资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1.7,定积分的简单应用,1.7.1,定积分在几何中的应用,1,2,类型一,不分割型图形面积的求解,【,典例,1】,(1),用,S,表示图中阴影部分的面积，则,S,的值是,(),3,(2),计算由曲线,y=x,2,与,y,2,=x,所围成图形的面积,.,4,【,解题指南,】,(1),把阴影分成,(a,b),和,(b,c),两部分求解,.,(2),为了确定出积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标,.,5,【,解析,】,(1),选,D.,因为,x,a,b,时，,f(x),0,x,b,c,时，,f(x),0,，,所以,S=,6,(2),作出草图，所求面积为阴影部分的面积,.,解方程组,得到交点横坐标为,x=0,及,x=1.,所以,S=S,曲边梯形,OABC,-S,曲边梯形,OABD,7,【,方法总结,】,1.,利用定积分求平面图形面积的步骤,(1),根据题意画出图形,(2),借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限,(3),把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和,(4),计算定积分，写出答案,8,2.,不分割型图形的面积计算,(1),由一条曲线,y=f(x)(,其中,f(x)0),与直线,x=a,x=b(a,b),以及,x,轴所围成的曲边梯形的面积：,S=f(x)dx,(,如图,(1).,9,(2),由一条曲线,y=f(x)(,其中,f(x)0),与直线,x=a,x=b(a,b),以及,x,轴所围成的曲边梯形的面积：,(,如图,(2).,10,(3),由两条曲线,y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x),与直线,x=a,x=b(a,b),所围成的曲边梯形的面积：,(,如图,(3),11,注意：,(1)(2),两种情况可以统一为,(3),只需,g(x)=0,或,f(x)=0.,12,【,巩固训练,】,已知二次函数,y,f(x),的图象如图所示，求它与,x,轴所围成的图形的面积,.,13,【,解析,】,由题干图知，,f(x),1,x,2,，所以,14,【,补偿训练,】,计算,(y,1),2,x,1,及,y,x,所围成的平,面图形的面积,15,【,解析,】,将已知条件改写为,x,y,以及,x,(y,1),2,1,，由图知所求面积为阴影部分的面积,16,解方程组 得交点的纵坐标为,y,1,0,及,y,2,3,，,因此，阴影部分面积,17,类型二,分割型图形面积的求法,【,典例,2】,(1),如图所示，正弦曲线,y=sin x,，余弦曲线,y=cos x,与两直线,x=0,，,x=,所围成的阴影部分的面积,为,(),A.1B.,C.2D.2,18,(2)(2017,乐安高二检测,),求由抛物线,y=-x,2,+4x-3,及其在点,M(0,，,-3),和,N(3,，,0),处的两条切线所围成的图形的面积,.,19,【,解题指南,】,(1),一般情况下，定积分,f(x)dx,的几何,意义是介于,x,轴、曲线,y=f(x),以及直线,x=a,，,x=b,之间的,曲边梯形面积的代数和，其中在,x,轴上方的面积等于该,区间上的积分值，在,x,轴下方的面积等于该区间上积分,值的相反数，所以在用定积分求曲边梯形面积时，一,定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数,.,若是两,20,个函数之间的面积，直接求两函数差的定积分即可,(,上面函数为被减数,下面函数为减数,).,(2),求出两切线的交点，把待求图形的面积分为两部分来求,.,21,【,解析,】,(1),选,D.,由图形以及定积分的意义，得到所求阴影部分面积等价于,22,(2),因为,y=-2x+4,所以过点,(0,，,-3),的切线斜率为,4,，过点,(3,，,0),的切线,斜率为,-2,，切线方程分别为,y=4x-3,，,y=-2x+6,由 得两切线交点为,(,3),，,则所求图形的面积为,S=,(4x-3)-(-x,2,+4x-3),dx+,(-2x+6)-(-x,2,+4x-3),dx=.,23,【,延伸探究,】,1.,本例,(2),中求由抛物线,y=-x,2,+4x-3,与,x,轴围成的图形的面积,.,【,解析,】,由,y=-x,2,+4x-3=0,得,x=1,或,x=3,，,所以所求的图形的面积为,24,2.,本例,(2),中连接,MN,则直线,MN,与两条切线围成的三角形被抛物线,y=-x,2,+4x-3,分成的两部分的比为多少？,25,【,解析,】,由本例,(2),知，上半部分的面积为 ，可求得,直线,MN,的方程为,y=x-3,，所以抛物线与直线间的面积为,所以上下两部分的面积比为,26,【,方法总结,】,两条曲线围成的平面图形的面积的解题思路和步骤,(1),思路：在求平面图形的面积时,如果平面图形的曲边部分由两条不同的曲线构成,则应分两段分别求面积，然后相加,这时在相应的两段积分区间上分别用不同的被积函数,.,27,(2),步骤,:,作出示意图,(,弄清相对位置关系,);,求交点坐标，确定图形范围,(,积分的上限、下限,),；,写出平面图形的定积分表达式；,运用微积分基本定理计算定积分，求出面积,.,28,【,补偿训练,】,求抛物线,y,2,=2x,与直线,y=4-x,围成的平面图形的面积,.,29,【,解析,】,由 得交点为,(2,，,2),，,(8,，,-4),所以,30,类型三,定积分在几何中的综合应用,【,典例,3】,(1)(2015,福建高考,),如图，,点,A,的坐标为,(1,，,0),，点,C,的坐标为,(2,，,4),，函数,f(x)=x,2,，若在矩形,ABCD,内随,机取一点，则此点取自阴影部分的概,率等于,_.,31,(2)(2017,黄冈高二检测,),已知二次函数,f(x)=ax,2,+bx+c,，直线,l,1,：,x=2,，直线,l,2,：,y=-t,2,+8t(,其中,0t2,，,t,为常数,),，若直线,l,1,，,l,2,，,y,轴与函数,f(x),的图象所围成的封闭图形,(,阴影部分,),如图所示,.,求,a,，,b,，,c,的值,;,求阴影面积,S,关于,t,的函数,S(t),的解析式,.,32,【,解题指南,】,(1),先求出矩形的面积，再用定积分求出阴影区域的面积，最后求出此点取自阴影部分的概率,.,(2),根据二次函数过点,(0,，,0),，,(8,，,0),并且最大值为,16,，列方程组解,a,b,c;,根据题意确定被积函数；并求出交点坐标；再求出平面图形的面积,.,33,【,解析,】,(1)S,矩形,ABCD,=14=4,所以此,点取自阴影区域内的概率,答案：,34,(2),由图形可知二次函数的图象过点,(0,0),，,(8,0),，并且,f(x),的最大值为,16,，则,35,由,得,x,2,-8x-t(t-8)=0,，,所以,x,1,=t,，,x,2,=8-t,，,因为,0t2,，,所以直线,l,2,与,f(x),的图象左边交点坐标为,(t,，,-t,2,+8t),36,由定积分的几何意义知：,37,【,方法总结,】,解决与曲边图形有关的综合问题的基本思路,解决与曲边图形有关的综合问题,关键是要正确分析题意,先分清是求曲边图形面积,还是利用曲边图形面积解决其他问题,再正确作出图形,确定积分区间和被积函数,然后根据条件,建立等量关系或方程,进行求解,.,38,【,巩固训练,】,在曲线,y=x,2,(x0),上的某一点,A,处作一切,线，使之与曲线以及,x,轴所围成图形的面积为,.,试,求：切点,A,的坐标和过切点,A,的切线方程,.,39,【,解析,】,如图所示，设切点,A(x,0,y,0,),由,y=2x,得过,A,点的切线方程为,y-y,0,=2x,0,(x-x,0,),即,y=2x,0,x-x,0,2,.,令,y=0,，得,x=,即,C(,0).,设由曲线和过,A,点的切线及,x,轴所围成,图形的面积为,S,，则,S=S,曲边,AOB,-S,ABC,.,40,S,曲边,AOB,=,S,ABC,=,即 所以,x,0,=1.,从而切点,A,为,(1,1),，切线方程为,y=2x-1.,41,【,补偿训练,】,(2017,西安高二检测,),如图所示，直线,y=kx,分抛物线,y=x-x,2,与,x,轴所围图形为面积相等的两部分，求,k,的值,.,42,【,解析,】,抛物线,y=x-x,2,与,x,轴两交点的横坐标为,x,1,=0,，,x,2,=1,，,所以，抛物线与,x,轴所围图形的面积,又抛物线,y=x-x,2,与,y=kx,两交点的横坐标为,x,3,=0,，,x,4,=1-k,，,43,所以，,又知,S=,，所以,(1-k),3,=,，,于是,44,【,课堂小结,】,1.,知识总结,45,2.,方法总结,求由两条曲线围成的平面图形的面积的步骤：,(1),画图形,.,(2),确定图形的范围，求出交点的坐标，定出积分上、下限,.,46,(3),确定被积函数,.,(4),写出平面图形面积的定积分表达式,.,(5),运用微积分基本公式计算定积分,.,47,
展开阅读全文