,正反馈过程的特征,（,1,）指数增长,（,2,）指数崩溃,（,3,）超指数增长,P98,（,4,）指数增长的特点,P97,t15Td,之后，状态变量的值猛然暴涨。,时间,变量,变量,变量,0,指数增长和指数崩溃曲线,4.4,负反馈系统,负反馈系统是负反馈回路起主导作用的系统。它具有跟随目标（寻的）的特性。,4.4.1,负反馈结构的因果与相互关系图、流图与方程式,负反馈结构的因果关系图包含四个基本单元,期望状态（目标）、偏差、校正量（速率）、系统状态（水平）。,方程式：,L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK,N LEV=0,R RT.KL=CONST*DISC.K,C CONST=0.1,A DISC.K=GL-LEV.K,C GL=100,式中：,LEV,状态（单位）,RT,速率（单位,/,时间）,CONST,常数（,1/,时间）,DISC,偏差（单位）,GL,目标值（单位）,4.4.2,负反馈系统的特性,过渡区,稳定区,时间,LEV,状态,状态随时间变化曲线包括两个区段：瞬态（过渡区）和稳态（稳定区）两个部分。,在过渡区段，,LEV,值与目标值,GL,不相等。此时,LEV,具有寻的与瞬变的特点；在稳定区，,LEV,值接近或近似地达到目标值，稳定不变。,RT,也最终近似地达到“,0”,。,4.4.3,寻的负反馈系统的行为的三种模式,（,1,）,GL 0,，,LEV0,，,(LEV(0)-GL)0,，,LEV0,，,(LEV(0)-GL)0,；,（,3,）,GL,0,，,LEV 0,。,模式,3,如教材,P105,图,5.25,所示,模式,3,称为零目标结构。目标值,GL,为“,0”,，状态值由,LEV,（,0,）指数衰减至“,0”,。,时间,GL,LEV,模式,2,模式,1,4.5,负反馈系统的补偿特性,负反馈系统具有当其状态变量受外生输入（或输出）速率作用时仍力图使状态变量趋于目标值的特性，称为,补偿特性,。,系统的方程式如下：,L LEV.K=LEV.J+DT*(RT2.JK-RT1.JK),R RT1.KL=CONST*DISC.K,A DISC.K=GL-LEV.K,C GL=100,R RT2=CRT,C CRT=8,NTRT,纯速率（单位,/,时间）,R NTRT.KL=RT1.JK+RT2.JK,X =CONST*DISC.K+CRT,X =CONST*(GL-LEV.K)+CRT,根据,RT1.KL,、,RT2.KL,和,NTRT.KL,，可绘制系统的速率,状态曲线图：,P107,下面求新的目标值：,假定,NTRT=0,，则可得：,CRT=-CONST(GL-LEV),=-CONST*GL+LEV*CONST,LEV=CRT/CONST+GL,LEV=NGL=CRT/CONST+GL,NGL=T*CRT+GL=1/0.1*8+100=180,由此可见，系统新的平衡值较期望的目标值,GL,增加了,T*CRT,，即为时间常数,T,与不变的输入速率,CRT,（或,RT2,）的乘积。,综上所述，负反馈系统的补偿功能，当系统在附加输入或输出速率的情况下，可自动建立起新的平衡，新的平衡值与原期望的目标值不同。其差值与与系统的时间常数及外生速率有关。,例如：库存控制系统的负反馈补偿特性。,P108,方程式：,L INV.K=INV.J+DT*(OR.KL,SR.KL),N INV=DINV,R OR.KL=CONST*DISC.K,C CONST=0.5,A DISC.K=DINV-INV.K,C DINV=200,R SR.K=STEP(20,，,4),如,P108,如,5.29,所示。,求新的目标值,NGL,：,方法,1,：,20020,40,GL=DINV=200,NGL=200-40=160,方法,2,：,NGL=GL+T*SR=200-1/0.5*20=200-40=160,4.5 S,形增长的反馈结构,如,P 110,图,5.30,所示。,S,增长的反馈结构，包含指数和渐进两种增长过程。过渡区是由两种明显不同的增长方式组成：先是指数增长，继之渐进增长。前者是正反馈起主导作用，后者是负反馈起主导作用。,4.5.1 S,形增长的系统内部结构,方程式：,P111,