材料力学课件13章

*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,材料力学,刘鸿文主编,(,第,4,版,),高等教育出版社,目录,第一章,绪 论,目录,第一章 绪论,1.1,材料力学的任务,1.2,变形固体的基本假设,1.3,外力及其分类,1.4,内力、截面法及应力的概念,1.5,变形与应变,1.6,杆件变形的基本形式,目录,1.1,材料力学的任务,传统具有柱、梁、檩、椽的木制房屋结构,古代建筑结构,目录,建于隋代（,605,年）的河北赵州桥,桥长,64.4,米，跨径,37.02,米，用石,2800,吨,一、材料力学与工程应用,古代建筑结构,建于辽代（,1056,年）的山西应县佛宫寺释迦塔,塔高,9,层共,67.31,米，用木材,7400,吨,900,多年来历经数次地震不倒，现存唯一木塔,目录,1.1,材料力学的任务,四川彩虹桥坍塌,目录,1.1,材料力学的任务,美国纽约马尔克大桥坍塌,比萨斜塔,1.1,材料力学的任务,目录,1.1,材料力学的任务,1、构件：,工程结构或机械的每一组成部分。 （例如：行车结构中的横梁、吊索等）,理论力学,研究,刚体,，研究,力,与,运动,的关系。,材料力学研究,变形体,，研究,力,与,变形,的关系。,二、基本概念,2、变形：,在外力作用下，固体内各点相对位置的改变。(宏观上看就是物体尺寸和形状的改变）,3、内力：,构件内由于发生变形而产生的相互作用力。,（,内力随外力的增大而增大,）,强度：,在载荷作用下，构件,抵抗破坏,的能力。,刚度：,在载荷作用下，构件,抵抗变形,的能力。,塑性变形,(,残余变形,),外力解除后不能消失,弹性变形 随外力解除而消失,1.1,材料力学的任务,目录,1.1,材料力学的任务,4,、稳定性：,在载荷作用下，,构件,保持原有平衡状态,的能力。,强度、刚度、稳定性,是衡量构件承载能力的三个方面，材料力学就是研究构件承载能力的一门科学。,目录,研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的,力学性能,。因此在进行理论分析的基础上，,实验研究,是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。,目录,1.1,材料力学的任务,材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计,既经济又安全,的构件，提供必要的理论基础和计算方法。,三、材料力学的任务,若：构件横截面尺寸不足或形状,不合理,或材料选用不当,_,不满足上述要求,不能保证安全工作,.,若：不恰当地加大横截面尺寸或,选用优质材料,_,增加成本,造成浪费,均不可取,构件的分类：,杆件、板壳*、块体*,1.1,材料力学的任务,材料力学主要研究,杆件,等截面直杆,等直杆,四、材料力学的研究对象,直杆,轴线为直线的杆,曲杆,轴线为曲线的杆,等截面杆,横截面的大小,形状不变的杆,变截面杆,横截面的大小,或形状变化的杆,目录,1.2,变形固体的基本假设,1,、连续性假设：,认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质,在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体。,在材料力学中，对变形固体作如下假设：,目录,灰口铸铁的显微组织,球墨铸铁的显微组织,2,、均匀性假设：,认为物体内的任何部分，其力学性能相同,1.2,变形固体的基本假设,普通钢材的显微组织,优质钢材的显微组织,目录,1.2,变形固体的基本假设,A,B,C,F,1,2,如右图，,远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简化。,4,、小变形与线弹性范围,3,、各向同性假设：,认为在物体内各个不同方向的力学性能相同,（沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性材料。如木材、胶合板、纤维增强材料等）,认为构件的变形极其微小，,比构件本身尺寸要小得多。,目录,1.3,外力及其分类,外力：,来自构件外部的力（载荷、约束反力）,按外力作用的方式分类,体积力：,连续分布于物体内部各点,的力。,如重力和惯性力,表面力：,连续分布于物体表面上的力。,如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等均为分布力,若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。,如火车轮对钢轨的压力等,分布力,：,集中力,：,目录,按外力与时间的关系分类,载荷缓慢地由零增加到某一定值后，就保持不变或变动很不显著，称为静载。,静载,：,动载,：,载荷随时间而变化。,如交变载荷和冲击载荷,1.3,外力及其分类,交变载荷,冲击载荷,目录,内力：,外力作用引起构件内部的附加相互作用力。,求内力的方法,截面法,目录,1.4,内力、截面法和应力的概念,(1),假想沿,m-m,横截面将,杆,切开,(2),留下,左半段或右半段,(3),将弃去部分对留下部,分的作用用内力,代替,(4),对留下部分写,平衡,方,程，求出内力的值。,F,S,M,F,F,a,a,目录,1.4,内力、截面法和应力的概念,例如,例,1.1,钻床,求：,截面,m-m,上的内力。,用截面,m-m,将钻床截为两部分，取上半部分为研究对象，,解：,受力如图：,1.4,内力、截面法和应力的概念,列平衡方程,:,目录,F,N,M,目录,1.4,内力、截面法和应力的概念,为了表示内力在一点处的强度，引入,内力,集度,即,应力,的概念。,平均应力,C,点的应力,应力是矢量，,通常分解为,正应力,切应力,应力的国际单位为,Pa,（帕斯卡）,1Pa= 1N/m,2,1kPa=10,3,N/m,2,1MPa=10,6,N/m,2,1GPa=10,9,N/m,2,1.5,变形与应变,1.,位移,刚性位移；,M,M,MM,变形位移。,2.,变形,物体内任意两点的相对,位置,发生变化。,取一微正六面体,两种基本变形：,线变形,线段长度的变化,D,x,D,x+,D,s,x,y,o,g,M,M,L,N,L,N,角变形,线段间夹角的变化,目录,3.,应变,x,方向的平均应变：,正应变（线应变）,1.5,变形与应变,D,x,D,x+,D,s,x,y,o,g,M,M,L,N,L,N,M,点处沿,x,方向的应变：,切应变（角应变）,类似地，可以定义,M,点在,xy,平面内的,切应变为：,均为无量纲的量。,目录,1.5,变形与应变,例,1.2,已知：,薄板的两条边,固定，变形后,ab,ad,仍为直线。,解：,250,200,a,d,c,b,a,0.025,g,ab, ad,两边夹角的变化：,即为切应变,。,目录,求：,ab,边的,m,和,ab,、,ad,两边夹角的变化,。,拉压变形,拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲,剪切变形,杆件的基本变形：,目录,1.6,杆件变形的基本形式,扭转变形,弯曲变形,目录,1.6,杆件变形的基本形式,第二章 拉伸、压缩与剪切,(1),目 录,第二章 拉伸、压缩与剪切,目 录,2.1,轴向拉伸与压缩的概念和实例,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内,力和应力,2.3,直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力,2.4,材料拉伸时的力学性能,2.5,材料压缩时的力学性能,2.7,失效、安全因数和强度计算,2.8,轴向拉伸或压缩时的变形,2.9,轴向拉伸或压缩的应变能,2.10,拉伸、压缩超静定问题,2.11,温度应力和装配应力,2.12,应力集中的概念,2.13,剪切和挤压的实用计算,2.1,轴向拉伸与压缩的概念和实例,目 录,2.1,轴向拉伸与压缩的概念和实例,目 录,作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。,拉（压）杆的受力简图,F,F,拉伸,F,F,压缩,2.1,轴向拉伸与压缩的概念和实例,目 录,受力,特点与变形特点：,2.1,轴向拉伸与压缩的概念和实例,目 录,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,1,、截面法求内力,F,F,m,m,F,F,N,F,F,N,目 录,(1),假想沿,m-m,横截面将,杆,切开,(2),留下左半段或右半段,(3),将弃去部分对留下部分,的作用用内力代替,(4),对留下部分写平衡方程,求出内力即轴力的值,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内,力和应力,2,、轴力：截面上的内力,F,F,m,m,F,F,N,F,F,N,目 录,由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。,3,、轴力正负号：,拉为正、压为负,4,、轴力图：轴力沿,杆,件轴线的变化,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,已知,F,1,=10kN,；,F,2,=20kN,；,F,3,=35kN,；,F,4,=25kN;,试画出图示杆件的轴力图。,1,1,例题,2.1,F,N1,F,1,解：,1,、计算各段的轴力。,F,1,F,3,F,2,F,4,A,B,C,D,2,2,3,3,F,N3,F,4,F,N2,F,1,F,2,AB,段,BC,段,CD,段,2,、绘制轴力图。,目 录,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,目 录,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。,目 录,在拉（压）杆的,横截面上，,与轴力,F,N,对应的应力是正应力 。,根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。于是得静力关系：,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,目 录,平面假设,变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。,横向线,ab,、,cd,仍为直线，且仍垂直于杆轴线，只是分别平行移至,ab,、,cd,。,观察变形：,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,目 录,从平面假设可以判断：,（,1,）所有纵向纤维伸长相等,（,2,）因材料均匀，故各纤维受力相等,（,3,）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,该式为横截面上的正应力,计算公式。正应力,和轴力,F,N,同号。即拉应力为正，压应力为负。,圣维南原理,目 录,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,目 录,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,例题,2.2,图示结构，试求杆件,AB,、,CB,的应力。已知,F,=20kN,；斜杆,AB,为直径,20mm,的圆截面杆，水平杆,CB,为,15,15,的方截面杆。,F,A,B,C,解：,1,、计算各杆件的轴力。（设斜杆为,1,杆，水平杆为,2,杆）用截面法取节点,B,为研究对象,45,1,2,F,B,F,45,目 录,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,2,、计算各杆件的应力。,F,A,B,C,45,1,2,F,B,F,45,目 录,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,例题,2.2,悬臂吊车的斜杆,AB,为直径,d=20mm,的钢杆，载荷,W=15kN,。当,W,移到,A,点时，求斜杆,AB,横截面上的应力。,解：,当载荷,W,移到,A,点时，,斜杆,AB,受到拉力最大，设其值为,F,max,。,讨论横梁平衡,目 录,0.8m,A,B,C,1.9m,d,C,A,2.2,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,由三角形,ABC,求出,斜杆,AB,的轴力为,斜杆,AB,横截面上的应力为,目 录,0.8m,A,B,C,1.9m,d,C,A,2.3,直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力,实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时却是沿斜截面发生的。,目 录,2.4,材料拉伸时的力学性能,力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学特性。,一 试件和实验条件,常温、静载,目 录,2.4,材料拉伸时的力学性能,目 录,2.4,材料拉伸时的力学性能,二 低碳钢的拉伸,目 录,2.4,材料拉伸时的力学性能,明显的四个阶段,1,、弹性阶段,ob,比例极限,弹性极限,2,、屈服阶段,bc,（失去抵抗变形的能力）,屈服极限,3,、强化阶段,ce,（恢复抵抗变形的能力）,强度极限,4,、局部径缩阶段,ef,目 录,胡克定律,E,弹性模量（,GN/m,2,）,2.4,材料拉伸时的力学性能,两个塑性指标,:,断后伸长率,断面收缩率,为塑性材料,为脆性材料,低碳钢的,为塑性材料,目 录,2.4,材料拉伸时的力学性能,三 卸载定律及冷作硬化,1,、弹性范围内卸载、再加载,2,、过弹性范围卸载、再加载,材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是,卸载定律,。,材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为,冷作硬化或加工硬化,。,目 录,2.4,材料拉伸时的力学性能,四 其它材料拉伸时的力学性质,对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限,p0.2,来表示。,目 录,2.4,材料拉伸时的力学性能,对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为,0.5%,。为典型的脆性材料。,bt,拉伸强度极限（约为,140MPa,）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。,目 录,第二章 拉伸、压缩与剪切,(2),目 录,2.5,材料压缩时的力学性能,一 试件和实验条件,常温、静载,目 录,2.5,材料压缩时的力学性能,二 塑性材料（低碳钢）的压缩,拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。,屈服极限,比例极限,弹性极限,E,-,弹性摸量,目 录,2.5,材料压缩时的力学性能,三 脆性材料（铸铁）的压缩,脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同,压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限,目 录,目 录,2.5,材料压缩时的力学性能,2.7,失效、安全因数和强度计算,一 、安全因数和许用应力,工作应力,极限应力,塑性材料,脆性材料,塑性材料的许用应力,脆性材料的许用应力,目 录,n,安全因数,许用应力,2.7,失效、安全因数和强度计算,二 、强度条件,根据强度条件，可以解决三类强度计算问题,1,、强度校核：,2,、设计截面：,3,、确定许可载荷：,目 录,2.7,失效、安全因数和强度计算,例题,2.4,油缸盖与缸体采用,6,个螺栓连接。已知油缸内径,D=350mm,，油压,p=1MPa,。螺栓许用应力,=40MPa,， 求螺栓的内径。,每个螺栓承受轴力为总压力的,1/6,解：,油缸盖受到的力,根据强度条件,即螺栓的轴力为,得,即,螺栓的直径为,目 录,2.7,失效、安全因数和强度计算,例题,2.5,AC,为,50,50,5,的等边角钢，,AB,为,10,号槽钢，,=120MPa,。确定许可载荷,F,。,解：,1,、计算轴力（设斜杆为,1,杆，水平杆为,2,杆）用截面法取节点,A,为研究对象,2,、根据斜杆的强度，求许可载荷,A,F,查表得斜杆,AC,的面积为,A,1,=2,4.8cm,2,目 录,2.7,失效、安全因数和强度计算,3,、根据水平杆的强度，求许可载荷,A,F,查表得水平杆,AB,的面积为,A,2,=2,12.74cm,2,4,、许可载荷,目 录,2.8,轴向拉伸或压缩时的变形,一 纵向变形,二 横向变形,钢材的,E,约为,200GPa,，,约为,0.25,0.33,EA,为抗拉刚度,泊松比,横向应变,目 录,2.8,轴向拉伸或压缩时的变形,目 录,2.8,轴向拉伸或压缩时的变形,目 录,对于变截面杆件（如阶梯杆），或轴力变化。则,例题,2.6,AB,长,2m,面积为,200mm,2,。,AC,面积为,250mm,2,。,E,=200GPa,。,F,=10kN,。试求节点,A,的位移。,解：,1,、计算轴力。（设斜杆为,1,杆，水平杆为,2,杆）取节点,A,为研究对象,2,、根据胡克定律计算杆的变形。,A,F,30,0,2.8,轴向拉伸或压缩时的变形,斜杆伸长,水平杆缩短,目 录,3,、节点,A,的位移（以切代弧）,2.8,轴向拉伸或压缩时的变形,A,F,30,0,目 录,2.9,轴向拉伸或压缩的应变能,在 范围内,有,应变能（ ）：固体在外力作用下，因变形而储,存的能量称为应变能。,目 录,1,l,D,2.10,拉伸、压缩超静定问题,约束反力（轴力）可由静力平衡方程求得,静定结构：,目 录,2.10,拉伸、压缩超静定问题,约束反力不能由平衡方程求得,超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高,超静定度（次）数：,约束反力多于独立平衡方程的数,独立平衡方程数：,平面任意力系：,3,个平衡方程,平面共点力系：,2,个平衡方程,目 录,2.10,拉伸、压缩超静定问题,1,、列出独立的平衡方程,超静定结构的求解方法：,2,、变形几何关系,3,、物理关系,4,、补充方程,5,、求解方程组，得,例题,2.7,目 录,图示结构，,1,、,2,杆抗拉刚度为,E,1,A,1,，,3,杆抗拉刚度为,E,3,A,3,，在外力,F,作用下，求三杆轴力？,2.10,拉伸、压缩超静定问题,例题,2.8,目 录,在图示结构中，设横梁,AB,的变形可以省略，,1,，,2,两杆的横截面面积相等，材料相同。试求,1,，,2,两杆的内力。,1,、列出独立的平衡方程,解：,2,、变形几何关系,3,、物理关系,4,、补充方程,5,、求解方程组得,2.11,温度应力和装配应力,一、温度应力,已知：,材料的线胀系数,温度变化（升高）,1,、杆件的温度变形（伸长）,2,、杆端作用产生的缩短,3,、变形条件,4,、求解未知力,即,温度应力为,目 录,2.11,温度应力和装配应力,二、装配应力,已知：,加工误差为,求：各杆内力。,1,、列平衡方程,2,、变形协调条件,3,、将物理关系代入,解得,因,目 录,2.12,应力集中的概念,常见的油孔、沟槽等均有构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现象。即,理论应力集中因数,1,、形状尺寸的影响：,2,、材料的影响：,应力集中对塑性材料的影响不大；,应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。,目 录,尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。,一,.,剪切的实用计算,2-13,剪切和挤压的实用计算,铆钉连接,剪床剪钢板,F,F,目 录,销轴连接,2-13,剪切和挤压的实用计算,剪切受力特点：,作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。,变形特点：,位于两力之间的截面发生相对错动。,目 录,F,F,2-13,剪切和挤压的实用计算,F,n,n,F,F,s,n,F,n,F,s,n,n,F,F,s,F,s,n,n,F,m,m,目 录,2-13,剪切和挤压的实用计算,假设切应力在剪切面（,m-m,截面）上是均匀分布的,得实用切应力计算公式：,切应力强度条件：,许用切应力，常由实验方法确定,塑性材料：,脆性材料：,目 录,二,.,挤压的实用计算,假设应力在挤压面上是均匀分布的,得实用挤压应力公式,*注意挤压面面积的计算,F,F,2-13,剪切和挤压的实用计算,挤压力,F,bs,= F,（,1,）接触面为平面,A,bs,实际接触面面积,（,2,）接触面为圆柱面,A,bs,直径投影面面积,目 录,塑性材料：,脆性材料：,2-13,剪切和挤压的实用计算,挤压强度条件：,许用挤压应力，常由实验方法确定,(a),d,(b),d,(c),目 录,2-13,剪切和挤压的实用计算,目 录,为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足,2-13,剪切和挤压的实用计算,得：,目 录,图示接头，受轴向力,F,作用。已知,F,=50kN,，,b,=150mm,，,=10mm,，,d,=17mm,，,a,=80mm,，,=160MPa,，,=120MPa,，,bs,=320MPa,，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。,2.,板的剪切强度,解：,1.,板的拉伸强度,2-13,剪切和挤压的实用计算,例题,3-1,目 录,3.,铆钉的剪切强度,4.,板和铆钉的挤压强度,结论：强度足够。,2-13,剪切和挤压的实用计算,目 录,2-13,剪切和挤压的实用计算,例题,3-2,平键连接,图示齿轮用平键与轴连接，已知轴的直径d=70mm，键的尺寸为 ，传递的扭转力偶矩M,e,=2kN,m，键的许用应力,=60MPa,， =,100MPa。试校核键的强度。,O,F,d,Me,n,n,h,b,(a),F,S,Me,n,n,O,(b),0.5h,F,S,n,n,b,(c),目 录,2-13,剪切和挤压的实用计算,解,：,（,1,）校核键的剪切强度,由平衡方程,得,（,2,）校核键的挤压强度,由平衡方程得,或,平键满足强度要求。,目 录,小结,1.,轴力的计算和轴力图的绘制,2.,典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能,及相关指标,3.,横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算,4.,拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移,5.,拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法,目 录,6.,剪切变形的特点,剪切实用计算,挤压实用计算,第三章,扭 转,第三章 扭 转,3.1,扭转的概念和实例,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3.3,纯剪切,3.4,圆轴扭转时的应力,3.5,圆轴扭转时的变形,3.7,非圆截面杆扭转的概念,汽车传动轴,3.1,扭转的概念和实例,汽车方向盘,3.1,扭转的概念和实例,杆件受到大小相等,方向相反且,作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,杆件的横截面绕轴线产生相对转动。,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍,圆轴扭转,。,扭转受力特点及变形特点,:,3.1,扭转的概念和实例,直接计算,1.,外力偶矩,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知,轴转速,n,转,/,分钟,输出功率,P,千瓦,求：力偶矩,M,e,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,T = Me,2.,扭矩和扭矩图,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,用截面法研究横截面上的内力,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为,正,(+),反之为,负,(-),3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,扭矩图,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,解,:,(1),计算外力偶矩,例题,3.1,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,传动轴,已知转速,n=300r/min,主动轮,A,输入功率,P,A,=45kW,三个从动轮输出功率分别为,P,B,=10kW,P,C,=15kW,P,D,=20kW.,试绘轴的扭矩图,.,由公式,(2),计算扭矩,(3),扭矩图,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,传动轴上主、从动轮安装的位置不同，轴所承受的最大扭矩也不同。,A,B,C,D,A,318N,.,m,795N,.,m,1432N,.,m,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3.3,纯剪切,一、薄壁圆筒扭转时的切应力,将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分；,两端施以大小相等方向相反一对力偶矩,。,圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变；,纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。,观察到：,结果说明横截面上没有正应力,3.3,纯剪切,采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行的切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分布。,由平衡方程 ，得,二、切应力互等定理,3.3,纯剪切,在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。,纯剪切,各个截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切,切应力互等定理：,3.3,纯剪切,三、切应变 剪切胡克定律,在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量,称为切应变。,当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变,与切应力,成正比，这个关系称为,剪切胡克定律,。,G ,剪切弹性模量,(,GN/m,2,),各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：,3.4,圆轴扭转时的应力,1.变形几何关系,观察变形：,圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；,纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个,微小,角度。,圆轴扭转的平面假设：,圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。,M,e,x,p,p,q,q,M,e,x,p,p,q,q,M,e,M,e,3.4,圆轴扭转时的应力,扭转角（,rad,）,dx,微段两截面的,相对扭转角,边缘上,a,点的错动距离：,边缘上,a,点的切应变：,发生在垂直于半径的平面内。,M,e,p,p,q,q,M,e,d,c,a,b,b,p,p,q,q,3.4,圆轴扭转时的应力,距圆心为,的圆周,上,e,点的错动距离：,距圆心为,处的,切应变：,也发生在垂直于,半径的平面内。,扭转角 沿,x,轴的变化率。,d,c,a,b,b,p,p,q,q,e,e,3.4,圆轴扭转时的应力,2.物理关系,根据剪切胡克定律,距圆心为,处的,切应力：,垂直于半径,横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。,3.4,圆轴扭转时的应力,3.静力关系,横截面对形心的极惯性矩,3.4,圆轴扭转时的应力,公式适用于：,1）圆杆,2）,令,抗扭截面系数,在圆截面边缘上，有最大切应力,横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于半径。切应力的大小与其和圆心的距离成正比。,实心轴,3.4,圆轴扭转时的应力,与 的计算,空心轴,令,则,3.4,圆轴扭转时的应力,3.4,圆轴扭转时的应力,实心轴与空心轴 与 对比,3.4,圆轴扭转时的应力,扭转强度条件：,1.,等截面圆轴：,2.,阶梯形圆轴：,3.4,圆轴扭转时的应力,强度条件的应用,（1）校核强度,（2）设计截面,（3）确定载荷,3.4,圆轴扭转时的应力,例3.2,由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径,D,=89,mm,、,壁厚,=2.5,mm，,材料为20号钢，使用时的,最大扭矩,T=,1930,Nm,=70,MPa,.,校核此轴的强度。,解：（1）计算抗扭截面模量,cm,3,（2） 强度校核,满足强度要求,3.4,圆轴扭转时的应力,例3.3,如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。,解：,当实心轴和空心轴的最大应力同,为,时，两轴的许可扭矩分别为,若两轴强度相等，则,T,1,=T,2,，,于是有,3.4,圆轴扭转时的应力,在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。,可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31,%,。,实心轴和空心轴横截面面积为,已知：,P,7.5kW,n,=100r/min,最大切应力,不得超过,40MPa,空心圆轴的内外直径之比,= 0.5,。二轴长度相同。,求,:,实心轴的直径,d,1,和空心轴的外直径,D,2,；确定二轴的重量之比。,解：,首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩,实心轴,例题,3.4,3.4,圆轴扭转时的应力,空心轴,d,2,0.5,D,2,=23 mm,3.4,圆轴扭转时的应力,确定实心轴与空心轴的重量之比,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,实心轴,d,1,=45 mm,空心轴,D,2,46 mm,d,2,23 mm,P,1,=14kW,P,2,=,P,3,=,P,1,/2=7 kW,n,1,=,n,2,= 120r/min,解：,1,、计算各轴的功率与转速,2,、计算各轴的扭矩,例题,3.5,3,3.4,圆轴扭转时的应力,求,:,各,轴,横截面上的最大切应力；,并校核各轴强度。,已知：,输入功率,P,1,14kW,P,2,=,P,3,=,P,1,/2,，,n,1,=,n,2,=120r/min,z,1,=36,z,3,=12;,d,1,=70mm,d,2,=50mm,d,3,=35mm.,=30,MPa,。,.,T,1,=M,1,=1114 N m,T,2,=M,2,=557 N m,T,3,=M,3,=185.7 N m,3,、计算各轴的横截面上的,最大切应力；,校核各轴,强度,3,3.4,圆轴扭转时的应力,满足强度要求。,相对扭转角,抗扭刚度,3.5,圆轴扭转时的变形,单位长度扭转角,扭转刚度条件,3.5,圆轴扭转时的变形,许用单位扭转角,rad/m,/,m,扭转强度条件,扭转刚度条件,已知,T,、,D,和,，,校核强度,已知,T,和,，,设计截面,已知,D,和,，,确定许可载荷,已知,T,、,D,和,/,，,校核刚度,已知,T,和,/,，,设计截面,已知,D,和,/,，,确定许可载荷,3.5,圆轴扭转时的变形,例题,3.6,3.5,圆轴扭转时的变形,某传动轴所承受的扭矩,T=200Nm,，,轴的直径,d=40mm,，,材料的,=40MPa,，,剪切弹性模量,G=80GPa,，,许可单位长度转角,/,=1,/,m,。,试校核轴的强度和刚度。,传动轴的转速为,n,=500r/min,，主动轮,A,输入功率,P,1,=400kW,，从动轮,C,，,B,分别输出功率,P,2,=160kW,，,P,3,=240kW,。已知,=70MPa,，,=1/m,，,G,=80GPa,。,(1),试确定,AC,段的直径,d,1,和,BC,段的直径,d,2,；,(,2),若,AC,和,BC,两段选同一直径，试确定直径,d,；,(,3),主动轮和从动轮应如何安排才比较合理,?,解：,1.,外力偶矩,例题,3.7,3.5,圆轴扭转时的变形,2.,扭矩图,按刚度条件,3.,直径,d,1,的选取,按强度条件,3.5,圆轴扭转时的变形,按刚度条件,4.,直径,d,2,的选取,按强度条件,5.,选同一直径时,3.5,圆轴扭转时的变形,6.,将,主动轮安装在两从动轮之间,受力合理,3.5,圆轴扭转时的变形,3.7,非圆截面杆扭转的概念,平面假设不成立。变形后横截面成为一个凹凸不平的曲面，这种现象称为翘曲。,自由扭转,（截面翘曲不受约束）,约束扭转,（各截面翘曲不同）,3.7,非圆截面杆扭转的概念,杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切。,开口/闭口薄壁杆件扭转比较,3.7,非圆截面杆扭转的概念,小结,1,、受扭物体的受力和变形特点,2,、扭矩计算，扭矩图绘制,3,、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算,4,、圆轴扭转时的变形及刚度计算,