第1讲　空间几何体的三视图 表面积与体积

二 轮 数 学 专 题 五 立 体 几 何第 1讲 空 间 几 何 体 的 三 视 图 、 表 面 积与 体 积 二 轮 数 学 考 向 分 析核 心 整 合热 点 精 讲 二 轮 数 学 考 向 分 析考 情 纵 览 年 份考 点 2011 2012 2013 2014 2015 三 视 图 与其 直 观 图 6 7 12由 三 视 图求 面 积 、 体 积 7 8 6 11 6多 面 体 与球 综 合 15 11 6 6 9 二 轮 数 学真 题 导 航1.(2011新 课 标 全 国 卷 ,理 6)在 一 个 几 何 体 的 三 视 图 中 ,正 视 图 和 俯 视 图 如图 所 示 ,则 相 应 的 侧 视 图 可 以 为 ( ) 解 析 :由 几 何 体 的 正 视 图 和 俯 视 图 可 知 ,该 几 何 体 的 底 面 为 半 圆 和 等 腰 三角 形 ,其 侧 视 图 可 以 是 一 个 由 等 腰 三 角 形 及 底 边 上 的 高 构 成 的 平 面 图 形 ,故 应 选 D. D 二 轮 数 学2.(2013新 课 标 全 国 卷 ,理 7)一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz中 的 坐 标 分 别 是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画 该 四 面 体 三 视 图中 的 正 视 图 时 ,以 zOx平 面 为 投 影 面 ,则 得 到 的 正 视 图 可 以 为 ( )解 析 :在 空 间 直 角 坐 标 系 中 作 出 四 面 体 OABC的 直 观 图 如 图 所 示 ,作 顶 点 A、C在 zOx平 面 的 投 影 A ,C ,可 得 四 面 体 的 正 视 图 .故 选 A. A 二 轮 数 学3.(2013新 课 标 全 国 卷 ,理 8)某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ,则 该 几 何 体 的体 积 为 ( )(A)16+8 (B)8+8(C)16+16 (D)8+16A 二 轮 数 学4.(2015新 课 标 全 国 卷 ,理 9)已 知 A,B是 球 O的 球 面 上 两 点 , AOB=90 ,C为 该 球 面 上 的 动 点 ,若 三 棱 锥 O-ABC体 积 的 最 大 值 为 36,则 球 O的 表 面 积 为 ( )(A)36 (B)64 (C)144 (D)256C 二 轮 数 学 B 二 轮 数 学 二 轮 数 学备 考 指 要1.怎 么 考(1)考 查 角 度 : 给 出 三 视 图 的 两 种 视 图 ,求 另 一 视 图 . 由 三 视 图 还 原 直 观 图 求 线 段 的 长 度 、 面 积 、 体 积 等 . 给 出 空 间 几 何 体 的 直 观 图 ,求 表 面 积 或 体 积 (特 别 是 求 体 积 ). 与 球 有 关 的 “ 接 ” “ 切 ” 问 题 .(2)题 型 难 易 度 :选 择 题 、 填 空 题 ,中 、 低 档 .2.怎 么 办(1)熟 练 掌 握 简 单 几 何 体 的 结 构 特 征 及 其 表 面 积 、 体 积 计 算 . (2)熟 练 掌 握 与 球 有 关 的 “ 切 ” 、 “ 接 ” 问 题 中 的 几 何 关 系 . 二 轮 数 学 核 心 整 合1.棱 柱 、 棱 锥(1)棱 柱 的 性 质侧 棱 都 相 等 ,侧 面 是 平 行 四 边 形 ;两 个 底 面 与 平 行 于 底 面 的 截 面 是 全 等 的多 边 形 ;过 不 相 邻 的 两 条 侧 棱 的 截 面 是 平 行 四 边 形 ;直 棱 柱 的 侧 棱 长 与 高相 等 且 侧 面 与 对 角 面 是 矩 形 .(2)正 棱 锥 的 性 质侧 棱 相 等 ,侧 面 是 全 等 的 等 腰 三 角 形 ,斜 高 (侧 面 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 高 )相 等 ;棱 锥 的 高 、 斜 高 和 斜 高 在 底 面 内 的 射 影 构 成 一 个 直 角 三 角 形 ;棱 锥的 高 、 侧 棱 和 侧 棱 在 底 面 内 的 射 影 也 构 成 一 个 直 角 三 角 形 ;某 侧 面 上 的 斜 高 、 侧 棱 及 底 面 边 长 的 一 半 也 构 成 一 个 直 角 三 角 形 ;侧 棱 在 底 面 内 的射 影 、 斜 高 在 底 面 内 的 射 影 及 底 面 边 长 的 一 半 也 构 成 一 个 直 角 三 角 形 . 二 轮 数 学2.三 视 图(1)正 视 图 、 侧 视 图 、 俯 视 图 分 别 是 从 几 何 体 的 正 前 方 、 正 左 方 、 正 上 方观 察 几 何 体 得 到 的 投 影 图 .画 三 视 图 的 基 本 要 求 :正 俯 一 样 长 ,俯 侧 一 样 宽 ,正 侧 一 样 高 ;(2)三 视 图 排 列 规 则 :俯 视 图 放 在 正 视 图 的 下 面 ,长 度 与 正 视 图 一 样 ;侧 视 图放 在 正 视 图 的 右 面 ,高 度 和 正 视 图 一 样 ,宽 度 与 俯 视 图 一 样 .3.几 何 体 的 切 接 问 题(1)解 决 球 的 内 接 长 方 体 、 正 方 体 、 正 四 棱 柱 等 问 题 的 关 键 是 把 握 球 的 直径 即 是 棱 柱 的 体 对 角 线 .(2)解 决 柱 、 锥 的 内 切 球 问 题 的 关 键 是 找 准 切 点 位 置 ,化 归 为 平 面 几 何 问 题 .4.柱 体 、 锥 体 、 台 体 和 球 的 表 面 积 与 体 积 (不 要 求 记 忆 )(1)表 面 积 公 式 圆 柱 的 表 面 积 S=2 r(r+l); 圆 锥 的 表 面 积 S= r(r+l); 圆 台 的 表 面 积 S= (r 2+r2+r l+rl); 球 的 表 面 积 S=4 R2. 二 轮 数 学温 馨 提 示 在 有 关 体 积 ,表 面 积 的 计 算 应 用 中 注 意 等 积 法 的 应 用 . 二 轮 数 学 热 点 精 讲热 点 一 空 间 几 何 体 的 三 视 图 二 轮 数 学(2)(2015江 西 九 江 二 模 )正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ,M,N分 别 是 棱 A1B1,A1D1的中 点 ,如 图 是 该 正 方 体 被 过 A,M,N和 D,N,C1的 两 个 截 面 截 去 两 个 角 后 所 得的 几 何 体 ,则 该 几 何 体 的 正 视 图 为 ( )解 析 ： (2)该 几 何 体 的 正 视 图 应 为 正 方 形 ,其 中 AM的 投 影 为 实 线 ,DC 1的 投影 是 虚 线 ,故 选 B. 二 轮 数 学方 法 技 巧 将 三 视 图 还 原 成 直 观 图 是 解 答 该 类 问 题 的 关 键 ,其 解 题 技 巧 是熟 练 掌 握 常 见 简 单 几 何 体 及 其 组 合 体 的 三 视 图 ,特 别 是 正 方 体 、 长 方 体 、圆 柱 、 圆 锥 、 三 棱 柱 、 三 棱 锥 等 几 何 体 的 三 视 图 . 二 轮 数 学举 一 反 三 1-1:如 图 ,一 个 棱 柱 的 正 视 图 和 侧 视 图 分 别 是 矩 形 和 正 三 角 形 ,则这 个 三 棱 柱 的 俯 视 图 为 ( )解 析 :由 正 视 图 和 侧 视 图 可 知 ,这 是 一 个 横 放 的 正 三 棱 柱 ,一 个 侧 面 水 平 放 置 ,则 俯 视 图 应 为 D. 二 轮 数 学热 点 二 空 间 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积 二 轮 数 学 二 轮 数 学方 法 技 巧 求 解 几 何 体 的 表 面 积 及 体 积 的 技 巧(1)求 三 棱 锥 的 体 积 ,等 体 积 转 化 是 常 用 的 方 法 ,转 换 原 则 是 底 面 放 在 已 知几 何 体 的 某 一 面 上 ,其 高 易 求 .(2)求 不 规 则 几 何 体 的 体 积 ,常 用 分 割 或 补 形 的 思 想 ,将 不 规 则 几 何 体 转 化为 规 则 几 何 体 来 求 解 .(3)求 表 面 积 ,其 关 键 思 想 是 空 间 问 题 平 面 化 . 二 轮 数 学 答 案 : (1)A 二 轮 数 学 二 轮 数 学热 点 三 多 面 体 与 球 的 切 接 问 题 答 案 : (1)A 二 轮 数 学 二 轮 数 学方 法 技 巧 多 面 体 与 球 接 、 切 问 题 的 求 解 策 略(1)涉 及 球 与 棱 柱 、 棱 锥 的 切 、 接 问 题 时 ,一 般 过 球 心 及 多 面 体 中 的 特 殊 点(一 般 为 接 、 切 点 )或 线 作 截 面 ,把 空 间 问 题 转 化 为 平 面 问 题 ,再 利 用 平 面 几何 知 识 寻 找 几 何 体 中 元 素 间 的 关 系 ,或 只 画 内 切 、 外 接 的 几 何 体 的 直 观 图 ,确 定 球 心 的 位 置 ,弄 清 球 的 半 径 (直 径 )与 该 几 何 体 已 知 量 的 关 系 ,列 方 程(组 )求 解 .这 也 是 解 决 此 类 问 题 的 易 错 点 .(2)若 四 点 P,A,B,C在 球 面 上 ,且 线 段 PA,PB,PC两 两 互 相 垂 直 ,设 PA=a,PB=b,PC=c,一 般 把 四 面 体 P-ABC“ 补 形 ” 成 为 一 个 球 内 接 长 方 体 ,则4R 2=a2+b2+c2求 解 . 二 轮 数 学 二 轮 数 学备 选 例 题 二 轮 数 学 二 轮 数 学 答 案 :4 二 轮 数 学点 击 进 入 专 题 组 合 练