教育专题：《勾股定理的逆定理》课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十七章勾股定理,1,7,.2,勾股定理的逆定理（第,1,课时）,八年级 下册,课件说明,课题内容,勾股定理的逆定理证明及简单应用；原命题、逆命题的概念及相互关系,.,学习目标,理解勾股定理的逆定理.,了解互逆命题、互逆定理.,创设情境，提出问题,问题,1,： 你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设和结论.,追问,1,： 你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？,追问2： “如果三角形三边长a、b、c满足，,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题.,古埃及人曾用下面的方法得到直角,实验观察,问题2：按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？,用,13,个等距的结,把一根绳子分成等长的,12,段,然后以,3,个结，,4,个结，,5,个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是,直角,。,实验观察,3,4,5,追问：,这个三角形的三条边有什么关系吗,?,3,2,4,2,5,2,+,=,实验观察,（,1,）下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：,cm,）画三角形：,2.5,，,6,，,6.5,；,4,，,7.5,，,8.5.,动手画一画,（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的 最大角的度数.,（3）想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想.,实验操作 提出猜想,问题,2,由上面几个例子你发现了什么吗,?,请以命题的形式说出你的观点,!,命题2,如果三角形的三边长a、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形。,a,2,+ b,2,= c,2,实验操作 提出猜想,归纳概念,两个命题的题设和结论正好相反，象这样的两个命题叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题,.,问题3：把勾股定理记着命题1，上面的结论作为命题2.命题1和命题2的题设和结论分别是什么？,问题,4,：命题1和命题2的题设和结论有着,什么,的关系？,如果直角三角形两直角边分别为,a,，,b,，斜边为,c,，那么有,a,2,+ b,2,= c,2,勾股定理,如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,满足,那么这个三角形是直角三角形。,a,2,+ b,2,= c,2,互逆命题,归纳概念,问题,5,:请同学们举出一些互逆命题，并思考：是否原命题正确，它的逆命题也正确呢？举例说明,追问,1,： 在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成吗？,问题,6,: 原命题正确，它的逆命题不一定正确.那么勾股定理的逆命题正确吗？如果你认为是真确的，你能证明这个命题“如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形”吗？,勾股定理逆定理的证明,已知,:,在,ABC,中，,AB=c BC=a CA=b,且,a,2,+b,2,=c,2,求证,: ABC,是直角三角形,.,A,B,C,B,C,A,证明,:,画一个,ABC,使,C=90,BC=a, CA=b,AB =c, 边长取正值,AB,2,=c,2,a,2,+b,2,=c,2, ,C,/,=90,0,AB,2,= a,2,+b,2,勾股定理逆定理的证明,在,ABC,和,ABC,中,BC=a=BC,CA=b=CA,AB=c=AB, ,ABC ABC,（,SSS,）, ,C= C,/=,90,则 ,ABC,是直角三角形（直角三角形的定义）,定理与逆定理,我们已经学习了一些互逆的定理,如:,(1),勾股定理及其逆定理；,(2),两直线平行,内错角相等;,(3),内错角相等,两直线平行.,(4),角的平分线的性质与判定；,(5),线段的垂直平分线的性质与判定.,如果一个,定理,的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个,定理,这两个定理称为,互逆定理,其中一个定理称另一个定理的,逆定理,.,(1),a,15 ,b,8 ,c,17,(2),a,13 ,b,14 ,c,15,分析：,根据勾股定理的逆定理，一个三角形中两条较小边长的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形是直角三角形,例,1,判断由,a,、,b,、,c,组成的三角形是不是直角三角形：,定理应用,解,（,1,）,15,2,8,2,225,64,289,17,2,289, 15,2,8,2,17,2,这个三角形是直角三角形,（,2,）,13,2,+14,2,=169+196=365,15,2,=225,因为,13,2,+14,2,15,2,，,根据勾股定理，这个三角形不是三角形,.,定理应用,勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数,定理应用,所以这个三角形是直角三角形,.,练习,：同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的勾股数,.,（1）3, 4，,，,（2）6, 8，,，,（3）7, 24,，,（4）5, 12，,，,（5）9, 12，,.,基础过关题：,(1),直角三角形一条直角边与斜边分别为,8,c,m,和,10,c,m.,则斜边上的高等于,c,m.,(2),已知两条线段的长为,3,c,m,和,4,c,m,当第三条线段的长为,c,m,时,这三条线段能组成一个直角三角形,.,(3),ABC,中,AB,=,AC,BAC,=120,AB,=12,c,m,则,BC,边上的高,AD,=,c,m,；,AB,边上的高,CE=,c,m,（,4,）下列命题中是假命题的是,( ),(,A,),ABC,中,若,B,=,C,A,则,ABC,是直角三角形,.,(,B,),ABC,中,若,a,2,=(,b,+,c,)(,b,c,),则,ABC,是直角三角形,.,(,C,),ABC,中,若,A,B,C,=345,则,ABC,是直角三角形,.,(,D,),ABC,中,若,a,b,c,=543,则,ABC,是直角三角形,.,1,、请完成以下未完成的勾股数：,（,1,）,8,、,15,、,； （,2,）,10,、,26,、,。,2,、三角形三边长分别为 、,、,则这个三角形是,。,3,、如图，,ABC,中,，,CD,是,AB,边上的高，,且,求证：,ABC,是,直角三角形。,A,B,C,D,4,、在正方形,ABCD,中，,F,为,DC,的中点，,E,为,BC,上的一点，且,求证：,EFA=90.,A,B,C,D,F,E,5,、如图，在等边,ABC,中，,D,为三角形内一,点，且,BD=3,，,DA=4,，,DC=5.,将,BDA,沿顺时,针旋转,60,使点,D,到,D,求,BDC,的度数。,A,B,C,D,D,8,：如图，设,A,城气象台测得台风中心在,A,城正西方向,6OOkm,的,B,处，以每小时,2OOkm,的速度向北偏东,6O,的,BF,方向移动，距台风中心,5OOkm,的范围内是受台风影响的区域,.,(1),A,城是否受到这次台风的影响,?,为什么,?,(2),若,A,城受到这次台风影响，那么,A,城遭受这次台风影响有多长时间,?,课堂练习,1,判断由,a,、,b,、,c,组成的三角形是不是直角三角形：,(1),a,6.5 ,b,7.5 ,c,4,(,2,),a,11 ,b,60 ,c,61,2、 已知a，b，c为ABC的三边,且 满足,试判断ABC的形状.,课堂小结,（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？,（2）原命题、逆命题之间的关系.,（3）用什么方法证明勾股定理的逆定理,?,目标检测设计,1,.,以长度分别为下列各组数的线段为边，能构成直角三角形的有哪些？,(1) 1 , 2 ,3,(2) 6 , 8 ,14,(3) 2, 1.5 , 2.5,2,.,说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真命题吗？,（,1,）两条直线平行，内错角相等,（,2,）对顶角相等,（,3,）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,目标检测设计,3,.,已知：如图，四边形ABCD中，B90,0,，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积?,A,B,C,D,目标检测设计,第十七章勾股定理,1,7,.2,勾股定理的逆定理（第,2,课时）,八年级 下册,课件说明,1.内容,应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题,.,2.学习目标,（1）灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.,（2）进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.,3.教学重难点,灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.,复习反思，引出课题,问题,1,： 通过前面的学习，我们对勾股定理及其逆定理的知识有一定的了解，请说出勾股定理及其逆定理的内容.,追问,1,：你能用勾股定理及逆定理解决哪些问题,？,问题2：,“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗,？,P,E,Q,R,N,远航,海天,点击范例，以练促思,P,E,Q,R,N,远航,海天,解：根据题意，,由“远航”号沿东北方向航行可知,.,因此,即“海天”号沿西北方向航行,.,点击范例，以练促思,练习1. 课本33页练习第3题。,练习2. 在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，1小时后甲船到达岛，乙船到达岛，且岛与岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？,初步应用、巩固知识,问题3 实验中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量,若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？,D,C,B,A,综合应用、深化提高,反思小结，观点提炼,（1）知识总结：勾股定理以及逆定理的实际应用；,（2）方法归纳：数学建模的思想.,例,2.,如图,点,A,是一个,半径为,400 m,的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有,B .C,两个村庄,现要在,B.C,两村庄之间修一条长为,1000,m,的笔直公路将两村连通,经测得,AB=600,m,AC=800,m,问此公路是否会穿过该森林公园,?,请通过计算说明,.,A,B,C,400,1000,D,应用拓展：,如图：边长为,4,的正方形,ABCD,中，,F,是,DC,的中,点，且,CE= BC,，则,AFEF,，,试说明理由,解：连接,AE,ABCD,是正方形，边长是,4,，,F,是,DC,的中点，,EC=1/4BC,根据勾股定理，在,RtADF,，,AF,2,=AD,2,+DF,2,=20,RtEFC,，,EF,2,=EC,2,+FC,2,=5,RtABE,，,AE,2,=AB,2,+BE,2,=25,AD=4,，,DF=2,，,FC=2,，,EC=1,AE,2,=EF,2,+AF,2,AEF=90,即,AF EF,A,3,以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）,A,B,7,，,24,，,25,C,4,，,7.5,，,8.5 D,3.5,，,4.5,，,5.5,1,请完成以下未完成的勾股数：,（,1,）,8,、,15,、,_,；（,2,）,10,、,26,、,_,2,ABC,中，,a,2,+b,2,=25,，,a,2,-b,2,=7,，又,c=5,，,则最大边上的高是,_,4.,如图，两个正方形的面积分别,为,64,，,49,，则,AC=,.,A,D,C,64,49,17,6.,在,RtABC,中,C=90,CD,是高,AB=1,则,2 CD,2,+ AD,2,+BD,2,=,;,7.,三角形的三边长,a, b, c,满足,a,2,+b,2,+c,2,+338 = 10a + 24b +26c,此三角形为三角形,.,9,一艘轮船以,20,千米,/,时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以,15,千米,/,时的速度向东南方向航行，它们离开港口,2,小时后相距多少千米？,10,已知：如图，,ABD=C=90,，,AD=12,，,AC=BC,，,DAB=30,，求,BC,的长,11,、如图，已知：,CDAB,于,D,，,求证：,ACB,为直角三角形,A,B,D,C,证明：,CDAB,AC,2,=AD,2,+CD,2,BC,2,=CD,2,+BD,2,AC,2,=ADAB,AD,2,+CD,2,=ADAB,CD,2,=ADAB,AD,2,=AD(AB,AD),=ADBD, BC,2,=CD,2,+BD,2,=ADBD+BD,2,=BD(AD+BD),=BDAB,AC,2,+BC,2,=ADAB+BDAB,=AB(AD+BD),=AB,2,ACB,为直角三角形,.,CD=,cm, AD=2cm, ACAB,。,12,、已知：在四边形,ABCD,中，,AB=3cm, BC=5cm,求：,S,四边形,ABCD,ACAB(,已知,),AC,2,+AB,2,=BC,2,(,勾股定理,),AB=3cm,BC=5cm,又,CD=2 cm AD=2cm(,已知,),AC,2,=16 , CD,2,+AD,2,=12+4=16,AC,2,=CD,2,+AD,2, ,ADC=90,0,(,勾股定理的逆定理,),S,四边形,ABCD=S,ABC+ S,ACD,= 3 4+ 2,2,=6+2 (cm,2,),= AB,AC+ AD,CD,解,（,1,）,边长为,8,和,4,的矩形,OABC,的两边分别在直角坐标系的,X,轴和,Y,轴上，若 沿对角线,AC,折叠后，点,B,落在第四象限,B,1,处，设,B,1,C,交,X,轴于点,D,，,求（,1,）三角形,ADC,的面积，（,2,）点,B,1,的坐标，（,3,）,AB,1,所在的直线解析式。,O,C,B,A,B,1,D,1,2,3,E,1,、如图，在四边形,ABCD,中，,BAD=90,，,AD=4,，,AB=3,，,BC=12,，,求正方形,DCEF,的面积,2,、已知，如图，,RtABC,中，,BAC=90,，,AB=AC,，,D,是,BC,上任意一点，,求证：,BD,2,+CD,2,=2AD,2,提升“学力”,目标检测设计,1小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米，回到检录处，则他开始走的方向是（假设小明走的每段都是直线） （ ）,A.南北 B.东西,C.东北 D.西北,2甲、乙两船同时从港出发，甲船沿北偏东的方向，以每小时9海里的速度向岛驶去，乙船沿另一个方向，以每小时12海里的速度向岛驶去，3小时后两船同时到达了目的地.如果两船航行的速度不变，且两岛相距45海里，那么乙船航行的方向是南偏东多少度？,目标检测设计,3如图是一块四边形的菜地，已知,求这块菜地的面积.,D,C,B,A,目标检测设计,例,1 “,荡秋千”,平地秋千未起，,踏板一尺离地，,送行二尺与人齐，,五尺人高曾记。,仕女佳人争蹴，,终朝笑语欢嬉,良士高士素好奇，,算出索长有几？,明朝程大位著作,直指算法统宗,例,2: “,印度荷花问题”,湖静浪平六月天,荷花半尺出水面,忽来一阵狂风急,湖面之上不复见,入秋渔翁始发现,残花离根二尺遥,试问水深有几许？,印度数学家,拜斯迦罗,（公元,1114,1185,年）,例,3 “,执竿进屋”,笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹。,横多四尺竖多二，没法急得放声哭。,有个邻居聪明者，教他斜竿对两角。,笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。,借问竿长多少数，谁人算出我佩服。,当代数学教育家、清华大学教授,许莼舫,著作,古算题味,chun,fang,