反函数及其图像

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,反函数,镇沅一中 高一,223,班,复习,:,函数的概念,函数的三要素：,设,A,、,B,是非空的数集，如果按某个确定的对应关系,f,使对于集合,A,中的任意一个数,x,在集合,B,中都有唯一确定的数,f(x),和它对应,那么就称,f:A B,为从集合,A,到集合,B,的一个,函数,记作,y=f(x),其中,x,叫做,自变量,x,的取值范围,A,叫做函数的,定义域,;,与,x,的值相对应的,y,的值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的,值域,定义域,A,、,值域,C,、,对应法则,f,-3,-1,3,2,1,0,-2,-6,-2,6,4,2,0,-4,什么叫函数？,简言之，,函数就是非空数集到非空数集上的映射,。,例,:,画出函数,y=2x,的定义域到值域上的映射示意图，,并求,f(,2),与,f(3),的值。,解：,f(-2)=-4,f(3)=6,易知,f:AB,为一 一映射,二、探讨问题,(1),若,f(x,1,)=,-4, f(x,2,)=6,则,x,1,=_,，,x,2,=_,-2,3,A,B,一、反函数的概念,一般地，函数,y=f(x),中，设它的值域为,C.,我们根据这个函数中,x,y,的关系，用,y,把,x,表示出来，得到,，,如果对于,y,在,C,中的任何一个值 ， 通过 ，,x,在,A,中都有唯一确定的值和它对应，那么， 就表示,y,是自变量，,x,是自 变 量,y,的函数，这样的 函数,叫做函数,y=f(x),的反函数,，记作,x=f,1,(y),在函数,x=f,1,(y),中,y,表示自变量,x,表示函数,.,但在习惯上，我们一般用,x,表示自变量,y,用表示函数，为此我们常常对调函数,x=f,1,(y),中的字母,x, y,，,把它改写成,y=f,1,(x),反函数的概念的理解 ：,结论,:,若,y=f(x),有反函数是,y=f,1,(x),则函数,y=f,1,(x),的反函数就是,y=f(x),它们是互为反函数。,问：,称作 的反函数,有没有反函数？,回答：有。是,（,3,）函数,y=x,2,的,定义域是,_,，值域是,_,。如果由,y=x,2,解出,x=_,对于,y,在,0,+,),上任一个值，通过式子,x,在,R,上有,_,值和它对应，故,x_y,的函数。,R,0,+,),两个,不是,是否任何一个函数都有反函数？,这,表明函数,y=x,2,没有反函数！,并非所有的函数都有反函数,！,什么样的函数才有反函数呢？,函数,y=f(x),存在反函数的充分必要条件,例：下列函数中，存在反函数的是（ ）,A,B,C,D,若函数,y=f(x),是集合,A,到集合,B,的函数,当不同,x,的对应不同的,y,且集合,B,无剩余元素时,函数,y=f(x),存在反函数,.,的,函数图象是：,-1,-2,-3,-5,-4,-6,0,1,2,3,4,5,6,6,1,2,3,4,5,-2,-1,x,y,A,B,C,D,答案,:C,请问，一个函数具有在某区间具有单调性，那么这个函数一定有反函数吗？,例：,y=x,2,在,0,，,+,）上是增函数，,y=x,2,也有反函数,例：,y=,在,x0,上面具有反函数,但是它在,x0,上没有单调性,!,所以，函数在某区间上面具有单调性，那么肯定有反函数，但是若函数有反函数，不一定是单调的！,4,、反函数与原函数的关系：,表达式：,定义域,：,值域,:,A,C,y=f(x),原函数,反数数,y=f,1,(x) ( x=f,1,(y) ),C,A,反函数的定义域是原函数的值域，,反函数的值域是原函数的定义域。,问：,是不是函数,的反函数？,答：不是。因为前者的值域显然不是后者的定义域,所以求原来函数的反函数时，必须先确定反函数的定义域,即：确定原函数的值域,结论：,例,.,求下列函数的反函数：,（,1,）,解：,所以， 的反函数是,的,值域是,R,(2),解：,所以， 的反函数是,的,值域,是,R,解：,(3),所以， 的反函数是,的,值域,是,(4),解：,所以， 的反函数是,的值域是,二、求反函数的,步骤,:,(2),反解,:,把,y=f(x),看作是,x,的方程,解出,x=f,1,(y);,(3),互换,:,将,x,y,互换得,y=f,1,(x);,(4),注明,:,注明,y=f,1,(x),其定义域,（即原函数的值域,),;,(1),求值,:,求出,y=f(x),的值域,反函数的图象关系,首先，我们来看两个函数,思考一下，这两个函数图像有什么关系？,y=log,2,x,y=2,x,二、图像的对称性,A(0,-2),B(-2,0),图像关于直线,y=x,对称,三、小结：,1.,反函数的概念及记号；,y=f(x),的,反函数记为,y=f,1,(x),由,反函数的概念知：,反函数也是函数,2.,若,y=f(x),有反函数是,y=f,1,(x),则函数,y=f,1,(x),的反函数就,是,y=f(x),，,它们是互为反函数。,4.,反函数与原函数的关系：,反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域。,3.,函数,y=f(x),存在反函数的充分必要条件,若函数,y=f(x),，,是集合,A,到集合,B,的函数,当不同,x,的对应不同的,y,且集合,B,无剩余元素时,函数,y=f(x),存在反函数,(2),反解,:,把,y=f(x),看作是,x,的方程，解出,x=f,1,(y);,(3),互换：将,x,y,互换得,y=f,1,(x);,(4),注明：注明,y=f,1,(x),其定义域,（即原 函数的值域,);,5,、求反函数的步骤,:,(1),求值,:,求出,y=f(x),的值域,谢谢,