高等数学随堂讲解可积条件

,单击此处编辑母版标题样式,2017/4/17,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,判别一个函数,f,(,x,),在,a,b,上是否可积,就是判别极限,是否存在,.,在实际应用中，直接按定义来判定是困难的,.,我们希望由函数本身的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别函数的可积性,.,为此,先给出可积准则,并以此证明有界性是可积的必要条件而非充分条件,连续性是可积的充分条件而非必要条件,.,3,可积条件,数学分析 第九章,定积分,定理,9.1,（可积必有界）,若函数 在 上可积，则 在 上必有界,.,证,设,由定义,对,于是,后退 前进 目录 退出,于是,矛盾,.,证,若,D,(,x,),在,a,b,上可积,则,于是,而这与,所以,=,b,-,a,相矛盾,定义,2,称为,f,关于分割,T,的上和,称为,f,关于分割,T,的下和,对任意分割,其中,其中,定理,9.3,（可积准则）,函数,f,在,a,b,上可积的充要,条件是：,振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连,续性相关联的概念,.,定理,9.4,（连续必可积）,常见的有三种方法,下面分别作出介绍,.,每个,从而,第一种方法,:,连续，则可积,.,若,此定理将在本章第六节定理,9.15,中证明,.,在用它,证明可积性问题时,有多种方法可使,从而,因此当,从而在,a,b,上一致连续,.,证,于,第二种方法,:,定理,9.5,（单调必可积）,证,不妨设,是非常值的增函数，,于是,因此,若,则对任意分割,第三种方法,:,于是,定理,9.6,（有限个间断点的有界函数必可积）,若,有界,且只有有限多个不连续点，,此时可用第三种方法证明,f,可积,.,f,在,a,b,上可积,.,只有一个间断点,且为,b,.,证,不妨设,使,则存在分割,令,则,上可积,且,例,2,证明黎曼函数,证,只有有限多个,分割,使,的小区间至多有,的有理数,设它们为,2,k,个,记为,从而,因此这些小区间长度之和为,1.,f,(,x,),为,a,b,上的有界函数,其不连续点的集合,证明,f,在,a,b,上可积,.,2.,f,(,x,),在,a,b,上不连续点的集合为,它们在,试问,f,在,a,b,上,是否一定不可积？,a,b,中稠密,即,为,E,0,.,若,