第15章 压杆稳定

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十五章 压杆稳定问题,基本内容,：,（,1,）压杆稳定的基本概念,；,（,2,）压杆的临界压力计算；,（,3,）压杆的稳定性校核及提高压杆稳定性措施；,15.1,稳定性的基本概念,一、稳定性概念,(a),(b),1.,小球所在平衡位置的稳定性：,情形,(a):,小球所在的平衡位置是稳定的；,情形,(b):,小球所在平衡位置是不稳定的。,2.,弹性细长受压直杆的稳定性：,钢尺：一端固定，一端自由。,（,1,）当,轴向力,P,较小,时，其,平衡形态为直线,。,此时给一微小的横向力，使其产生微小的横向弯曲变形，然后将其横向力撤去；,现象,：,杆仍可,回到原直线形式的平衡状态。,（,2,）当,轴向力,P,较大,（,P,P,cr,）,时，对,直线形式平衡状态,加一,微小的横向力，使其产生微小的横向弯曲变形，然后将其横向力撤去；,现象,：,杆,不能回到原直线形式的平衡状态。,此时称：原直线形式的平衡状态是,稳定,的。,此时称：原直线形式的平衡状态是,不稳定,的。,且，杆由于被压弯而失去承载能力。,钢尺：一端固定，一端自由。,3.,稳定性概念,杆件原直线形式平衡状态,由稳定变为不稳定,的现象,称为,失稳,（丧失稳定），其中间状态称,临界状态,对应于临界状态,轴向压力的临界值,称为,临界压力,。,临界压力用,表示。,（,1,）杆件由于失稳而丧失承载能力，一般不是因为杆的强度不够。,如，,A3,钢，横截面为,:15mm,2,，,E=200GPa,，,杆长为：,l,=320mm,，,其临界压力为,P,cr,=200N,，,此时,说明：,（,2,）可见轴向受压细杆承载能力，还取决于其稳定性如何,!,（,3,）轴向受压细杆稳定性与杆件长度和截面尺寸、支承方式有关。,二、其它结构的稳定性,薄壁圆筒受外压（或抽真空）,板,条、工字钢在最大刚度平面内的侧向弯曲与扭转,薄壁圆筒受轴向压力,15.2,临界压力的欧拉公式,P,x,y,O,l,一、两端铰支细长压杆临界压力公式,设,两端为球铰链，,EI,、,l,已知,x,P,M,取距原点为,x,的任意截面，其上轴力,P,和弯矩,M,，,且恒有,(a),x,y,将其代入挠曲线近似微分方程：,(b),引入记号：,(15.2),方程（,b,）,变为：,(15.1),上述方程通解为：,(15.3),A,、,B,为积分常数，可由边界条件确定。,杆件的边界条件为：,由于,B,=0,，,因而,A,0,，,只有,由此可求得：,由此可解得,将其代入式（,15.2,）,P,x,y,O,l,x,P,M,x,y,(15.2),(e),使杆件保持微弯曲平衡的压力，有无穷多值；,当,n,=0,时，,P,=0,，,是方程的平凡解，应舍去；,当,n,=1,时，,P,为临界压力的最小值,P,cr,：,(15.6),两端铰支细长压杆的临界压力,P,cr,的计算公式,两端铰支压杆的,欧拉公式,说明：,(1),P,cr,与,EI,成正比；,即：,EI,值大，则,P,cr,也大，表明该压不易失稳；,(2),P,cr,与 杆长,l,成,反比；,即：,l,大，则,P,cr,小，,表明该压易失稳；,(3),式中，,I=,I,min,表明失稳总是在抗弯能力最小的纵向平面 内；,(4),P,cr,与 杆件的支承条件有关。,例,图示两端铰支矩形截面细长压杆，,b,=40,mm,，,h,=30,mm,，,l,=1.5,m,，,材料为,A3,钢，,E,=206,GP,，,试按欧拉公式计算其临界压力。,解,由于两端铰支压杆，各个方向约束相同，故必在最小刚度平面内失稳。,由截面形状可知：,代入欧拉公式，有,P,cr,x,y,O,l,x,1.,两端铰支压杆,失稳,形态：半个正弦波,2.,一端固定、一端自由压杆,P,cr,l,失稳,形态：,1/4,个正弦波,3.,两端固定压杆,l,P,cr,C,D,A,B,C,、,D,点为反弯点（即：,M,=0,）,l/2,l/4,l/4,二、两端非铰支细长压杆的临界压力公式（可由两端铰支杆同样的方法推导，可参考孙训方编材料力学）,A,B,C,4.,一端固定、一端铰支压杆,C,点为反弯点（即：,M,=0,）,二、欧拉临界压力公式的普遍形式,P,cr,l/2,l/4,l/4,A,B,C,D,P,cr,O,l,P,cr,l,l,为把压杆折算成两端铰支压杆的长度,相当长度,长度系（因）数，,与约束性质有关。,两端铰支：,一端固定另一端自由：,两端固定：,一端固定另一端铰支：,(15.3),例,图示矩形截面压杆,AB,，,其长度,l,=2.4m,，,截面宽度,b,=40mm,，,高度,h,=60mm,，,在,x-y,平面内弯曲时如图,(a),，,两端可简化铰支；在,x-z,平面内弯曲时如图,(b),，,丙端可视为固定。压杆的材料为,A,3,钢，弹性模量,E,=206,MPa,，,试求压杆的临界压力。,解,计算,x-y,平面内失稳时的临界压力,计算,x-z,平面内失稳时的临界压力,比较两者，得压杆的临界压力为：,长方形截面细长压杆，,b,/,h,=1/2,；,如果将,b,改为,h,后仍为细长杆，临界力,P,cr,是原来的多少倍？,例,解,圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界压力为原压杆的；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的。,例,解,情形（,1,）,情形（,2,）,为原压杆的,图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设,P,1,和,P,2,分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则,(A)P,1,=P,2,(B)P,1,P,2,(D),不能断定,P,1,和,P,2,的关系,例,解,(a),(b),对图（,a,），,节点,B,：,B,由,平面汇,交力系的,平衡条件得,节点,A,：,x,y,A,（受拉）,（受压）,节点,D,：,D,x,y,（受拉）,桁架内力分析的节点法,先,分析各杆的内力,(a),(b),对,图（,a,）,中受压杆件作稳定性分析,杆AD：,（受压）,对,图（,b,）,类似于图（,a,）,的分析，可得：,杆,AB,、,BD,受压,由欧拉公式，得,比较得,15.3,柔度的概念 三种不同压杆的判断,一、欧拉临界压力公式的适用范围,(15.8),将上式两边同除以压杆横截面面积,A,，,有,压杆的临界应力。,考虑到：,i ,截面的惯性半径，上式成为：,引入记号：,(15.10),称为压杆的,柔度,或,细长比,，无量纲量,(15.12),欧拉公式的另一种表达形式,1.,临界应力、柔度或细长比,2.,欧拉公式的适用范围,推导欧拉公式时，用了挠曲线近似微分方程，材料需服从,Hooke,定律，即,cr,P,（,比例极限）,或：,记：,欧拉公式的适用范围为：,(15.15),压杆的,柔度,或,细长比，无量纲。,欧拉公式的适用范围为：,满足式上式条件的杆，称,大柔度杆,或,细长杆,。,对于量,p,，,仅与材料的性质有关，如，,Q235,钢：,二、临界应力的经验公式,1.,直线公式,(15.13),其中：,a,、,b,为与,材料有关的常数。,如表,15.2,所示。,适用范围：,塑性材料,脆性材料,即,或,记：,或,式（,11.13,）的适用范围：,(15.16),满足上式的压杆，称,中柔度杆,或,中粗杆,。,若：,则称,小柔度杆,或,短粗杆,。,此时的临界应力：,塑性材料,脆性材料,此时破坏方式实际上为一般,强度失效,。,2.,抛物线公式,临界应力,cr,随柔度,的变化曲线,其适用范围的讨论同直线公式（,15.13,）。,三、临界应力总图,大柔度杆,或,细长杆,中柔度杆,或,中粗杆,小柔度杆,或,短粗杆,大柔度杆,中柔度杆,小柔度杆,O,其中：,a,1,、,b,1,为与,材料有关的常数。,临界应力总图,A,B,C,D,15.4,压杆稳定性条件与设计,1.,压杆的临界压力计算,对大柔度杆：,(15.8),对中柔度杆：,(15.13),2.,压杆的稳定性条件,设压杆的,稳定安全系数,为,:,n,st,则压杆的许可压力为,:,压杆的,稳定性条件,可表示为,:,式中，,P,为压杆上的实际工作压力。,或,若记压杆的临界压力,P,cr,与实际工作压力,P,之比为压杆,工作安全系数,:,n,则,稳定性条件,为：,(15.18),说明：,（,1,）稳定安全系数,n,st,一般比强度安全系数,n,s,（或,n,b,）,高；,（,2,）稳定性计算的三类问题：,（,a,）,稳定性校核；,（,b,）,基于稳定性的截面设计；,（,c,）,基于稳定性的承载能力计算,。,3.,压杆的稳定性计算,例：,空气压缩机的活塞杆由,45,#,钢制成，可视为两端铰支压杆。,s,=350MPa,，,P,=280MPa,，,E,=210MPa,。,长度,l,=703mm,，,直径,d,=45mm,。,最大压力,P,max,=41.6kN,。,规定稳定安全系数,n,st,=810,。,试校核其稳定性。,解：,（,1,）确定压杆为大柔度杆还是中柔度杆？,由,查表得,45,#,钢：,比较得：,该压杆为,中柔度杆,（,2,）选用适当公式计算临界压力（应力）,活塞杆的工作安全系数：,（,3,）计算压杆的工作安全系数并与稳定安全系数比较,活塞杆满足稳定性要求。,图示结构，,、两杆,截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷,P,为最大值时的,角（设,0,/2,）。,例：,解：,A,C,B,求杆,AB,、,BC,的轴力；,B,x,y,杆,AB,、,BC,的临界压力：,要使,P,获得最大，须使,N,BA,、,N,BC,都达到其临界压力：,（,1,）,（,2,）,将式（,2,）除以式（,1,），有,例：,A,B,C,D,1500,500,P,图示托架，,AB,杆为圆管，外径,D,=50mm,，,内径,d,=40mm,，,两端为球铰，材料为,A3,钢，,E,=206MPa,，,1,=,100,，,若规定稳定安全系数,n,st,=3,，,试确定托架的许可载荷,P,。,解：,B,C,D,1500,500,分析杆,AB,的受力,N,AB,P,杆,AB,的惯性半径：,杆,AB,的长度：,杆,AB,的柔度：,杆,AB,为大柔度杆。,A,B,C,D,1500,500,P,B,C,D,1500,500,N,AB,P,杆,AB,的稳定性条件：,本章,小结,一、基本概念,失,稳（屈曲）：,轴向受,压杆,件，其原有（直线）平衡形式由稳定变为不稳定的现象。,具有受压杆件结构,的一种破坏方式,临界压力,P,cr,（,应力,cr,）：,使杆件,原有（直线）平衡形式为稳定,的最大轴向压力（应力）；,或：,使受压杆件,维持微小弯曲平衡,的最小轴向压力（应力）。,柔度,（,长细比）：,相当长度系数：,与,压杆,两端的约束性质有关。,两端铰支：,一端固定另一端自由：,两端固定：,一端固定另一端铰支：,二、临界压力（应力）的计算,欧拉公式,适用范围,：,其中：,大柔度杆,或,细长杆,直线公式：,适用范围,：,其中：,中柔度杆,或,中粗杆,适用范围,：,小柔度杆,或,短粗杆,欧拉临界应力总图,大柔度杆,中柔度杆,小柔度杆,O,A,B,C,D,三、稳定性计算,稳定性条件：,或,其中：,稳定安全系数,稳定性计算的三类问题：,（,1,）,稳定性校核；,（,2,）,基于稳定性的截面设计；,（,3,）,基于稳定性的承载能力计算,。,稳定性计算的步骤：,（,1,）,分析结构的受力；,（,2,）,计算压杆的柔度（长细比）,，,确定压杆的性质（是大柔度杆？还是中柔度杆？）；,（,3,）,计算压杆的临界压力（应力）,（,4,）,将压杆实际工作压力（应力）与临界压力（应力）比较。,15-3,、,11-4,、,15-9,、,15-10,、,15-11,第十五次作业：,