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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,02,平面,力系,Chapter,two,2.1,平面,汇交力系的合成和平衡,汇交力,系,各,力作用线汇交于同一点的,力系；,平面汇交力,系,若,汇交力系中各力作用线在同一平面,内。,2.1.1,平面,汇交力系的合成,1.,力多边形,矢量关系的数学表达式为,力的可传递性和力的三角形法则,2.1,平面,汇交力系的合成和平衡,2,、力在平面直角坐标轴上的投影,PS,：投影,是代数量，有正负之分。,根据力的投影求出该力的大小和方向,力,F,在,直角坐标轴,x,、,y,上的投影，记,作,F,x,、,F,y,2.1,平面,汇交力系的合成和平衡,PS,：力的投影和分力的区别,：,力的投影是代数量，它只有大小和正负,；,而,力的分量是矢量，不仅有大小和方向，还有作用点，二者不可混淆,。,只有当,x,、,y,轴相垂直的时候，分力的大小是投影的绝对值。,x,y,30,60,45,F,1,=100N,F,2,=200N,F,3,=300N,F,4,=400N,2.1,平面,汇交力系的合成和平衡,【,例,2-1】,如,图所,示，分别求各力在,x,轴和,y,轴上的投影。,A,1,A,2,A,3,A,4,2.1,平面,汇交力系的合成和平衡,3,.,合力投影,定理,合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。,F,R,2.1,平面,汇交力系的合成和平衡,4,.,平面汇交力系的合成,当,平面汇交力系为已知时，可先求出力系中各力在,x,轴和,y,轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力在,x,、,y,轴上的投影，即可求得合力。,式,中,合力,F,R,与,x,轴正向夹角，单位,为,；,合力,F,R,与,y,轴,正向夹角，单位为,。,2.1,平面,汇交力系的合成和平衡,【,例,2-2】,如,图所,示，固定的圆环上作用着共面的三个力,，已知,F,1,=10kN,，,F,2,=20kN,，,F,3,=25kN,，三力均通过,圆心,O,，试,求此力系的合力的大小和方向。,2.1,平面,汇交力系的合成和平衡,2.1.2,平面,汇交力系的平衡条件,充要条件,：其合力,等于零，,F,R,=0,平面汇交力系的平衡方程,建立方程时，要求,x,、,y,轴不平行，即这两个平衡方程相互独立，可求解两个未知量,。,利用平衡方程求解实际问题时，受力图中的未知力指向有时可以任意假设，若计算结果为正值，表示假设的力的方向就是实际指向；反之，表示假设的力的方向与实际方向相反。,2.1,平面,汇交力系的合成和平衡,【,例,2-3】,一物体重为,30kN,，用不可伸长的柔索,AB,和,BC,悬挂于图示平衡位置，设柔索重量不计，,AB,和铅垂线的夹角,=30,，,BC,水平。求柔索,AB,和,BC,的拉力,。,2.1,平面,汇交力系的合成和平衡,【,例,2-4】,图示,重物,G,=20kN,，用钢丝绳挂在支架的滑轮,B,上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车,D,上。杆,AB,与,BC,铰接，并以铰链,A,、,C,与墙连接。若两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆,AB,和,BC,所受的力。,G,2.2,平面力偶系,的合成和平衡,2.2.1,力矩,力矩,的,概念,将,Fd,作为力,F,对物体绕,O,转动效应的度量，并称为力,F,对矩心,O,的矩，简称力矩，以符号,M,O,（,F,）,表示，即力矩的定义为,式中：,F,是力的数值大小，,d,是力臂，逆时针转取,正号。,常用,单位是,kNm,、,Nm,。力矩用带箭头的弧线段表示。,2.2,平面力偶系,的合成和平衡,2.2.1,力矩,2.,力矩,的,性质,1,）力的作用点沿作用线移动，不改变力对点的矩。,2,）当力通过矩心时，此力对矩心的力矩等于零。,3,）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。,2.2,平面力偶系,的合成和平衡,2.2.2,力偶,力偶,的,概念,两手操纵方向盘和用丝锥攻螺丝,时，都,有这样一对大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力使物体转动，这一作用效应是和这两力的大小及两力间的垂直距离,d,（称力偶臂）成正比,。,通常称这对特殊的力为力偶，用力与力臂的乘积,Fd,来度量其转动效应，并称其为力偶矩，用,符号,M,来,表示，即力偶矩的定义是,PS,：,逆时针,转向的取正号，反之取负号。平面力偶矩为代数量。,2.2,平面力偶系,的合成和平衡,2.2.2,力偶,2.,力偶的性质,1,）力偶中的两个力，既不平衡，也不可能合成为一个力，即力偶没有合力,。,2,）力偶只能用另一个力偶来平衡,。,3,）力偶中的两个力对其作用平面内任一点的矩的代数和恒等于力偶矩，与,矩心,O,的位置,无关。,4,）只要不改变力偶的转向和力偶矩的大小，力偶可在其作用平面内,(,包括在其平行平面内,),任意移动和,转动，并,可任意改变其力和力偶臂的,大小，,而不会改变它对刚体的转动效应。,2.2,平面力偶系,的合成和平衡,2.2.2,力偶,3,.,平面,力偶的等效,定理,若作用于刚体上的力系，由一系列力偶组成，该力系称为力偶系；若力偶系中各力偶作用在同一平面内（或各力偶作用面平行），则称为平面力偶系。研究平面力偶系的基础是平面力偶的等效定理。,作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。,如果两个力偶的力偶矩相等，总可以适当地改变两个力偶中任意一个力偶的力偶臂和力的大小（保持原力偶矩不变），使两个力偶的力偶臂和力的大小相等且转向相同，所以两个力偶等效。,2.2,平面力偶系,的合成和平衡,2.2.2,力偶,4.,力,对点的矩与力偶矩的区别,不同,之,处,：,力对点的矩（力矩）可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩（力偶矩）是常量。,相同之,处,：,力矩与力偶矩的量纲相同。,关联之,处,：,力偶中的两个力对任意一点的矩（两个力矩）之和是常量，等于力偶矩。,2.2,平面力偶系,的合成和平衡,2.2.3,平面,力偶系的合成,2.2,平面力偶系,的合成和平衡,2.2.4,平面,力偶系的平衡条件,平面力偶系平衡的充分必要条件是,:,合力偶,矩等于零，亦即各分力偶矩的代数和,等于零,。,平面,力偶系的平衡方程,2.2,平面力偶系,的合成和平衡,【,例,2-6】,图示,的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分别为：,M,1,=,M,2,=10Nm,，,M,3,=20Nm,，固定螺柱,A,和,B,的距离,l,=200mm,。求两个光滑螺柱所受的力。,F,A,F,B,2.2,平面力偶系,的合成和平衡,【,例,2-7】,在,梁,AB,的两端各作用一力偶，其力偶矩分别为：,M,1,=120kNm,，,M,2,=360kNm,，转向如图。梁长,l,=6m,，重量不计。求,A,、,B,处的支座反力。,2.2,平面力偶系,的合成和平衡,【,例,2-8】,M,1,=2kNm,，,OA=,r,=0.5m,，图示位置时,OA,与,OB,垂直，,=30,，且系统平衡。求作用于摇杆,BC,上力偶的矩,M,2,，以及铰链,O,、,B,处的约束反力。,2.3,平面,任意力系的简化和平衡,任意力系,也,称一般力系，是指各力作用线既不汇交于同一点，又不完全相互平行的力系。如果任意力系中各力作用线都在同一个平面内，则该力系称为平面任意力系,。,2.3.1,力的平移定理,作用,在刚体,上,A,点,的力,F,可以,平行移动到刚体内任意,一点,B,，,同时需要附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原来的,力,F,对点,B,的,矩。,2.3,平面,任意力系的简化和平衡,此,定理的逆过程,：由作用,在,B,点,的力,F,和一个力偶,M,o,组成的平面力系，可以等效为作用于另,一点,A,的,一个,力,F,。,等效条件为,合力,F,与力,F,大小相等，方向相同，,合力,F,对点,B,的,矩,等于,M,，合力,F,与,F,作用线的距离为,2.3,平面,任意力系的简化和平衡,2.3.2,平面任意力系向作用面内任一点简化,1.,平面,任意力系向作用面内任一点简化的主矢与主矩,应用,力的平移定理，将平面任意力系中的各个力（以三个力为例）全部平行移到作用,面 内,某一定点,O,。从而这力系被分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系。,这种,等效变换的方法称为力系向定点,O,的简化。点,O,称为简化中心,。,平面,汇交力系，可以合成为一个力，力的作用线通过简化中心,O,点，此力称为原力系的,主矢,。,平面,力偶系，可以合成一个力偶，其矩为此力偶的矩称为原力偶系的,主矩,。,A,3,O,A,2,A,1,F,1,F,3,F,2,M,1,O,M,2,M,3,=,=,M,O,F,2.3,平面,任意力系的简化和平衡,主矩一般与简化中心的选择有关，必须指明是相对于哪一个点的,。,其中，主矢的大小和方向余弦可按下式求解：,2.3,平面,任意力系的简化和平衡,2,.,固定,端约束的简化,固定,端,工程,中物体的一端完全插入到另一个物体内部,的（又称为,插入端,）。,固定端对物体的约束作用，是在物体和固定端的接触面上作用有一群力，在平面问题中，这些力组成一平面任意,力系。,2.3,平面,任意力系的简化和平衡,3,.,平面,任意力系简化结果的,讨论,（,1,）,F,R,=0,，,M,O,0,，说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。,（,2,）,F,R,0,，,M,O,=0,，则作用于简化中心的力,F,R,就是原力系的合力，作用线通过简化中心。,（,3,）,F,R,0,，,M,O,0,，这时根据力的平移定理的逆过程，可以进一步合成为合力,F,R,，经过新的简化中心,O,。,平面任意力系的合力矩定理,：平面任意力系的合力对力系所在平面内任一点的矩等于其各分力对同一点的矩的代数和。,（,4,）,F,R,=0,，,M,O,=0,，此时,力系,处于,平衡,状态,。,2.3,平面,任意力系的简化和平衡,2.3.3,平面任意力系的平衡条件和平衡方程,平面,任意力系平衡的,充要,条件为：力系的主矢和对任意点的主矩均等于零。,平面任意力系的,平衡方程：,（,1,）基本,形式,最多,可解三个未知力,（,2,）二力矩,式,x,轴不能与,A,、,B,连线垂直,（,3,）三力矩,式,A,、,B,、,C,三点不共线,2.3,平面,任意力系的简化和平衡,【,例,2-11】,水平梁,AB,，,A,端为固定铰支座，,B,端为滚动支座，受力及几何尺寸如,图所,示，,已知,M,=,qa,2,，,试求,A,、,B,端的约束力。,2.3,平面,任意力系的简化和平衡,【,例,2-12】,如,图所,示的刚架，已知,：,q,0,=3kN/m,，,F,=6,2 kN,，,M,=10kNm,，不计刚架的自重，试求固定端,A,的约束力,。,2.3,平面,任意力系的简化和平衡,【,例,2-13】,如,图,所示的起重机平面简图，,A,端为止推轴承，,B,端为向心轴承，其自重,为,G,1,=40kN,，起吊重物的重量,为,G,2,=100kN,，几何尺寸如图，试求,A,、,B,端的约束力。,
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