第八章6微分法在几何上的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微分法在几何上的应用,一、空间曲线的切线和法平面,定义,设,M,是空间曲线,L,上的一个定点,M,*,是,L,上的一个动点,当,M,*,沿曲线,L,趋于,M,时,割线,MM,*,的极限位置,MT,（,如果极限存在）称为曲线,L,在,M,处的切线,下面我们来导出空间曲线的切线方程,。设空间曲线的方程,(1),式中的三个函数均可导,.,且,导数不同时为零,考察割线趋近于极限位置,切线的过程,上式分母同除以,曲线在,M,处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,.,法平面：过,M,0,点且与切线垂直的平面,.,解,切线方程,法平面方程,。空间曲线方程,取,x,为参数,法平面方程为,。空间曲线方程,切向量,切线方程,法平面方程为,所求切线方程为,法平面方程为,二、曲面的切平面与法线,。设曲面方程为,在曲面上任取一条通过点,M,的曲线,曲线在,M,处的切向量,令,则,切平面方程为,法线方程为,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,.,曲面在,M,处的法向量即,。空间曲面方程形为,令,曲面在,M,处的切平面方程为,曲面在,M,处的法线方程为,因为曲面在,M,处的切平面方程为,切平面上点的竖坐标的增量,其中,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,满足方程,所求切点为,切平面方程,(1),切平面方程,(2),例,6,在椭球面 上求一点，,使它的法线与坐标轴正向成等角,解,令,则,注意到法线与坐标轴正向的夹角,相等,故,解得,所求的点为,的法线的方向向量为,故椭球面上任一点,例,7,设,z,=,z,(,x,y,),由方程,确定，,其中,f,(,u,v,),可微,证明,z,=,z,(,x,y,),表示锥面,为曲面上一点,则连接,PP,0,的,直线的方程为,证,得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以,(,a,b,c,),为顶点的锥面。,曲面的切平面与法线,（求法向量的方向余弦时注意,符号,）,思考题,三、小结,空间曲线的切线与法平面,（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用,推导法,）,思考题解答,设切点,依题意知切向量为,切点满足曲面和平面方程,练 习 题,练习题答案,