教育专题：4直线的极坐标方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三、简单曲线的极坐标方程（二）,直线的极坐标方程,写出下列圆的极坐标方程,(,),圆心在,(,a,0),，半径为,a,；,(,),圆心在,(,a,/,2),，半径为,a,；,(,),圆心在,(,a,),，半径为,a,；,( 4 ),圆心在,(,0,0,),，半径为,a.,2,a,cos ,2,a,sin ,圆心的极径与圆的半径相等,a,1,、,负极径的定义,说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。,对于点,M,（,，,）,负极径时的规定：,1,作射线,OP,，使,XOP,=,2,在,OP,的反向延长,线上取一点,M,，使,OM,= ,O,X,P,M,预备知识,三、简单曲线的极坐标方程（二）,O,X,P,= /4,M,2,、,负极径的实例,在极坐标系中画出点,M,（,3,，,/4,）,的位置,1,作射线,OP,，使,XOP= /4,2,在,OP,的反向延长线上取一点,M,，使,OM= 3,负极径小结：,极径变为负,，,极角增加,.,练习：写出点 的负极径的极坐标,（,6,，,）,答：（,6,，,+,）,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为,0 .,因为负极径只在极少数情况用,.,例题,1,：求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程,.,o,M,x,分析：,如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其,极径可以取任意的非负数,.,故所求,射线的极坐标方程为,新课讲授,1,、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程,.,易得,思考：,2,、求过极点，倾角为 的,直线,的极坐标方程,.,和,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,为了弥补这个不足，可以考虑允许极径取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为,也可写成,思考：在平面直角坐标系中,1,、过点,(3,0),且与,x,轴垂直的直线方程为：,x,=3,2,、过点,(,a,b,),且垂直于,x,轴的直线方程为,_,x=a,特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。,例题,2,、,求过点,A(a,0)(a0),，且垂直于极轴的直线,l,的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线,l,上除点,A,外的任意一点，连接,OM,o,x,A,M,在 中有,即,可以验证，点,A,的坐标也满足上式,.,求直线的极坐标方程步骤,1,、根据题意画出草图；,2,、设点 是直线上任意一点；,3,、连接,MO,；,4,、根据几何条件建立关于 的方 程，并化简；,5,、检验并确认所得的方程即为所求。,练习：,设点,A,的极坐标为,(,a,0)(,a,0),，直线,l,过点,A,且与极轴所成的角为,求直线,l,的极坐标方程,.,解：如图，设点,为直线,l,上异于,A,的点,连接,OM,，,o,x,A,在 中有,即,显然,A,点也满足该方程,.,M,特例,例题,3,设点,P,的极坐标为 ，直线,l,过点,P,且与极轴所成的角为,求直线,l,的极坐标方程,.,o,x,P,如图：,连接,OP,M,在,OPM,中运用正弦定理可得：,显然点,P,的坐标也是它的解,.,小结：直线的几种极坐标方程,1,、过极点,;,2,、过极轴上的定点，且垂直于极轴,;,3,、过某个定点,且与极轴成定角,.,方程：,作业,P152,（,1,）、（,2,）；,3,，,5,.,与极轴成任意角呢？,柱坐标系与球坐标系,阅读课本,P16-17,了解柱坐标系的定义,以及如何用,柱坐标系描述空间中的点,.,一.柱坐标系,设,P,是空间任意一点，,在,oxy,平面的射影为,Q,，,用,(,)(0,0,2),表示点,Q,在平面,oxy,上的极坐标，,点,P,的位置可用有,序数组,(,z,),表示,.,x,y,z,o,P(,Z,),Q,把建立上述对应关系的坐标系叫做,柱坐标系,.,有序数组,(,Z,),叫点,P,的,柱,坐标，,记作,(,Z,).,其中,0, 0,2, -,Z,+,柱坐标系又称半极坐标系，它是由,平面极坐标系及空间直角坐标系中的,一部分建立起来的,.,空间点,P,的直角坐标,(x, y, z),与柱坐,标,(,Z,),之间的变换公式为,试一试,设点的直角坐标为,(1,，,1,，,1),，求它,在柱坐标系中的坐标,.,解得,=,，,=,点,在柱坐标系中的坐标为,（ ， ，,1,）,.,注：,求,时要注意角的终边与点的,射影所在位置一致,试一试,给定一个底面半径为,r,，高为,h,的圆,柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述,圆柱侧面以及底面上点的位置,.,x,y,z,o,注：,坐标与点的位置有关,二.球坐标系,阅读课本,P18,了解球坐标系的概念以及在球坐标,系中点的确定,y,o,P,Q,X,Z,x,y,z,o,P,Q,r,设,P,是空间任意一点，,连接,OP,，,记,|,OP,|=r,，,OP,与,OZ,轴正向所,夹的角为,.,在,oxy,平面射影为,Q,，,设,P,在,oxy,平面上的射影为,Q,，,Ox,轴按逆时,针方向旋转到,OQ,时所转过的最小正角为,.,这样点,P,的位置就可以用有序数,组,(,r,),表示,.,(,r,),我们把建立上述,对应关系的坐标系,叫做,球坐标系,(,或,空间极坐标系,) .,有序数组,(,r,),叫做点,P,的球坐标，,其中,x,y,z,o,P,(r,),Q,r,空间的点与有序数组,(,r,),之间建立了一种对应关系,.,空间点,P,的直角坐标,(x, y, z),与球坐标,(,r,),之间的变换关系为,x,y,z,o,P,(r,),Q,r,试一试,设点的球坐标为,(2,， ，,),，求,它的直角坐标,.,点,在直角坐标系中的坐标为,（ ,1,，,1,，）,.,数轴,平面直角坐标系,平面极坐标系,空间直角坐标系,球坐标系,柱坐标系,坐标系是联系形与数的桥梁，利用,坐标系可以实现几何问题与代数问题,的相互转化，从而产生了坐标法,.,坐标系,小结,一 曲线的参数方程,高中数学新课标人教,A,版,选修,4-4,第二讲 参数方程,衡阳市铁一中学,1.,参数方程的概念,问题背景,如图，一架救援飞机在离灾区地面,500 m,的高处以,100,m/s,的速度作水平直线飞行,.,(1),建立适当的坐标系，并求救援物资被投放出舱后运动的轨迹方程；,(2),为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？,A,B,M,O,x,y,问题探究,A,B,M,O,x,y,分析,：如图，设飞机在点,A,处将物资投出机舱,.,在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系，其中,x,轴为地平面与这个平面的交线，,y,轴经过点,A,.,（,1,）设物资被投出机舱时为时刻,0,，在时刻,t,时物资的,位置为点,M,(,x,y,),，则,这就是所求的,轨迹方程,.,（,2,）救援物资落地时，应有,y=,0,，即,代入得,水平距离约,1010,m,时投放物资，可使其准确落在指定地点,.,于是，飞行员在离救援点,方程可以确定物资投放的时机,方程组的特点,一、方程组有,3,个变量，其中的,x,y,表示点的坐标，变量,t,叫做参变量，而且,x,y,分别是,t,的函数；,二、由物理知识可知，物体的位置由时间,t,唯一决定，从数学角度看，这就是点,M,的坐标,x,y,由,t,唯一确定，这样当,t,在允许值范围内连续变化时，,x,y,的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹；,三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（,x,y,）,之间有一一对应关系,.,参数方程的概念,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x,y,都是某个变数,t,的函数,并且对于,t,的每一个允许值，由方程组（,2,）所确定的点,M,(,x,y,),都在这条曲线上，那么方程,(2),就叫做这条曲线的,参数方程,，联系变数,x,y,的变数,t,叫做,参变数,，简称,参数,，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做,普通方程,.,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例,2,质点,P,开始位于坐标平面内的点,P,0,(3,，,1),处，沿某一方向作匀速直线运动,.,水平分速度,厘米,/,秒，竖直分速度,厘米,/,秒，,（,2,）问,5,秒时质点,P,所处的位置,.,（,1,）求此质点,P,的坐标与时刻,t,(,秒,),的关系；,课堂练习,练习1曲线,(,t,为参数,),与,x,轴交点的,坐标为,_.,练习2曲线,(,t,为参数,),上的点是,练习3已知参数方程,0,2),，,判断点 和,B,(2,，,1),是否在方程的曲线上,.,A.(0,，,2),B .(-1,，,6),C .(1,，,3),D .(3,，,4),小结与作业,1参数方程的概念；,2能选取适当的参数建立参数方程,.,作业：,P26 1,、,2,