第2课时-随机变量及其分布课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,课前篇自主预习,课堂篇合作学习,第,2,课时,随机变量及其,分布,第2课时随机变量及其分布,知识网络,要点梳理,填一填,:,;,;,;,.,答案,:,二项分布,超几何分布,方差,正态分布,知识网络要点梳理填一填:;,知识网络,要点梳理,1,.,离散型随机变量的分布列,(1),随机变量,如果随机试验的结果可以用一个,变量,来表示,那么这样的变量叫做随机变量,随机变量常用字母,X,Y,等表示,.,(2),离散型随机变量,对于随机变量可能取的值,可以按一定,次序,一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量,.,(3),分布列,设离散型随机变量,X,可能取的值为,x,1,x,2,x,i,x,n,X,取每一个值,x,i,(,i=,1,2,n,),的概率为,P,(,X=x,i,),=,p,i,则称表,为随机变量,X,的概率分布列,简称,X,的分布列,.,知识网络要点梳理1.离散型随机变量的分布列为随机变量X的概率,知识网络,要点梳理,(4),分布列的两个性质,p,i,0,i=,1,2,n,;,p,1,+p,2,+,+p,n,=,1,.,2,.,两点分布,如果随机变量,X,的分布,列为,其中,0,p,1,q=,1,-p,则称离散型随机变量,X,服从参数为,p,的,两点分布,.,知识网络要点梳理(4)分布列的两个性质,知识网络,要点梳理,3,.,超几何分布列,在含有,M,件次品数的,N,件产品中,任取,n,件,其中恰有,X,件次品,n,N,M,N,n,M,N,N,*,则称分布列,为,超几何分布列,.,知识网络要点梳理3.超几何分布列nN,MN,n,M,N,知识网络,要点梳理,4,.,离散型随机变量的均值与方差,若离散型随机变量,X,的分布,列为,(1),均值,称,E,(,X,),=,x,1,p,1,+x,2,p,2,+,+x,i,p,i,+,+x,n,p,n,为随机变量,X,的均值或,数学期望,它反映了离散型随机变量取值的,平均水平,.,(2),方差,知识网络要点梳理4.离散型随机变量的均值与方差,知识网络,要点梳理,5,.,相互独立事件,(1),对于事件,A,B,若,A,的发生与,B,的发生互不影响,则称,A,B,是相互独立事件,.,(2),若,A,与,B,相互独立,则,P,(,B|A,),=,P,(,B,),P,(,AB,),=P,(,B|A,),P,(,A,),=,P,(,A,),P,(,B,),.,(4),若,P,(,AB,),=P,(,A,),P,(,B,),则,A,与,B,相互独立,.,知识网络要点梳理5.相互独立事件(4)若P(AB)=P(A),知识网络,要点梳理,6,.,独立重复试验与二项分布,(1),独立重复试验,独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有,两种,结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是,一样,的,.,(2),二项分布,在,n,次独立重复试验中,设事件,A,发生的次数为,k,在每次试验中事件,A,发生的概率为,p,则在,n,次独立重复试验中,事件,A,恰好发生,k,次的概率为,P,(,X=k,),=,p,k,(1,-p,),n-k,(,k=,0,1,2,n,),此时称随机变量,X,服从二项分布,记作,XB,(,n,p,),并称,p,为成功概率,.,知识网络要点梳理6.独立重复试验与二项分布,知识网络,要点梳理,7,.,正态分布,(1),正态分布的定义及表示,如果对于任何实数,a,b,(,ab,),随机变量,X,满足,P,(,aX,b,),(2),正态总体在三个特殊区间内取值的概率值,P,(,-,X,+,)0,.,682 7;,P,(,-,2,X,+,2,)0,.,954 5;,P,(,-,3,E,(3,X,2,),他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大,.,专题归纳高考体验(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数,专题归纳,高考体验,专题四,正态分布的实际应用,例,4,在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布,N,(80,5,2,),现已知该班同学中成绩在,80,85,分的有,17,人,.,试计算该班同学中成绩在,90,分以上的有多少人,.,思路分析,:,依题意,由在,80,85,分的同学的人数和所占百分比求出该班同学总数,再求,90,分以上同学的人数,.,专题归纳高考体验专题四正态分布的实际应用,专题归纳,高考体验,解,:,成绩服从正态分布,N,(80,5,2,),=,80,=,5,-,=,75,+,=,85,.,于是成绩在,(75,85,内的同学占全班同学的,68,.,27%,成绩在,(80,85,内的同学占全班同学的,34,.,135%,.,设该班有,x,名同学,则,x,34,.,135%,=,17,解得,x,50,.,又,-,2,=,80,-,10,=,70,+,2,=,80,+,10,=,90,成绩在,(70,90,内的同学占全班同学的,95,.,45%,.,成绩在,(80,90,内的同学占全班同学的,47,.,725%,.,成绩在,90,分以上的同学占全班同学的,2,.,275%,.,即有,50,2,.,275%1(,人,),.,故成绩在,90,分以上的仅有,1,人,.,专题归纳高考体验解:成绩服从正态分布N(80,52),专题归纳,高考体验,反思感悟,对于正态分布问题,在新课程标准中的要求不是很高,只要求同学们了解正态分布中的最基础的知识,.,但由于正态分布中体现了数形结合的重要思想,一些结合图象解决某一区间内的概率问题又成为热点问题,这就需要同学们熟练掌握正态分布的形式,记住正态总体在三个区间内取值的概率,运用对称性结合图象求相应的概率,.,专题归纳高考体验反思感悟对于正态分布问题,在新课程标准中的要,专题归纳,高考体验,跟踪训练,4,某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布,N,(70,10,2,),如果规定低于,60,分为不及格,求,:,(1),成绩不及格的学生占多少,?,(2),成绩在,80,90,分内的学生占多少,?,解,:,(1),设学生的得分情况为随机变量,X,XN,(70,10,2,),则,=,70,=,10,.,在,60,80,分之间的学生所占的比例为,P,(70,-,10,X,70,+,10)0,.,682,7,所以不及格的学生所占的比例,为,(,1,-,0,.,682,7),=,0,.,158,65,=,15,.,865%,即成绩不及格的学生占,15,.,865%,.,专题归纳高考体验跟踪训练4某年级的一次信息技术测验成绩近似服,专题归纳,高考体验,(2),成绩在,80,90,分内的学生所占的比例,为,故成绩在,80,90,分内的学生占,13,.,59,%,.,专题归纳高考体验(2)成绩在8090分内的学生所占的比例为,专题归纳,高考体验,专题五,方程思想的,运用,专题归纳高考体验专题五方程思想的运用,专题归纳,高考体验,所以,X,的分布,列为,反思感悟,方程思想是通过引入未知量,构造方程或方程组,分析问题、转化问题,使问题得到解决的一种思想,.,方程思想在本章中的应用是从问题的数量关系入手,根据分布列、均值、方差等公式构造方程,然后通过解方程,(,组,),的方法使问题得以解决,.,专题归纳高考体验所以X的分布列为 反思感悟方程思想是通过引入,专题归纳,高考体验,跟踪训练,5,某射手射击所得环数,X,的分布列如下,:,已知,X,的期望,E,(,X,),=,8,.,9,则,y,的值为,.,解析,:,x+,0,.,1,+,0,.,3,+y=,1,即,x+y=,0,.,6,.,又,7,x+,0,.,8,+,2,.,7,+,10,y=,8,.,9,化简得,7,x+,10,y=,5,.,4,.,由,联立解得,x=,0,.,2,y=,0,.,4,.,答案,:,0,.,4,专题归纳高考体验跟踪训练5某射手射击所得环数X的分布列如下:,专题归纳,高考体验,专题归纳高考体验,专题归纳,高考体验,答案,:,A,专题归纳高考体验答案:A,专题归纳,高考体验,2,.,(2019,北京高考,),改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变,.,近年来,移动支付已成为主要支付方式之一,.,为了解某校学生上个月,A,B,两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了,100,人,发现样本中,A,B,两种支付方式都不使用的有,5,人,样本中仅使用,A,和仅使用,B,的学生的支付金额分布情况如下,:,专题归纳高考体验2.(2019北京高考)改革开放以来,人们,专题归纳,高考体验,(1),从全校学生中随机抽取,1,人,估计该学生上个月,A,B,两种支付方式都使用的概率,;,(2),从样本仅使用,A,和仅使用,B,的学生中各随机抽取,1,人,以,X,表示这,2,人中上个月支付金额大于,1 000,元的人数,求,X,的分布列和数学期望,;,(3),已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化,.,现从样本仅使用,A,的学生中,随机抽查,3,人,发现他们本月的支付金额都大于,2 000,元,.,根据抽查结果,能否认为样本仅使用,A,的学生中本月支付金额大于,2 000,元的人数有变化,?,说明理由,.,专题归纳高考体验(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上,专题归纳,高考体验,解,:,(1),由题意知,样本中仅使用,A,的学生有,18,+,9,+,3,=,30,人,仅使用,B,的学生有,10,+,14,+,1,=,25,人,A,B,两种支付方式都不使用的学生有,5,人,.,故样本中,A,B,两种支付方式都使用的学生有,100,-,30,-,25,-,5,=,40,人,.,所以从全校学生中随机抽取,1,人,该学生上个月,A,B,两种支付方式都使用的概率估计,为,(2),X,的所有可能值为,0,1,2,.,记事件,C,为,“,从样本仅使用,A,的学生中随机抽取,1,人,该学生上个月的支付金额大于,1,000,元,”,事件,D,为,“,从样本仅使用,B,的学生中随机抽取,1,人,该学生上个月的支付金额大于,1,000,元,”,.,由题设知,事件,C,D,相互独立,专题归纳高考体验解:(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有1,专题归纳,高考体验,专题归纳高考体验,专题归纳,高考体验,(3),记事件,E,为,“,从样本仅使用,A,的学生中随机抽查,3,人,他们本月的支付金额都大于,2,000,元,”,.,假设样本仅使用,A,的学生中,本月支付金额大于,2,000,元的人数没有变化,则由上个月的样本数据,得,答案示例,1:,可以认为有变化,.,理由如下,:,P,(,E,),比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,.,一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于,2,000,元的人数发生了变化,.,所以可以认为有变化,.,答案示例,2:,无法确定有没有变化,.,理由如下,:,事件,E,是随机事件,P,(,E,),比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化,.,专题归纳高考体验(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机,专题归纳,高考体验,考点二,离散型随机变量的分布列、均值与方差,3,.,(2017,全国甲高考,),一批产品的二等品率为,0,.,02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取,100,次,.X,表示抽到的二等品件数,则,D,(,X,),=,.,解析,:,由题意可知抽到二等品的件数,X,服从二项分布,即,XB,(100,0,.,02),其中,p=,0,.,02,n=,100,则,D,(,X,),=np,(1,-p,),=,100,0,.,02,0,.,98,=,1,.,96,.,答案,:,1,.,96,专题归纳高考体验考点二离散型随机变量的分布列、均值与方差,专题归纳,高考体验,4,.,(2016,四川高考,),同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在,2,次试验中成功次数,X,的均值是,.,解析,:,同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有,(,正正,),(,正反,),(,反,专题归纳高考体验4.(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均,专题归纳,高考体验,5,.,(2017,山东高考,),在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下,:,将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,.,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有,6,名男志愿者,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,和,4,名女志愿者,B,1,B,2,B,3,B,4,从中随机抽取,5,人接受甲种心理暗示,另,5,人接受乙种心理暗示,.,(1),求接受甲种心理暗示的志愿者中包含,A,1,但不包含,B,1,的概率,.,(2),用,X,表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求,X,的分布列与数学期望,EX.,专题归纳高考体验5.(2017山东高考)在心理学研究中,常,专题归纳,高考体验,专题归纳高考体验,专题归纳,高考体验,6,.,(2017,课标,高考,),某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶,4,元,售价每瓶,6,元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶,2,元的价格当天全部处理完,.,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温,(,单位,:,),有关,.,如果最高气温不低于,25,需求量为,500,瓶,;,如果最高气温位于区间,20,25),需求量为,300,瓶,;,如果最高气温低于,20,需求量为,200,瓶,.,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表,:,专题归纳高考体验6.(2017课标高考)某超市计划按月订,专题归纳,高考体验,以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率,.,(1),求六月份这种酸奶一天的需求量,X,(,单位,:,瓶,),的分布列,;,(2),设六月份一天销售这种酸奶的利润为,Y,(,单位,:,元,),当六月份这种酸奶一天的进货量,n,(,单位,:,瓶,),为多少时,Y,的数学期望达到最大值,?,解,:,(1),由题意知,X,所有可能取值为,200,300,500,由表格数据,知,因此,X,的分布,列为,专题归纳高考体验以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该,专题归纳,高考体验,(2),由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为,500,至少为,200,因此只需考虑,200,n,500,.,当,300,n,500,时,若最高气温不低于,25,则,Y=,6,n-,4,n=,2,n,;,若最高气温位于区间,20,25,),则,Y=,6,300,+,2(,n-,300),-,4,n=,1,200,-,2,n,;,若最高气温低于,20,则,Y=,6,200,+,2(,n-,200),-,4,n=,800,-,2,n.,因此,EY=,2,n,0,.,4,+,(1,200,-,2,n,),0,.,4,+,(800,-,2,n,),0,.,2,=,640,-,0,.,4,n.,当,200,n,300,时,若最高气温不低于,20,则,Y=,6,n-,4,n=,2,n,;,若最高气温低于,20,则,Y=,6,200,+,2(,n-,200),-,4,n=,800,-,2,n.,因此,EY=,2,n,(0,.,4,+,0,.,4),+,(800,-,2,n,),0,.,2,=,160,+,1,.,2,n.,所以,n=,300,时,Y,的数学期望达到最大值,最大值为,520,元,.,专题归纳高考体验(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为5,专题归纳,高考体验,7,.,(2019,天津高考,),设甲、乙两位同学上学期间,每天,7:30,之前到校的概率均,为,.,假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立,.,(1),用,X,表示甲同学上学期间的三天中,7:30,之前到校的天数,求随机变量,X,的分布列和数学期望,;,(2),设,M,为事件,“,上学期间的三天中,甲同学在,7:30,之前到校的天数比乙同学在,7:30,之前到校的天数恰好多,2”,求事件,M,发生的概率,.,专题归纳高考体验7.(2019天津高考)设甲、乙两位同学上,专题归纳,高考体验,专题归纳高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳高考体验,专题归纳,高考体验,8,.,(2018,天津高考,),已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为,24,16,16,.,现采用分层抽样的方法从中抽取,7,人,进行睡眠时间的调查,.,(1),应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人,?,(2),若抽出的,7,人中有,4,人睡眠不足,3,人睡眠充足,现从这,7,人中随机抽取,3,人做进一步的身体检查,.,用,X,表示抽取的,3,人中睡眠不足的员工人数,求随机变量,X,的分布列与数学期望,;,设,A,为事件,“,抽取的,3,人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工,”,求事件,A,发生的概率,.,专题归纳高考体验8.(2018天津高考)已知某单位甲、乙、,专题归纳,高考体验,解,:,(1),由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为,3,2,2,由于采用分层抽样的方法从中抽取,7,人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取,3,人,2,人,2,人,.,(2),随机变量,X,的所有可能取值为,0,1,2,3,.,所以,随机变量,X,的分布列为,专题归纳高考体验解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人,专题归纳,高考体验,设事件,B,为,“,抽取的,3,人中,睡眠充足的员工有,1,人,睡眠不足的员工有,2,人,”;,事件,C,为,“,抽取的,3,人中,睡眠充足的员工有,2,人,睡眠不足的员工有,1,人,”,则,A=B,C,且,B,与,C,互斥,.,由,知,P,(,B,),=P,(,X=,2),P,(,C,),=P,(,X=,1,),专题归纳高考体验设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有,专题归纳,高考体验,9,.,(2018,北京高考,),电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表,:,好评率是指,:,一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值,.,假设所有电影是否获得好评相互独立,.,(1),从电影公司收集的电影中随机选取,1,部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率,;,(2),从第四类电影和第五类电影中各随机选取,1,部,估计恰有,1,部获得好评的概率,;,专题归纳高考体验9.(2018北京高考)电影公司随机收集了,专题归纳,高考体验,(3),假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,.,用,“,k,=,1”,表示第,k,类电影得到人们喜欢,“,k,=,0”,表示第,k,类电影没有得到人们喜欢,(,k=,1,2,3,4,5,6),.,写出方差,D,1,D,2,D,3,D,4,D,5,D,6,的大小关系,.,解,:,(1),设,“,从电影公司收集的电影中随机选取,1,部,这部电影是获得好评的第四类电影,”,为事件,A,第四类电影中获得好评的电影为,200,0,.,25,=,50(,部,),.,(,2),设,“,从第四类电影和第五类电影中各随机选取,1,部,恰有,1,部获得好评,”,为事件,B,P,(,B,),=,0,.,25,0,.,8,+,0,.,75,0,.,2,=,0,.,35,.,专题归纳高考体验(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中,专题归纳,高考体验,专题归纳高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳高考体验,专题归纳,高考体验,考点三,正态分布,10,.,(,2017,课标,高考,),为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取,16,个零件,并测量其尺寸,(,单位,:cm),.,根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布,N,(,2,),.,(1),假设生产状态正常,记,X,表示一天内抽取的,16,个零件中其尺寸在,(,-,3,+,3,),之外的零件数,求,P,(,X,1),及,X,的数学期望,;,(2),一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在,(,-,3,+,3,),之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,.,(,),试说明上述监控生产过程方法的合理性,;,(,),下面是检验员在一天内抽取的,16,个零件的尺寸,:,专题归纳高考体验考点三正态分布,专题归纳,高考体验,专题归纳高考体验,专题归纳,高考体验,附,:,若随机变量,Z,服从正态分布,N,(,2,),则,P,(,-,3,Z,+,3,),=,0,.,997 4,.,解,:,(1),抽取的一个零件的尺寸在,(,-,3,+,3,),之内的概率为,0,.,997,4,从而零件的尺寸在,(,-,3,+,3,),之外的概率为,0,.,002,6,故,XB,(16,0,.,002,6),.,因此,P,(,X,1),=,1,-P,(,X=,0),=,1,-,0,.,997,4,16,0,.,040,8,.,X,的数学期望为,EX=,16,0,.,002,6,=,0,.,041,6,.,(2)(,),如果生产状态正常,一个零件尺寸在,(,-,3,+,3,),之外的概率只有,0,.,002,6,一天内抽取的,16,个零件中,出现尺寸在,(,-,3,+,3,),之外的零件的概率只有,0,.,040,8,发生的概率很小,.,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的,.,专题归纳高考体验附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),专题归纳,高考体验,专题归纳高考体验,