44方差与标准差

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,4.4方差与标准差,第一次,第二次,第三次,第四次,第五次,甲,命中环数,7,8,8,8,9,乙,命中环数,10,6,10,6,8,0,1,2,2,3,4,5,4,6,8,10,甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：,成绩（环）,射击次序,请分别计算两名射手的平均成绩；,请根据这两名射击手的成绩在,下图中画出折线统计图；,现要挑选一名射击手参加比,赛，若你是教练，你认为挑,选哪一位比较适宜？为什么？,教练的烦恼,谁的稳定性好？应以什么数据来衡量？,甲,射击成绩与平均成绩的偏差的和：,乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：,（,7-8,）,+,（,8-8,）,+,（,8-8,）,+,（,8-8,）,+,（,9-8,）,=,（,10-8,）,+,（,6-8,）,+,（,10-8,）,+,（,6-8,）,+,（,8-8,）,=,（,10-8,）,2,+,（,6-8,）,2,+,（,10-8,）,2,+,（,6-8,）,2,+,（,8-8,）,2,=,？,（,7-8,）,2,+,（,8-8,）,2,+,（,8-8,）,2,+,（,8-8,）,2,+,（,9-8,）,2,=,？,0,0,怎么办？,甲,射击成绩与平均成绩的偏差的,平方和,：,乙射击成绩与平均成绩的偏差的,平方和,：,找到啦！有区别了！,2,16,想一想,上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？,与射击次数有关！,所以要进一步用,各偏差平方的平均数,来衡量数据的稳定性,设一组数据,x,1,、,x,2,、,、,x,n,中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是,(x,1,x),2,、,(x,2,x),2,、,(,x,n,x),2,，,那么我们用它们的平均数，即用,S,2,=,(x,1,x),2,(x,2,x),2,(,x,n,x),2,1,n,来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的,方差,.,在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的,波动越大,越不稳定,.,方差,用来衡量一批数据的,波动大小,(,即这批数据偏离平均数的大小,).,例,:,为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出,10,株苗，测得苗高如下,(,单位,:,cm):,甲,:12 13 14 15 10 16 13 11 15 11,乙,:11 16 17 14 13 19 6 8 10 16,问哪种小麦长得比较整齐,?,练一练,思考：,求数据方差的一般步骤是什么？,1,、求数据的平均数；,2,、利用方差公式求方差。,S,2,=,(x,1,-x),2,+(x,2,-x),2,+(x,n,-x),2,数据的单位与方差的单位一致吗？,动动脑！,为了使单位一致，可用方差的算术平方根：,S,=,(x,1,-x),2,+(x,2,-x),2,+(x,n,-x),2,来,表示，并把它叫做,标准差,.,课内,练习,P,89,1,、,2,小明的烦恼,在学校，小明本学期五次测验的数学成绩和英语成绩分别如下,（单位：分）,数学,70,95,75,95,90,英语,80,85,90,85,85,通过对小明的两科成绩进行分析，你有何看法？对小明的学习你有什么建议？,考考你的观察力,甲,99,103,98,101,104,100,98,97,乙,102,100,95,103,105,96,98,101,S,甲,2,5.5(,克,2,),S,乙,2,10.5(,克,2,),甲,9.9,10.3,9.8,10.1,10.4,10,9.8,9.7,乙,10.2,10,9.5,10.3,10.5,9.6,9.8,10.1,S,甲,2,0.055(,克,2,),S,乙,2,0.105(,克,2,),（单位：克）,我来做,1,、已知某样本的方差是,4,，则这个样本的标准差是,。,2,、已知一个样本,1,、,3,、,2,、,x,、,5,，其平均数是,3,，则这个样本的标准差是,。,3,、甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且射击成绩的平均数,x,甲,=,x,乙,，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是,S,2,甲,S,2,乙,。,探索发现,已知三组数据,1,、,2,、,3,、,4,、,5,；,11,、,12,、,13,、,14,、,15,和,3,、,6,、,9,、,12,、,15,。,1,、求这三组数据的平均数、方差和标准差。,2,、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？,想看一看下面的问题吗？,平均数,方差,标准差,1,、,2,、,3,、,4,、,5,11,、,12,、,13,、,14,、,15,3,、,6,、,9,、,12,、,15,3,2,2,13,2,2,2,3,9,18,请你用,发现的结论来解决以下的问题：,已知数据,a,1,，,a,2,，,a,3,，,，,a,n,的平均数为,X,，方差为,Y,标准差为,Z,。则,数据,a,1,+3,，,a,2,+,3,，,a,3,+3,，,，,a,n,+3,的平均数为,-,，,方差为,-,，,标准差为,-,。,数据,a,1,-3,，,a,2,-3,，,a,3,-3,，,，,a,n,-3,的平均数为,-,，,方差为,-,，,标准差为,-,。,数据,3,a,1,，,3,a,2,，,3,a,3,，,，,3,a,n,的平均数为,-,，,方差为,-,，,标准差为,-,。,数据,2,a,1,-3,，,2,a,2,-3,，,2,a,3,-3,，,，,2,a,n,-3,的平均数为,-,，,方差为,-,，,标准差为,-,。,反思提高,小结：,谈谈自己这节课已学到什么？,1,.,方差,:,各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这 批数据的方差,.,2.,方差：,用来衡量一批数据的,波动大小,(,即这批数据偏离平均数的大小,).,在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的,波动越大,越不稳定,.,3.,标准差,:,方差的算术平方根叫做标准差,.,S,2,=,(x,1,-x),2,+(x,2,-x),2,+(x,n,-x),2,S,=,(x,1,-x),2,+(x,2,-x),2,+(x,n,-x),2,计算一组数据的方差的一般步骤：,1,、利用平均数公式计算这组数据的平均数,X,2,、,利用方差公式计算这组数据的方差,S,2,要选拔射击手参加射击比赛，应该挑选测,试成绩曾达到最好的选手，还是成绩最为稳定,的选手？下面是甲、乙两名射击手的测试成绩，,统计如下：,第一次,第二次,第三次,第四次,第五次,甲命中的环数,7,8,8,8,9,乙命中的环数,10,6,10,6,8,(1),请分别算出甲乙两名射击手的平均成绩；,(2),请根据这两名射击手的成绩画出折线统,计图；,(3),现要挑选一名射击手参加比赛，你认为,挑选哪一位比较合适？为什么？,试一试,1,、如果直接计算甲、乙每次射击成绩,与平均数的偏差的和，结果如何？,2,、计算一下甲、乙两名运动员每次射,击成绩与平均成绩的偏差的平方和,，,结果如何？,甲：（,7,8,）,2,（,8,8,）,2,（,8,8,）,2,（,8,8,）,2,（,9,8,）,2,2,；,乙：（,10,8,）,2,（,6,8,）,2,（,10,8,）,2,（,6,8,）,2,（,8,8,）,2,16,；,显然：,甲、乙两名运动员每次射击成绩与平均,成绩的偏差的平方和还与射击的次数有关,。,和为零，无法比较,解,:,由,方差的定义，要注意：,1,、方差是衡量数据稳定性的一个统计量；,2,、要求某组数据的方差，要先求数据的平均数；,3,、方差的单位是所给数据单位的平方；,4,、方差越大，波动越大，越不稳定；,方差越小，波动越小，越稳定。,方差的定义：,我们采用各偏差平方的,平均数,来衡量数据的稳定性，,即,，叫做这组数据的方差（用,S,2,来表示）。,例题精选,例 为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中,抽出,10,株苗，测得苗高如下（单位：,cm,）：,甲：,12,，,13,，,14,，,15,，,10,，,16,，,13,，,11,，,15,，,11,；,乙：,11,，,16,，,17,，,14,，,13,，,19,，,6,，,8,，,10,，,16,；,问：哪种小麦长得比较整齐？,X,甲 （,cm,）,X,乙 （,cm,）,S,2,甲 （,cm,2,）,S,2,乙 （,cm,2,）,因为,S,2,甲,S,2,乙，所以甲种小麦长得比较整齐。,解,:,标准差的定义,为了使得与数据单位一致，可用方差的,算术平方根来表示（即标准差）：,，,S,为标准差。,特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据,都没有偏差，即每个数都一样,。,补充练习,1,、某校团委为响应市教委倡导的“与奥运同行”,的号召，举办了英语口语竞赛。一班和二班的,选手的成绩如下：,一班：,84,，,90,，,86,，,76,，,81,，,87,，,86,；,二班：,76,，,89,，,82,，,84,，,94,，,80,，,85,；,（,1,）分别求出两个班的平均分，标准差,（精确到,0.01,）；,（,2,）说明哪个小组成绩比较稳定,。,因,S,1,S,2,所以一班选手的成绩比较稳定,.,S,1,4.23,S,2,4.23,x,1,84.29,x,2,84.29,解,:,2,、（探究题）已知数据,x,1,、,x,2,、,x,3,、,x,4,、,x,5,的,平均数是,2,，方差是 ，那么另一组数据,2,x,1,1,，,2x,1,1,，,2x,1,1,，,2x,1,1,，,2x,1,1,的,平均数和方差分别是（）,A,、,2,，,B,、,4,，,C,、,2,，,D,、,3,，,D,总结：,若,x,1,，,x,2,，,x,3,，,x,4,，,，,x,n,方差为,S,2,，,则,x,1,a,，,x,2,a,，,x,3,a,，,x,4,a,，,，,x,n,a,的,方差仍是,S,2,，而,ax,1,，,ax,2,，,ax,3,，,ax,4,，,，,ax,n,的,方差是,a,2,S,2,。,若,x,1,，,x,2,，,x,3,，,x,4,，,，,x,n,平均数为,x,，,则,x,1,a,，,x,2,a,，,x,3,a,，,x,4,a,，,，,x,n,a,的,平均数是,x+a,，而,ax,1,，,ax,2,，,ax,3,，,ax,4,，,，,ax,n,的,平均数是,ax,。,再见,