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单击此处编辑母版标题样式,*,*,返回,上页,下页,目录,第六节,空间直线及其方程,第六章,(Space Straight Line and Its Equation),四、直线与平面的夹角,一、空间直线方程的一般方程,二、空间直线方程的对称式方程和参数方程,三、两直线的夹角,五、平面束,六、小结与思考练习,10/2/2024,1,因此其一般式方程,(General Equation of a Space Straight Line),直线可视为两平面交线，,(,不,唯一,),一、空间直线方程的一般方程,10/2/2024,2,(Symmetric Expression),1.,对称式方程（点向式方程,),故有,说明,:,某些分母为零时,其分子也理解为零,.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的,对称式方程,(,也称为,点向式方程,),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,二、空间直线方程的对称式方程和参数方程,10/2/2024,3,设,得参数式方程,:,3.,参数式方程,(Parametric Form),10/2/2024,4,解,:,先在直线上找一点,.,再求直线的方向向量,令,x,=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点,.,例,1,用对称式及参数式表示直线,（补充题）,10/2/2024,5,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路,:,先找直线上一点,;,再找直线的方向向量,.,(,自学课本,例,1,),10/2/2024,6,例,2,求与两平面,x,4,y,=3,和,2,x,y,5,z,=1,的交线平行且过点,(,3,2,5),的直线的方程,.,解：,因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量,s,一定同时与两平面的法线向量,n,1,、,n,2,垂直，所以可以取,因此所求直线的方程为,10/2/2024,7,例,3,求直线,与平面,2,x,y,z,6=0,的交点,.,解：,所给直线的参数方程为,x,=2+,t,y,=3+,t,z,=4+2,t,代入平面方程中，得,2(2+,t,)+(3+,t,)+(4+2,t,),6=0.,解上列方程，得,t,=,1.,把求得的,t,值代入直线的参数,方程中，即得所求交点的坐标为,x,=1,y,=2,z,=2.,（由课本例,3,改编）,10/2/2024,8,则两直线夹角,满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角,(,通常取,锐角,),的方向向量分别为,（,The Angle between Two Straight Lines,）,三、两直线的夹角,10/2/2024,9,特别地有,:,10/2/2024,10,解,:,直线,直线,二直线夹角,的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,例,4,（由课本,例,4,改编）,求以下两直线的夹角,10/2/2024,11,（,The Angle between a Straight Lines and a Plane,）,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角,称为直线与平面间的夹角,;,当直线与平面不垂直时,设直线,L,的方向向量为,平面,的法向量为,则直线与平面夹角,满足,直线和它在平面上的投影直,四、直线与平面的夹角,10/2/2024,12,特别有,:,例,5,求过点,(1,2,4),且与平面,解,:,取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程,.,为所求直线的方向向量,.,垂,10/2/2024,13,五、平面束,有时用,平面束,的方程解题比较方便，现在我们来介,绍它的方程,.,设直线,L,由方程组,所确定，其中系数,A,1,、,B,1,、,C,1,与,A,2,、,B,2,、,C,2,不成比例,.,我们建立三元一次方程：,(III),其中,为任意常数,.,因为,A,1,、,B,1,、,C,1,与,A,2,、,B,2,、,C,2,不成,(II),(I),（,Pencil of Planes,）,10/2/2024,14,比例，所以对于任何一个,值，方程,(III),的系数：,不全为零，从而方程,(III),表示,一个平面，若一点在直线,L,上，则点的坐标必同时满足方程,(I),和,(II),，因而也满足方程,(III),，故方程,(III),表示通过直线,L,的平面，且对于于不同的,值，方程,(III),表示通过,直线,L,的不同的平面,.,反之，,通过直线,L,的任何平面,(,除平面,(II),外,),都包含在方程,(III),所表示的一族平面内,.,通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程,(III),就作为通过直线,L,的平面束的方程,(,事实上，方程,(III),表示缺少平面,(II),的平面束,).,10/2/2024,15,例,6,求直线,在平面,x,+,y,+,z,=0,上的投影直线的,方程,.,解：,过直线,的平面束的方程为,(,x,+,y,-,z,-1)+,(,x,y,+,z,+1)=0,(1+),x,+(1-),y,+(-1+),z,+(-1+)=0,即,(*),其中,为待定常数,.,这平面与平面,x,+,y,+,z,=0,垂直的条件是,即,由此得,=-1,代入,(*),式，得投影平面的方程为,2,y,-2,z,-2=0,即,y,-,z,-1=0,所以投影直线的方程为,10/2/2024,16,解：,10/2/2024,17,解：,10/2/2024,18,1.,空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,10/2/2024,19,直线,直线,夹角公式,:,2.,线与线的关系,10/2/2024,20,平面,:,L,L,/,夹角公式：,直线,L,:,3.,面与线间的关系,4.,平面束,10/2/2024,21,课外练习,习题,6,6 1,（偶数题）；,3,；,4,（,2,）（,4,）；,6,（,2,）；,7,（偶数题）；,10,；,12,思考与练习,D,10/2/2024,22,C,C,面,面,面,面；,xoy,Q,D,xoz,Q,C,yoz,Q,B,xoy,Q,A,r,r,r,r,),(,;,),(,;,),(,),(,面,面,面,面；,xoy,Q,D,xoz,Q,C,yoz,Q,B,xoy,Q,A,r,r,r,r,),(,;,),(,;,),(,),(,A,10/2/2024,23,B,B,10/2/2024,24,解：,相交,求此直线方程,.,的方向向量为,过,A,点及,面的法向量为,则所求,直线的方向向量,方法,1,利用叉积,.,所以,且垂直于直线,又和直线,2.,一直线过点,10/2/2024,25,设所求直线与,的,交点为,待求,直线的方向向量,方法,2,利用所求直线与,L,2,的交点,.,即,故所求直线方程为,则有,10/2/2024,26,代入,上式,得,由点,法式,得所求,直线方程,而,10/2/2024,27,
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