6-2简谐振动的叠加

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,),),2,A,1,A,2,1,x,y,o,x,2,x,1,7-2,简谐振动的叠加,一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成,设有两个同频率的简谐振动,合,振动,由,矢量图得,（仍,为同,频率谐振动）,x,),A,而,1,简谐运动的合成,1.,两个同方向、同频率的简谐运动的合成,某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：,2,x,一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。,结论：,3,4,例,6,两个同方向的简谐振动曲线,(,如图所示,),（,1,）求合振动的振幅；（,2,）求合振动的振动方程。,解：,x,T,t,5,讨论,：,1.,2.,合振幅减小，,振动减弱,合振幅最大，,振动加强,3.,一般情况 为任意值,A,v,1,A,v,2,A,v,1,A,v,2,A,v,6,7,例,6,12,已知两个同方向同频率简谐振动的振动方程分别为,:,(1),求其合振动的振幅及初相位；,(2),设另一同方向同频率简谐振动的振动方程为,问初位相,为何值时,x,1,x,3,的振幅最大和最小？,解,:,（,1,）由题意知,将上述各值代入合振动振幅式：,8,合振动的初相位为：,24812,位于第三象限不合题意，,故知合振动的初相位,。,9,（,2,）当,时，,(x,1,x,3,),的振幅最大，得,当,时，,(x,2,x,3,),的振幅最小，得,10,例,6,13,两同方向同频率谐振动（例,6,13,图），合成振幅,0.2m,与第一振动相位差,30,第一振动振幅,解,（,1,）运用余弦定理,得第二振动振幅：,（,2,）,两振动位相差为：,11,例题,10-6,N,个同方向、同频率的简谐振动，它们的振,求它们的合振动的振幅和初相。,解,：,采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开,繁,琐的三角函数运算。,根据矢量合成法则,，,N,个,简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：,振动表达式可写成,:,幅相等，初相分别为,依次差一个恒量,，,12,根据简单的几何关系，可得,中各个矢量的起点和终点都在以,C,为圆心的圆周上，,因各个振动的振幅相同且相差依次恒为,，上图,令其半径为,R,，,13,考虑到,在三角形,OCM,中,OM,的长度就是合振动位移矢量,的位移,角度,就是合振动的初相，据此得,14,合振动初位相,可得合振动的表达式,当,时,(,同相合成,),，有,合振幅,最大,15,二、同一直线上两个,频率相近,的简谐振动的合成,两简谐振动分别为,合,振动,合振动不再是简谐振动，而是一种复杂振动,矢量图解法,如图,由矢量图得合振动的振幅为,16,由于两个分振动频率的微小差异而 产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象,。,合振动在,1s,内加强或减弱的次数称为,拍频,。,拍频为,三角函数法,设两个简,谐振动的振幅和初相位相同,合,振动为,17,拍的振幅为,振幅的周期为,拍频为,拍的振动曲线如右图,三、两个互相垂直的简谐振动的合成,两简,谐振动为,（,1,）,（,2,）,18,以,cos,乘以,(3),式，,cos,乘以,(4),式，后相减得,改写为,（,3,）,（,4,）,（,5,）,以,sin,乘以,(3),式，,sin,乘以,(4),式后相减得,(5),式、,(6),式分别平方后相加得合振动的轨迹方程,（,6,）,19,此式表明，,两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差（,b,a,）,。,x,A,o,-A,-B,B,a,b,y,讨论：,1.,ba,0,或,时,即,合,振动的轨迹是通过坐标原点的,直线,，如图所示。,ba,0,时，,相位相同，取正号，斜率为,B,/,A,。,ba,时，,相位相反，取负号，斜率为,-,B,/,A,。,合,振动的振幅,20,2.,当,时,合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如右图所示。,ba,=,/2,时，,合振动沿顺时针方向进行；,ba,=,/2,时，,合振动沿逆时针方向进行。,A,=,B,，,椭圆变为正圆，如右图所示。,x,A,B,o,y,-A,-B,x,A,A,-A,-A,y,o,21,22,3.,如果,(,),不是上述数值，那么合振动的轨迹为椭圆，其范围处于边长分别为,2,A,(,x,方向,),和,2,B,(,y,方向,),的矩形内。,两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，合振动曲线称为,利萨如图形,。,23,*,四、振动的分解,一个复杂的振动可以是由两个或两个以上的 简谐振动所合成。,把有限个或无限个周期分别为,T,T,/2,T,/3,(,或角频率分别为,w,2,w,3,w,),的简谐振动合成起来，所得合振动也一定是周期为,T,的周期性振动。,24,一个以,为频率的周期性函数,f,(,t,),，,可以用傅里叶级数的余弦项表示为：,：主频,：,n,次谐频,25,将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的操作，称为,频谱分析,。,将每项的振幅,A,和对应的角频率,画成图线，就是该复杂振动的,频谱,(,frequency spectrum,),，,其中每一条短线称为,谱线,。,周期性函数,f,(,t,),的,傅里叶级数,可表示为,26,