第二章-计算机测控系统的理论基础2(离散系统与Z变换)-课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,1.线性离散系统的基本概念,2.离散时间函数的数学表达式及采样定理,3.,Z,变换,4.线性常系数差分方程,5.脉冲传递函数,6.采样控制系统的时域和频域分析,二、线性离散系统,1.线性离散系统的基本概念二、线性离散系统,模拟信号,（即连续信号）,：,时间上连续，幅值上也连续的信号。,离散的模拟信号：,时间上离散，幅值上连续的信号。,数字信号：,时间上离散，幅值上也是离散的信号；或者说，时间上离散，幅值是用一组数码表示的信号。,1. 线性离散系统的基本概念,1.1 信号,模拟信号（即连续信号）：时间上连续，幅值上也连续的信号。 离,1.2 采样与量化,采样：,将模拟信号按一定时间采样成离散的模拟信号。,量化：,采用一组数码来逼近离散模拟信号的幅值，将其转化成数字信号。,1.2 采样与量化 采样：将模拟信号按一定时间采样成离散的模,A / D,变换器,通用或专用,计算机,采样,保持器,D/ A,变换器,模拟低通,滤波器,模拟信号,数字信号,模拟信号,连续时间信号,连续时间信号,A / D通用或专用采,数字信号,模拟信号,采样保持信号,量化电平,数字信号模拟信号采样保持信号量化电平,1.3 自动控制系统的分类及特点,连续控制系统,离散控制系统,按包含的信,号形式分类,1.3 自动控制系统的分类及特点连续控制系统按包含的信,连续控制系统,系统中均为模拟信号,连续控制系统系统中均为模拟信号,离散控制系统,系统中既含有,连续信号,又含有,离散模拟信号,的混合系统。采样控制系统是由连续的控制对象、离散的控制器、采样器和保持器等几个环节所组成。,离散控制系统 系统中既含有连续信号又含有离散模拟信号的,在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制；,通常采样周期远小于被控对象的时间常数；,采样开关合上的时间远小于断开的时间；,采样周期通常是相同的。,1.4 采样系统的特点,在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控,2. 离散时间函数的数学表达式及采样定理,2.1 离散时间函数的数学表达式,2.2 采样函数的频谱分析,2.3 采样定理,2.4 信号的复现,2. 离散时间函数的数学表达式及采样定理2.1 离散时间函数,开关打开时，没有输出；开关,闭合时,有输出，值等于采样时刻的模拟量,2.1 离散时间函数的数学表达式,采样过程的特点,开关打开时，没有输出；开关闭合时有输出，值等于采样时刻,采样函数,采样函数 为：,=,，,的数学表达式,采样函数采样函数 为：=,第二章-计算机测控系统的理论基础2(离散系统与Z变换)-课件,2.2 采样函数的频谱分析,把周期信号展成复数形式的傅里叶级数，然后对它的频率和振幅进行分析，这就是频谱分析。,频谱分析,2.2 采样函数的频谱分析 把周期信号展成复数形式的傅,第二章-计算机测控系统的理论基础2(离散系统与Z变换)-课件,所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，重复周期为,w,s,(采样频率)。,所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,如果信号最高频谱超过,w,s,/2，那么在理想采样频谱中，各次调制频谱就会互相交叠，出现频谱的“混淆”现象，当出现频谱混淆后，一般就不可能无失真地滤出基带频谱，用基带滤波恢复出来的信号就要失真。,如果信号最高频谱超过ws/2，那么在理想采样频谱中,2.3 采样定理,采样定理要解决的问题是：采样周期选多大，才能将采样信号较少失真地恢复为原来的连续信号。,香农（Shannon）采样定理,为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍，即,2.3 采样定理 采样定理要解决的问题是：采样周期选多大,2.4 信号的复现,信号复现定义,把采样信号恢复为原来连续信号的过程通常称为信号的复现。,信号复现方法,加入理想滤波器 （理论上）,加入保持器（实际上）,2.4 信号的复现 信号复现定义 把采样信号恢复为原来连,理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有,(1)理想滤波器,(1)理想滤波器,采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：,也就恢复了模拟信号：,y,(,t,)=,x,a,(,t,),G,(j,w,),g(t),G,(j,w,),T x,a,(t) y(t)=x,a,(t),0,w,S,/2 ,采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：G(jw)G,零阶保持器的传递函数为：,(2)零阶保持器,零阶保持器的传递函数为：(2)零阶保持器,零阶保持器的幅频与相频特性,零阶保持器的幅频与相频特性,3.,Z,变换,3.1 Z变换的定义,3.2 Z变换的方法,3.3 Z变换的性质,3.4 Z反变换,3. Z变换3.1 Z变换的定义,对其进行拉氏变换,：,3.1 Z变换的定义,对其进行拉氏变换：3.1 Z变换的定义,常见信号的z变换,序列 z变换 ROC,常见信号的z变换序列,级数求和法,部分分式法,3.2 Z变换的方法,级数求和法3.2 Z变换的方法,求1,*,(,t,),的,Z,变换,。,级数求和法,求1*(t)的Z变换 。 级数求和法,求,的,F(z),。,求 的F(z)。,求解,的,Z,变换,。,部分分式法,首先把 分解为部分分式之和，然后再对每一部分分式求,Z,变换。,求解 的Z变换,线性性质,3.3 Z变换的性质,线性性质3.3 Z变换的性质,时移特性,超前定理,时移特性 超前定理,复位移定理,初值定理,如果,Z,时,F,(z),的极限存在，则函数的初值为,复位移定理 初值定理如果Z时F(z)的极限存在，则函数,终值定理,终值定理,卷积和定理,若,则,式中,卷积和定理 若,幂级数展开法,部分分式法,反演积分法（留数法）,3.4 Z反变换,幂级数展开法3.4 Z反变换,幂级数展开法,用长除法把 按降幂展成幂级数，然后求得 ，即,将 展成,对应原函数为,幂级数展开法 用长除法把 按降幂展成幂,第二章-计算机测控系统的理论基础2(离散系统与Z变换)-课件,部分分式法,部分分式法,反演积分法（留数法）,在反演积分法中，离散序列 等于 各个极点上留数之和，即,式中,表示 的第个极点。,单极点的情况,重极点的情况,若 有,n,阶重极点 ，则,反演积分法（留数法）在反演积分法中，离散序列,第二章-计算机测控系统的理论基础2(离散系统与Z变换)-课件,4. 线性常系数差分方程,4.1 差分方程的定义,4.2 差分方程的解法,4. 线性常系数差分方程4.1 差分方程的定义,对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值,x,c,(,k,) 不仅与这一时刻的输入值,x,r,(,k,)有关，而且与过去时刻的输入值,x,r,(,k,-1)，,x,r,(,k,-2)有关，还与过去的输出值,x,c,(,k,-1)，,x,c,(,k,-2)有关。可以把这种关系描述如下：,x,c,(,k,)+,a,1,x,c,(,k,-1)+,a,2,x,c,(,k,-2)+,=,b,0,x,r,(,k,)+,b,1,x,r,(,k,-1)+,b,2,x,r,(,k,-2)+,当系数均为常数时，上式为,线性定常差分方程,。,4.1 差分方程的定义,对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值,4.2 差分方程的解法,已知采样系统的差分方程是,迭代法,初始条件：,4.2 差分方程的解法已知采样系统的差分方程是 迭代法初始条,解：令,k,=1,，有,令,k,=2,，有,同理，求出,解：令k=1 ，有 令k=2，有 同理，求出,第二章-计算机测控系统的理论基础2(离散系统与Z变换)-课件,差分方程,z,-1,的代数方程, 再由逆z变换求得时域解。,Z变换法,差分方程z-1的代数方程, 再由逆z变换求得时,求解,初始条件：,x,c,(0)=0,x,c,(1)=1,求解初始条件：xc(0)=0, xc(1)=1,解：由超前定理，令,于是,代入原式得,解：由超前定理，令 于是 代入原式得,整理后得,整理后得,5. 脉冲传递函数,5.1 脉冲传递函数的定义,5.2 脉冲传递函数的推导,5.3 开环系统脉冲传递函数,5.4 闭环系统脉冲传递函数,5. 脉冲传递函数5.1 脉冲传递函数的定义,5.1 脉冲传递函数的定义,在线性离散系统中，当初始值为零时，系统离散输出信号的Z变换与离散输入信号的Z变换之比。,5.1 脉冲传递函数的定义 在线性离散系统中，当初始值为,由单位脉冲响应推出,由拉氏变换求出,由差分方程求出,5.2 脉冲传递函数的推导,由单位脉冲响应推出5.2 脉冲传递函数的推导,(1) 单位脉冲响应,g,(,t,)：输入信号为单位脉冲信号,(,t,)。,g,(,t,)是连续传递函数,G,(,s,)的拉氏反变换。,(2) 当输入信号为延时的单位脉冲信号,(,t,-,nT,),时，其输出信号为延时的单位脉冲响应,g,(,t,-,nT,)。,(3) 若输入信号为脉冲序列时，根据线性系统的叠加原理其输出信号为一系列脉冲响应之和。,由单位脉冲响应推出,(1) 单位脉冲响应g(t)：输入信号为单位脉冲信号,求脉冲传递函数的一般步骤：,(1) 由,G,(,s,)求,g,(,t,);,g,(,t,)=,L,-1,G,(,s,),(2),注意：,G(z,)表示脉冲传递函数，,G,(,s,)表示连续传递函数。并不是简单地将,s,换成,z,得到的,。,求脉冲传递函数的一般步骤： (1) 由G(s)求g(t),例：求图示系统的脉冲传递函数,r(t),r,*,(t),T,1/s,c(t),例：求图示系统的脉冲传递函数（,T,=0.5),r,(,t,),r,*,(t),T,1/(2,s,+1),c,(,t,),例：求图示系统的脉冲传递函数r(t)r*(t)T 1/sc(,串联各环节之间有采样器的情况,5.3 开环系统脉冲传递函数,串联各环节之间有采样器的情况5.3 开环系统脉冲传递函数,串联各环节之间无采样器的情况,串联各环节之间无采样器的情况,解：对于图1，它的脉冲传递函数为,求上述两种连接形式的脉冲传递函数。T=0.5,解：对于图1，它的脉冲传递函数为求上述两种连接形式的脉冲传递,对于图2，脉冲传递函数为,对于图2，脉冲传递函数为,结论：,中间具有采样器的环节，总的脉冲传函等于各脉冲环节传函之积，而串联环节中间没有采样器时，其总的传函等于各环节相乘积后再取,Z,变换,。,结论：中间具有采样器的环节，总的脉冲传函等于各脉冲环节传函之,在分析离散系统脉冲传递函数时，应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关，因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。,5.4 闭环系统脉冲传递函数,在分析离散系统脉冲传递函数时，应注意在闭环的各个通道以,具有负反馈的线性离散系统,具有负反馈的线性离散系统,具有数字校正装置的闭环离散系统,具有数字校正装置的闭环离散系统,具有有扰动信号输入的闭环离散系统,具有有扰动信号输入的闭环离散系统,6. 采样控制系统的时域分析,6.1 用Z变换法求系统的单位阶跃响应,6.2 采样系统的稳定性分析,6.3 采样控制系统的稳态误差,6.4 采样控制系统的根轨迹,6. 采样控制系统的时域分析 6.1 用Z变换法求系统的单位,已知系统如图所示，求系统的单位阶跃响应。,6.1 用Z变换法求系统的单位阶跃响应,已知系统如图所示，求系统的单位阶跃响应。6.1 用Z变换法求,解：,解：,第二章-计算机测控系统的理论基础2(离散系统与Z变换)-课件,第二章-计算机测控系统的理论基础2(离散系统与Z变换)-课件,在上例中加入保持器后再求输出量。,在上例中加入保持器后再求输出量。,解：,解：,结论：由此结果看出，由于增加了保持器，使得系统输出量的超调量增加了。,结论：由此结果看出，由于增加了保持器，使得系统输出量的超调量,线性连续系统稳定充要条件：闭环传递函数所有极点均位于,s,平面的左半部分；,线性离散系统稳定充要条件：闭环脉冲传递函数所有极点均位于,z,平面的单位圆内。,6.2 采样系统的稳定性分析,Z平面上系统稳定的条件,线性连续系统稳定充要条件：闭环传递函数所有极点均位于s,在,s,平面内,在,z,平面内,0,右半平面内,z,1,单位圆外,=0,虚轴,z,=1,单位圆周,0,左半平面,z,1,单位圆内,s,平面与,z,平面的映射关系：,如果复变量,s,1,在,s,平面左半平面内移动，即,0,则对应,z,1,其运动轨迹对应于,z,平面上,单位圆内部，幅角随频率而变。,在s平面内,j,0,j,/T,j,/2T,-,j,/2T,-,j,/T,s,平面,z,平面,Re,I,m,1,0,-1, =-/T, =/T, =0,j0j/Tj/2T-j/2T-j/Ts平面z平面,第二章-计算机测控系统的理论基础2(离散系统与Z变换)-课件,10/s(s+1),C(s),R(s),+,-,E(s),E,*,(s),T=1,解：由开环系统的连续传递函数：,得开环系统的脉冲传递函数：,10/s(s+1)C(s)R(s)+-E(s)E*(s)T=,由闭环离散系统的特征方程，求离散系统的闭环特征方程根：,闭环特征方程根：,z,1,=-0.076，,z,2,=-4.876，位于单位圆外。故系统不稳定。,由闭环离散系统的特征方程，求离散系统的闭环特征方程根：闭环特,6.3 采样控制系统的稳态误差,6.3 采样控制系统的稳态误差,单位阶跃输入时采样系统的稳态误差,单位阶跃输入时采样系统的稳态误差,位置稳态误差系数,0,型系统：,I,型系统：,II,型系统：,位置稳态误差系数 0型系统： I型系统： II型系统：,单位斜坡输入时系统的稳态误差,单位斜坡输入时系统的稳态误差,速度稳态误差系数,0,型系统：,I,型系统：,II,型系统：,速度稳态误差系数 0型系统： I型系统： II型系统：,抛物线函数输入时系统的稳态误差,抛物线函数输入时系统的稳态误差,加速度稳态误差系数,0,型系统：,I,型系统：,II,型系统：,加速度稳态误差系数0型系统： I型系统： II型系统：,总 结,1. 离散时间系统与连续时间系统在数学分析工具、稳定性、动态特性、静态特性、校正与综合等方面都具有一定的联系和区别，许多结论都具有相类同的形式，在学习时要注意对照和比较，特别要注意它们不同的地方。,2. 处理离散系统的基本数学工具是,Z,变换。,总 结1. 离散时间系统与连续时间系统在数学分析工具、稳,3. 离散系统的脉冲传递函数与连续系统中的传递函数一样重要。它是研究离散系统最有力的手段之一，要能熟练地求出典型离散系统的闭环脉冲传递函数。对一些常见的离散系统框图应能推导出输出,Z,变换的表达式。,4. 要掌握,S,平面与,Z,平面的对应关系，掌握离散系统的稳定判据及采样周期等参数对稳定性的影响。能对离散系统的动态特性作一般分析，能够根据系统结构特点分析其静态误差特性。,3. 离散系统的脉冲传递函数与连续系统中的传递函数一样重要。,