空间解析几何及多元函数微分学期末复习

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,1,、,无穷级数,(Ch12),：,2,、,空间解析几何,(Ch8),重点考察,向量运算,点在直线或点在平面上的投影,3,、多元函数微分学,(Ch9),：,方向导数和梯度不考；拉格朗日乘子法不考,两个变量的抽象函数和隐函数的二阶偏导数不考；,方程组情形的隐函数求偏导不考；,多元函数的极限不考；,不考,4,、重积分,(Ch10),：,5,、曲线积分与曲面积分,(Ch11),：,两类曲线积分的关系 不考,两类曲面积分的关系 不考,斯托克斯公式 不考,第八章 空间解析几何,（一）向量运算：,数量积、向量积,（二）点在平面上的投影,（三）点在直线上的投影,数量积,定义表达式：,坐标表达式：,常用公式,（,3,）两向量的夹角公式：,（,4,）,一、向量的运算,向量积,定义表达式：,坐标表达式：,常用公式,方向,:,且符合右手规则,模,:,/,向量的位置关系,:,例,.,设,计算,并求,夹角,的正弦与余弦,.,答案,:,答案,:,例,.,已知两点,和,的模 与方向余弦,.,计算向量,例,.,已知向量,的夹角,且,解：,解,:,空间平面方程,一般式,点法式,截距式,1.,空间平面与直线的方程,二、,点在平面,或,点在直线,上的投影,基本思路：,定点、定向,空间直线方程,一般式,对称式,参数式,点,方向向量,分析,:,点在平面上的投影,点在直线上的投影,分析,:,解,:,代入平面方程,:,点在直线上的投影,第九章,（一）基本概念,（二）多元函数微分法,（三）多元函数微分法的应用,多元函数微分法及其应用,一、基本概念（,1,）,1.,多元函数的定义、极限、连续,会求多元函数的定义域,判断极限不存在及求极限的方法,（换元、夹逼准则）,会利用多元函数的连续性求极限,二元函数,z,=,f,(,x,y,),在（,x,0,y,0,）处连续,多元初等函数在定义区域内连续,.,例,定义域,求函数,的定义域，,并求,解：,2.,几个基本概念的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可导,书,P76:5;P129:1,沿任意方向,l,的,方向导数存在,求偏导数和全微分,1.,显函数求偏导数,：,固定其余变量对某个变量求导,二、多元函数微分法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,1,2.,复合函数求导的链式法则,需注意因变量、中间变量、自变量之间的关系。,例,.,设,求,解,:,y,x,3.,隐函数求导公式,1,、一元隐函数,2,、二元隐函数,注：对“抽象函数”和“隐函数”会求“,一阶,”偏导数即可。,解：,设,则,例,.,设,4.,全微分,z=f,(,x,y,),例,.,设,则,例,.,设,则,三、多元函数微分法的应用,1.,在几何中的,应用,求,曲线在切线及法平面,(,关键,:,抓住切向量,),求曲面的切平面及法线,(,关键,:,抓住法向量,),3.,极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法,(,代入法,拉格朗日乘数法,),求解最值问题,2.,方向导数与梯度,(,公式,),1.,空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,解：,切线方程,法平面方程,切点：,切向量：,曲面方程：,法线方程,1),隐式情况,.,切平面方程,2.,空间曲面的切平面与法线,曲面方程：,切平面方程,法线方程,2),显式情况,.,法线的,方向余弦,例,.,求球面,在点,(1,2,3),处,的,切,平面及法线方程,.,解,:,所以球面在点,(1,2,3),处有,:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,上求一点,使该点处的法线垂直于,例,.,在曲面,并写出该法线方程,.,提示,:,设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在,曲面上,例,.,证明曲面,与定直线平行,证,:,曲面上任一点的法向量,取,定直线的方向向量为,则,(,定向量,),故,结论成立,.,的,所有切平面恒,时,具有极值,1),当,A0,时取极小值,.,2),当,3),当,时,没有极值,.,时,不能确定,需另行讨论,.,5.,极值和条件极值,(1),极值的求法,第一步：求驻点,第二步：判定 （对每一个驻点，求）,注意,驻点,可导函数的极值点,解,设,则令,1,）,2,）,3,）,