渐近方法 —函数的展开

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,光学中的数学方法,之,（渐近方法）,主讲教师：白璐,联系电话：,15291456996,Email: bluxidian.edu.c,n, 渐近方法,本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法，内容包括积分的渐近展开分析与常微分方程的渐进解法两大部分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。,渐近计算是数学计算的近似方法之一，它是解析方法在一定条件下的发展，其与数值方法相结合可以提高计算的精确程度及计算速度，特别在非线性问题的处理中渐近方法具有重要的地位。,1,、 量级符号；,2,、 渐近展开；,3,、 渐近展开式的运算；,4,、 积分的渐近展开式；,5,、 最陡下降法；,6,、 驻定相位法；,7,、 常微分方程的渐近解；,第二章 渐近方法,由于某些特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它可以使我们得到积分解另一种表达，称此为渐近方法。,比较函数趋于某个极限时的性质常定义：,例：, 2,渐近方法, 2.1,量级符号,1),同量级,例：,称函数,f,(,x,),至多与,g,(,x,),同阶。, 2,渐近方法,2.1,量级符号,2),量级最多为,也可以说若存在某个常数,A,，使对定义域,D,某个内点,x,0,的邻域,V,内的所有,x,，满足,例：, 2,渐近方法, 2.1,量级符号,3),量级小于,也可以说若存在任一 ，定义域,D,内点,x,0,总有一的邻域,存在，使得所有 ，满足,称函数,f,(,x,),是函数,g,(,x,),的高阶小量。,的意义是说,f,(,x,),有界，而 的意义是说,f,(,x,),趋于零。, 2.2,渐近展开,下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复平面上进行。,一、 渐近序列,设 ，是定义在区间,D,上的连续函数序列，,是,D,中的一固定点，若对每一个固定的,n,，有,则称 为 点的渐进序列。渐近序列可以是有限项也可以是无限项的。,例如：,是对零点的渐近序列。,2,渐近方法,是对于无穷的渐近序列。,二、 渐近展式,设 是一个给定的函数，而 是 点的一个渐近序列，如果对每个固定的整数,n,，有,那么称此为 在 点的渐近展式。记为,注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的,z,值，渐近展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足渐近展式的定义式，则当 时，取确定的项数,n,会得到对函数非常好的近似。, 2.2,渐近展开, 2,渐近方法,例,1,：求 当 时的积分值。,即求 时 的渐近展式。,解,：,余项：, 2.2,渐近展开, 2,渐近方法,因此，取展开式的前,n,项，略去余项，当 时，其误差量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为, 2.2,渐近展开, 2,渐近方法,注意： 这个级数对于有限的,x,值均不收敛。但是，取确定的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出的相对误差为,1/,x,结果粗略一些，但已经足够用了。,三、 展开式系数：,当 时， 的渐近展式 的系数为,证明略, 2.2,渐近展开, 2,渐近方法,四、 展开式的构成,设 在区域,D,中有定义，若,有定义且不为零，则 是 时，,的一个直到,N,项的渐近展开式。,当 时， 的渐近展式 的系数为,四、 展开式的构成,当 时， 的渐近展式 的系数为,四、 展开式的构成,当 时， 的渐近展式 的系数为,四、 展开式的构成,证明： 首先证明 是一个渐近序列。由 的定义得,2.2,渐近展开, 2,渐近方法,所以：,又因为：,故存在一个 的 邻域使,z,在其中时：,所以 。由此，各个 都由这种方式定义得,2.2,渐近展开, 2,渐近方法,五、 唯一性,设 是在,D,中， 的一个已知渐近序列，若,是当 时， 直到,N,项的一个渐近展式，则此展式是唯一的。,注意：,这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示的展开式的唯一性。但是可能有多个不同的渐近序列对应同一个函数的渐近展式，它们可以不同，而且可以是收敛的也可是发散的。反过来，一个已知的渐近展式可以表示不止一种函数。,的一个,渐近,幂级数展式,，记为,六、 幂函数的展式,2.2,渐近展开, 2,渐近方法,则：,是,D,中， 时，,其中一种重要的特殊情形是在,D,中，当 时，如果,则在,D,中，当 时,2.3,渐近展式的运算,若在,D,中，当 时，直到,N,项有,则：,和,1.,加法：,2.,乘法：, 2,渐近方法,本节讨论渐近展开式的普通运算，由于实际应用中，展式多用,幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。,3.,除法：,即除法为两个函数渐近展开式分别保留到,N,项相除。,推论：,2.3,渐近展式的运算, 2,渐近方法,4.,积分,:,当 时，若 则：,其中积分沿从 到 的一条直线路径。,推论,:,当 时，若 则：,2.3,渐近展式的运算, 2,渐近方法,5.,求导,:,当 时，若 ，且当,时，在,D,中 存在并有,则在,D,中渐近展开式满足可逐项积分的条件时，有,推论,1,：在,D,中，当 有,且在,D,中,2.3,渐近展式的运算, 2,渐近方法,存在并有,若在,D,中，渐近幂级数满足逐项积分的条件，则,推论,2,： 对 ，当 时有,且 存在于相同的区域，当 时，有,则,对于解析函数 ，若在区域,当 时有,则在 中，当,有,2.3,渐近展式的运算, 2,渐近方法,根据渐近展式的定义和相关运算法则，就可以讨论在解析函数理论中常用的积分的渐近展式。,获得积分渐近展式的方法有两种,把被积函数的一部分展开为级数，然后形式上逐项积分；,重复地进行分部积分。,一、 逐项积分法：,瓦特森引理：设,2.4,积分的渐近展式, 2,渐近方法,式 对,Re(z) 0,成立，因为在此定义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到其积分的渐近展开式。做变量代换，令,解：令 则,例：求当 ， 的,函数,的渐近展式。, 2,渐近方法,则对给定的值 上述变换给出两个解,s,(,u,),和,(,u,),，其中,2.4,积分的渐近展式,即,且,两个解分别位于最大值,s=1,的两边其中,于是, 2,渐近方法,2.4,积分的渐近展式,可以证明,且因当 时， 故 在 有界, 2,渐近方法,2.4,积分的渐近展式,则可得 与,的关系：,剩下要证明的是 其中 对小的 有一个,麦克劳林展开式。再做代换，令,。它在 处是解析的。因为当,时，有,即,与 的邻域有两个分支。,根据复变函数理论：若,解析，且,则 在,的邻域存在解析的反函数,现在,在,邻域解析，且,在,点不等于零，故在, 2,渐近方法,2.4,积分的渐近展式,另一支是,注意到,则对足够小的 有,故,令,的邻域存在解析的反函数,式中,是 处 的留数，容易算出 等 。,将最后的表示式带入被积式，并在形式上逐项积分，则由瓦特森引理，在 时，有, 23,渐近方法,2.4,积分的渐近展式,式中,二、 分部积分法：,对,形式进行分部积分。在 ，且当 时,的条件下得,。可以看出，,所得积分与原来积分形式相似,，,故可,重复同一过程,。, 2,渐近方法,2.4,积分的渐近展式,在 和,的一定假设条件下，式中第一项是,的积分渐近形式。,条件,:,（,1,）对 ，,连续且有界： ，同时,（,2,）对 ，,为实函数且连续；,存在，且,（,3,）,（,4,）对所有正 ， ，且当 时，,（,5,）对 ， 存在，则对,当 时, 2,渐近方法,2.4,积分的渐近展式,例： 在 ，,条件下，求,误差函数,的渐近展开式。,令,现在的积分,和定理的假设相符，重复地应用此,定理，对于,可得, 2,渐近方法,2.4,积分的渐近展式,如果 ，则应将方法修改。但对这种情形，可以采用,下面两节的方法，这里不再赘述。,以上只把分部积分法用于上限为,的积分，现在考虑,a,和,b,有限，,且,的情形，即,设 ，而当 ， 时, 2,渐近方法,2.4,积分的渐近展式,当 ， 时，因为,故,最徒下降法的思路：,首先令：,则：, 2,渐近方法,2.5,最陡下降法,积分,其中,C,是复平面,Z,上的路径，在其中假定,缓变，且,f,和,g,均具有适当的正则性。,其中,u,和,v,是实函数。,当,S,很大时，沿积分路径微小位移所引起的,的微小变化会引起,注意到：,2.5,最陡下降法,也就是说，,最徒下降法的本质就是尽可能利用这样的积分路径：使被积函数在这个路径上,u,为最大，而,等于常数。,这样可以保证被积函数变化最速下降，也就保证积分值只与,u,为最大的点（鞍点）附近的邻域有关，从而可以渐近计算。,事实上，,使,等于常数的路径也就是,u,变化最快的路径,。以下对此证明：, 2,渐近方法,中复数项的迅速震荡。,但如选择积分路径使在其上,为常数，,则震荡就会迅速消失，,于是被积函数变化最速部分将为,，而,显然其主要贡献部分将来自,u,为最大点的邻域。因而此方法的本,质是尽可能地改变积分路径循着通过,u,为最大的点，而,等于常数,的路线进行。,2.5,最陡下降法, 2,渐近方法,证明,:,令,是在,邻近的一点，于是由,得：,当,等于常数时,，应有,，即,注意到,柯西黎曼,关系,:,可得,此式表明,因此，由极值的条件，在,点，,等于常数的方向也正是,u,的最大,变化方向。,2.5,最陡下降法, 2,渐近方法,为寻找,的最大点，令,，因而,故当且仅当在该点,，,时，取得极值，这样的点称为,驻点,。,曲面,有极大极小值的条件为,而现在有,，即,，故,，因而,因为,u,是解析函数满足拉普拉斯方程,表明,这里的驻点不是极值点,而是,鞍点,，它连接曲面的“,山谷”,和“,山脊”,沿山脊上升和山谷下降均是,u,最大变化方向,。,对我们有意义的是,山谷下降路径，即最徒下降路径,，因为只有这一路径上在鞍点附近对积分有显著的贡献，所以这种渐近计算的方法称为：,最徒下降法,。,2.5,最陡下降法, 2,渐近方法,鞍点,若,点为,鞍点,，即,此点的,等于常数的曲线方程为,，则,通过,，或,其中,t,是实数，,t,为,正,代表下降路径，,t,为,负,代表上升路径。,由,在,点的,Tailor,展开式,现在,，若,(A,为正实数,),，接近,处,，则,，（略去高阶项）,2.5,最陡下降法, 2,渐近方法,因为：,还可得：,由此可以画出,实部,虚部,时的等高线如图所示。如果,，则图形将更复杂，,可能有三个或更多的山谷在,鞍点相会。,2.5,最陡下降法, 2,渐近方法,现在可以假定,起止于无限远的积分路径能变形到起点和终点都在山谷的路径,，,这是积分收敛的要求,。,积分路径要尽可能地变形到最陡下降路径上沿着山谷的底在鞍点处越过一个山谷进入下一个山谷。,一般说来，这种路径由一系列曲线组成，每一个是从鞍点到无穷或到某个奇点。,以下假定,来计算一个这种路径对积分的贡献。,为此，设,其中,。于是,最陡下降路径,由下式给出,或,(,t,为正实数）,其中,取主值。计及,，故得,2.5,最陡下降法, 2,渐近方法,上式的不同符号对应于自鞍点出发的两条最陡下降路径。若,“+”,号与第三象限的路径有关，“,-”,与第一象限的路径,。,有关,考虑,负号,时所代表的路径如图所示，所得的积分是,负号所对应的路径,其中,是上式中取,负号,的,z,值。另一路径的积分,其中,是上式中取,正号,的,z,值。,完整的级数太繁，我们将只导出首项。于是，如果把,C,变形到通过鞍点，其方向如右图，则可以得到,2.5,最陡下降法, 2,渐近方法,由于 和,都可用,t,表示,，其中函数,f,已假定是缓变的，故,和,均可用,代替。令,引理渐近计算的积分式。,，则可以得到用,瓦特森,负号所对应的路径,此式即利用最徒下降法得到的积分的渐近展开,。 如果,C,通过鞍点的方向与前图示相反的话，结果反号即可。,例：求阶乘的斯特林（,Stirling),公式。（即阶乘的渐近展式）,解： 已知阶乘的积分表达式,符合前边积分的形式，其中,而积分路径,C,为实轴。,2.5,最陡下降法, 2,渐近方法,它在,时成立，现在我们只考虑,s,此积分形式不适合用最陡下降法，但如用,sz,来代替,z,就得出,是实数的情形。,注意到,有一鞍点，且在该处,在 时：,因此积分路径应该是 和 （零点为奇点）两部分,根据公式：,2.5,最陡下降法, 2,渐近方法,这就是斯特林公式。,2.6,驻定相位法,积分 ：, 2,渐近方法,当参量,k,很大时可以用驻定相位法求解。从被积函数 的形,式,上看，可当作波的相位。,当,k,很大时，它表示一种迅速的振荡。,在积分过程中，这种振荡正负相消，而只有在,的部分，,处有平坦,因而对积分的主要贡献来自于,点附近。,使,的点称为,驻定相位点,，所以这种用相位驻定邻近的积分,结果来近似代表整个区间的精确结果的方法称为,驻定相位法,。,为证明对积分的主要贡献来自驻定相位点附近，先看变量,z,为实变量,x,的情形。函数,的驻点,是使,的点，如,，而,则称,为,的,N,级驻点。,考察积分：,2.6,驻定相位法, 2,渐近方法,如果积分区间,(,a,b,),内,f,(,x,),没有驻点,，,g,(,x,),在,(,a,b,),内可微，则,可作积分变量代换，而上面的积分可记为,由,f,(,x,),反演,x,可以表示为,f,的函数，故 在积分区间是,可微的。由,分部积分,，得,2.6,驻定相位法, 2,渐近方法,等号右边,第一项,在,时趋于零，其量级为 ；右边,第,二项,形式上与原积分一样， 可微能对它再进行分部积分，,积分后的量级也是 ，但其前面已有系数 ，故上式等,号右边第二项的量级为,，再继续进行分部积分，可见整个,在,k,很大时量级最多为,1/,k,的小量。,如果,在积分区间内,有一个,一级驻点,，则由于,而使,在 处失去可微性，因而不能直接进行分部积分。,则：,后一个积分中把,f,作为积分变量，则,其中：,令,2.6,驻定相位法, 2,渐近方法,它在,驻点,处,(,为 型,),的,极限,为 ，从而,也在积分区间内可微。,由此，上面后一个积分的量级也是,现在来考虑前一个积分，将,按,Taylor,级数展开，则,2.6,驻定相位法, 2,渐近方法,略去后面的高阶项，计及,g,(x),在区间内是,x,的缓变函数，于是上述,积分整个地可写为,令,，则,再令,，同时考虑到,时积分限,，则得,2.6,驻定相位法, 2,渐近方法,由于,，得,当,时，第一项的量级为,积分的贡献。所以，与不包含驻点的区间相比较，当 时，,，也就是包含驻点的区间对,含驻点的区间对积分的贡献要重要的多。,计及,可能为正或者负，通常把上述结果表示为,如果区间内有多个一级驻点，可分为若干个子区间，使各个驻点,都在其中，然后逐个用上式计算，再将结果加起来得到所需结果。,对于,复变量,的情形，积分可写成：,于是,(,即鞍点,),2.6,驻定相位法, 2,渐近方法,其中,是给定的积分路径。由,其中,C,立即得出在 点,从前面的讨论可知对积分的主要贡献来自相位,稳定的区域，,即应来自,的极值点附近。所以希望在经过,选出一个特定的方向，沿此方向，相位 能最迅速地变化而在,点的所有方向中,点取极值。,2.6,驻定相位法, 2,渐近方法,由,最陡下降法,的分析可知，如,取,为常数的路径,必为,变化最激烈的路径。可见，在复变函数情形下的驻相法实际,上是上节最陡下降法取共轭路径的结果。,在此路径上，由于,为常数，故,为纯虚数。再将,在,邻域展开为,Taylor,级数，略去,高阶小量，则,2.6,驻定相位法, 2,渐近方法,故 也应是纯虚数。若令,这里,只能取 。,当,，则,在积分路径上令,，由于只沿微小路径进行，可认为,是直线段，,不变，因而,原积分渐近结果为,。应用驻相法，,即：,令,2.6,驻定相位法, 2,渐近方法,，则当,时，相应的积分限可取,，这样,由于,故式中,同理，若取,，也得相同的算式。,2,.6,驻定相位法, 2,渐近方法,例：,求,n,阶第一类贝塞尔函数的渐近展开，,n,为整数。,解：已知贝塞尔函数的积分表达式,这里,得驻相点为,，且,，故当,时有,因此，取实部并乘以,，得第一类贝塞尔函数的渐近展开为,