矩阵的概念与基本运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矩阵的概念与基本运算,欧阳顺湘,北京师范大学珠海分校,2005.3.27,称为方程组的,增广矩阵,称为方程组的,系数矩阵,设有线性方程组,线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系,定义,1,由,m,n,个数,a,ij,(,i,=,1,2,m,;,j,=,1,2,n,),称为,m,n,矩阵,.,排成的,m,行,n,列数表,记成,某学校印刷厂印制甲、乙、丙三种类型的作业本，一、二月份的生产与销售情况如下表：,的第一个下标 称为,行标,，,第二个下标 称为,列标,。,称作矩阵的,元素,。,矩阵，,矩阵的概念,行矩阵（行向量）,只有一行的矩阵。,等,列矩阵（列向量）,只有一列的矩阵。,等,几种特殊形式的矩阵,等,零矩阵,所有元素都为零的矩阵,，简记作 。,方阵,行数和列数相等的矩阵。如：,等,二阶方阵,三阶方阵,n,阶方阵,如,等,对角形矩阵,主对角线上的元素不全为零，其它的,元素都为,0,的,方阵,，简记作 。,单位矩阵,主,对角线上的元素都是,1,的对角形矩阵，,简记作 。如：,等,上三角形矩阵,主对角线下方元素全为零、上方的,元素不全为,0,的,方阵,。如：,等,下三角形矩阵,主对角线上方的元素全为零，下方,的元素不全为,0,的,方阵,。,同型矩阵：,有相同的行数与相同的列数的,两个矩阵，称为,同型矩阵,。,如：,只有矩阵 与矩阵 同型,注意：同型是相等的必要条件。,相等矩阵：,若,两矩阵,同型,且对应位置上 的,元素相等,，则称 相等，记 作 。,如：,且,，,例题：,已知,求,的值。,，,，,关,系,式,矩阵的基本运算及性质,，,（有两种），/,一 矩阵的加法,定义2,设,A,=(,a,ij,) ,B,=(,b,ij,),都是,m,n,矩阵,矩阵,A,与,B,的和,例,1,记成,A,+,B,规定为,两个印刷厂：,矩阵的加法运算满足规律,2. (,A + B,) +,C = A,+ (,B + C,) (,结合律,),3.,A + 0 = A,4. 设,A,= (,a,ij,) ,记,A,= (,a,ij,) ,规定,A,B = A,+ (,B,),二 数与矩阵的乘法,定义,3,规定为,称,A,为,A,的负矩阵,1.,A + B = B + A,(,交换律,),易知,A,+ (,A,) =,0,例,2 若,那么,3A,=,A3,数乘矩阵的运算满足规律：,A,B,为矩阵,.,三 矩阵与矩阵的乘法,定义,4,设,A,= (,a,ij,),是一个,m,s,矩阵,B,= (,b,ij,),是一个,s,n,A,与,B,的乘积记成,AB,，,即,C = AB .,规定,A,与,B,的积为一个,m,n,矩阵,C,= (,c,ij,) ，,其中,A B = AB,m,s s,n,m,n,矩阵,例,3,例,4,例,5,例,6,一般来说，,AB,BA,若矩阵,A,、,B,满足,AB,=,0,n,阶矩阵,称为,单位矩阵,.,如果,A,为,m,n,矩阵，那么,即矩阵的乘法不满足交换律,.,未必有,A,=,0,或,B,=,0,的结论,.,n,阶矩阵,称为对角矩阵,.,两个对角矩阵的和是对角矩阵，,两个对角矩阵的积也是对角矩阵,.,矩阵的乘法满足下述运算规律,矩阵的基本运算及性质,（,1,）交换律,A+B = B+A,（,2,）结合律 （,A+B,）,+C = A+,（,B+C,）,矩阵的加法,矩阵加法的运算规律：,注意：只有同型矩阵才能相加。,例,显然成立,矩阵的减法,设,，则称矩阵,为,A,的,负矩阵,，记作,。,若,A,、,B,为,同型,矩阵，则规定,即,，,数乘矩阵,如：,若,，则,注意：数乘矩阵时， 矩阵,的每一元素都要乘以常数,K,。,等,数量矩阵,数乘矩阵的运算规律：,矩阵的乘法,设,则,其中,行,列,左矩阵 右矩阵,A,的列数,B,的行数,例如：,无意义！,左边矩阵 右边矩阵,的 列 数 的 行 数,注意：,AB,存在，,BA,无意义，,例题：计算下列各题,（,1,）,（,2,）,AB,与,BA,不同型,同型,但不相等。,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,特殊,AB=BA,（,1,）,一般地，,，即乘法不满足交换律。,（,2,）当,AB=BA,时，称,A,、,B,为,可交换矩阵,，或,称,A,、,B,可交换。此时，,A,、,B,必为同阶方阵。,小,结,与,特别地，有：,，即,可交换。,（,8,）,（,7,）,或,矩阵的乘法运算,不满足消去律,矩阵相乘的运算规律：,一般地：,或,若,A,是方阵，则乘积,有意义，记作,称为,A,的,k,次幂。,或,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,性质,线性方程组的矩阵表示法（,2,）,（,1,）,若记：,则方程组（,1,）可记为：,