自动控制原理自学必备自动控制课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,自动控制原理,主讲：吴仲阳,第四章,线性系统的时域分析,1,绘制根轨迹的两个条件,2,绘制根轨迹的基本规则,3,参数根轨迹,退出,退出,根轨迹法,概述,研究自动控制系统的主要问题之一，是确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系，其次是研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响。根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。,退出,退出,根轨迹法,概述,研究自动控制系统的主要问题之一，是确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系，其次是研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响。,根轨迹是一种图解法,，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。,退出,绘制根轨迹的两个条件,当系统的特征方程式为：,其中：“,+,”,号对应负反馈，“,-,”,号对应正反馈。将,式,改写成,式,和式,便是用来绘制反馈系统的根轨迹方,程。其中式,为绘制负反馈系统的根,轨,迹方程，,式,为绘制正反馈系统的根轨迹方程。, , , ,退出,另外，应用根轨迹方程式,和式,绘制根轨,迹之前，需将开环传递函数,G,(,s,),化成通过,极点与零点表达的标准形式，即,式中：,k,绘制根轨迹的可变参数，称为参变量,；,p,j,(,j,=1,2,n,),为系统的开环极点,；,z,i,(,i,=1,2,m,),为系统的开环零点,；,退出,绘制根轨迹的两个条件（续）,由式,得：,式,和式,是负反馈系统根轨迹上每个点都,应同时满足的两个公式。,由式,得：, , , , ,退出,绘制根轨迹的两个条件（续）,式,和式,是正反馈系统根轨迹上每个,点都应同时满足的两个关系式。式,、式,称为,幅值条件,，式,、式,称为,相角条件,。,退出,绘制根轨迹的两个条件（续）,幅值条件和相角条件,是用图解法求系统特征,根的基本关系式，它表明当,s,平面的点在,同时满足这两个条件时，就是所研究系统在,给定参数值（例如开环增益）下对应的特征,根，所以，在,s,平面上系统的参数,k,从零到,无穷大变化时，凡是满足相角条件的点所构,成的图形就是根轨迹图。然后，根据幅值条,件定出这些点所对应的参数值。,参数,k,可以是系统的,开环增益,，,也可以是系,统的,其它参量,。,退出,绘制根轨迹的基本规则,反馈系统的根轨迹是根据根轨迹方程的相角,条件绘制的，但相角条件因为正反馈和负,反,馈而有两个，于是对应的根轨迹也有两种形,式。按相角条件式,绘制的根轨迹称为,180,根轨迹,，而按照相角条件式,绘制的,根轨迹称为,0,根轨迹,。,退出,绘制,180,根轨迹的基本规则,（,1,）根轨迹的分支数,根轨迹在,s,平面上的分支数等于控制系统特征方程,的阶数,n,，换句话说，根轨迹的分支数与闭环极,点的数目相同。,退出,（,2,）根轨迹的起点与终点,根轨迹起始于开环极点，终于开环零点。如果开,环极点数目,n,大于开环零点数目,m,时，则有,n,-,m,条根轨迹终止于无穷远处。,退出,（,3,）根轨迹的连续性与对称性,根轨迹是连续且对,称,于实轴的曲线。,退出,（,4,）实轴上的根轨迹,实轴上根轨,迹是那些在,其右侧的开,环实极点数,与开环实零,点数的总数,为奇数的线,段。,简记为,“奇是偶不是”。,退出,（,5,）,根轨迹的渐近线,如果控制系统的开环零点书,m,少于开环极点数,n,时，渐近线有,n,-,m,条，这些渐近线在实轴上交于,一点。渐近线与实轴交点坐标为,渐近线与实轴正方向的夹角为,退出,退出,做长除法并取高次项，得,退出,退出,（,6,）根轨迹与实轴的交点（分离点与会合,点）根轨迹与实轴的交点（分离点与会合,点）是当开环传递函数为,退出,根轨迹与实轴的交点是下述方程的根,（,11,）,或分离点,d,为下述方程的解,（,12,）,说明：,若在实轴上两个相邻的开环极点或两个相邻的,开环零点之间的区域为根轨迹区间，则在这区间内至,少有一个分离点。,分离点方程的解并不都是分离点的,坐标，若为实分离点，则应位于实轴上的根轨迹区间,内，若为复分离点，则应满足,2k,的相角条件。,退出,退出,退出,退出,退出,（,7,）根轨迹复数极点（或零点）的,出射角（或入射角）,根轨迹离开复数极点处的切线方向与实,轴正方向的夹角称为出射角，而其进入,开环复数零点处的切线方向与实轴正方,向的夹角称为入射角。,退出,退出,出射角为,（简记“加零去余极”）,入射角为,（简记为“加极去余零”）,式中：,所考虑的极点的出射；,所考虑的零点的入射角。,退出,（,8,）根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴交点说明该系统有部分根是纯虚,根 ，因此，将 代入,特征方程式就可得出实部和虚部方程组：,（,15,）,从方程组中解出 就是根轨迹与虚轴交点坐,标，同时还可以求出与此交点相应参数,k,的临界,值,k,c,。,说明：如果根轨迹与虚轴有交点，则劳斯计算表,中必出现全为零行，由辅助方程确定交点，进而,求得,k,c,。,退出,（,9,）闭环极点的和与积,设闭环控制系统的特征方程式为,假设它的根为 则,根据代数方程根与系数间的关系，可得,退出,（,10,）开环增益,K,的求取,对应根轨迹上每一点系统参数，可按下式计算：,开环传递函数在绘制根轨迹中的标准式为,退出,开环增益的定义为,得,开环效益可按式（,18,）到式（,21,）按需求求取,退出,例题：,1,.,(,教材例,4,-,4),系统开环传递函数,试绘制系统根轨迹。,退出,退出,解：,1.,按规则,1,，由于上述系统的特征方程的最高,阶次为四，因此其根轨迹有四个分支。,2.,按规则,2,，根轨迹的四个分支起始于四个开,环极点，即,当,k,时，它们均伸向无穷远。,因为,开环零点数,m,0,，,n,m,4,。,3.,按规则,3,，根轨迹的四个分支连续且对称于,实轴。,退出,4.,作出开环零，极点分布图如图所示。按规则,4,，,对该系统来说，实轴上属于根轨迹的线段，只能,是,0,2.73,。,5.,按规则,5,，可由式,，即,来求根轨迹与实轴的交点，本题只有分离点，用,凑试法求得分离点,-,2.05,。,退出,退出,6.,按规则,6,，该系统当,k,时，由于,n,m,4,，,则渐近线共有四条。这些渐近线与实轴正方向,的夹角由公式,求得为 这些渐近线与实轴,的交点坐标，可由公式： 求得，,代入已知数据，求得 ，渐近线与实轴,的交点坐标为,(,1.18,，,j,0,),。,退出,7.,按规则,7,，根轨迹离开开环复极点的出射角按,式,(4,21),求，代入已知数据，得,由根轨迹的对称性可直接得出 。,8.,按规则,8,，将,s,j,代进系统的特征方程得,从而得实部方程，虚部方程分别为,退出,9.,按规则,9,，由式,(4,24),，得,由式,(4,25),，得,10.,按规则,10,，由于给定系统为,I,型系统，故应用式,(4,18),，得,代入数据得,至此，即可绘出大致根轨迹。,退出,绘制,0,根轨迹的基本规则,绘制,0,根轨迹需按相角条件式（,8,）绘制，因,此，它与绘制,180,根轨迹不同之处表现在和相,角条件有关的一些基本规则上。具体来说，在绘,制,180,根轨迹的基本规则（,4,）、（,5,）、（,7,）、,（,8,）上二者将有所不同，需作如下修正：,绘制,0,度根轨迹的基本规则为：,（,4,）实轴上的根轨,实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开环实极点与,开环实零点的总数为偶数的线段，注意零属于偶,数。（简称为偶是奇不是）,退出,（,5,）根轨迹的渐近线,如果控制系统得开环零点数,m,少于开环极点数,n,时，渐近线共有,n-m,条，这些渐近线在实轴上交,于一点。,渐近线与实轴的交点坐标为,渐近线与实轴正方向的夹角为,退出,（,7,）根轨迹的入射角与出射角,始于开环复数极点的,0,根轨迹的出射角 和止,于开环复数零点的,0,根轨迹的入射角 分别按,下式计算，即,退出,（,8,）根轨迹与虚轴的交点,绘制,180,根轨迹的,10,条规则，除上述四条作相,应的修改外，其余六条对绘制,0,根轨迹完全适,用。,退出,例题,2.(,教材例,4,-,5),系统开环传递函数,试绘制系统根轨迹,。,解：,1.,按规则,1,，由于该系统的特征方程为,代入已知数据，整理得,特征方程的最高阶次是,4,，因此根轨迹有四条分支。,2.,按规则,2,，由于根轨迹的四个分支起,始于四个开环极点，即,当,k,时，它们均伸向无穷远，这是因为,n,m,4,的缘故。,退出,3.,按规则,3,，根轨迹四个分支连续且对称于实轴。,4.,作出开环零，极点分布图如图所示。按规则,4,，,对该系统来说，实轴上属于根轨迹的线段只能是，,1,，,、,1,，,4,、,4,，,三个线段，,注意，零被认为是偶数。,退出,退出,退出,5.,按规则,5,，根轨迹分离点的坐标可按下式计,算，即,代入数据整理得,应用凑试法最后得分离点坐标为,(,2.225,，,j,0,),。,退出,6.,按规则,6,，该系统当,k,时，根轨迹的渐近线共有,4,条。这是因为,n,m,4,。上述四条渐近线与实轴的交点坐标为,它们与实轴正方向的夹角为,退出,7.,没有复极点、零点，故不用求入射角与出射角。,8.,按规则,8,，求根轨迹与虚轴的交点。,控制系统的特征方程是,令 得,实部方程，虚部方程分别为,解虚部方程得,(,不符合题意,),；将,代入实部方程得,k,16,不符合题意，因此，根轨迹与虚轴无交点。,退出,9.,按规则,9,，闭环极点之和为,之积为,10.,按规则,10,，由于无，其相应的无。至此，即可绘出大致根轨迹图。,退出,例题,3,.,(,教材习题,4,-,12),已知系统开环传递函数,试绘制系统的根轨迹。,退出,解：将上式所示开环传递函数化成标准形式，得,将上式代入 （负反馈），,得,根轨迹方程为,上式说明本系统的根轨迹方程为正反馈的根轨迹方程，该系统的根轨迹必须按,0,根轨迹的绘制规则绘制。注意：这种现象只有非最小相位系统中才可能出现，故在绘制非最小相位系统的根轨迹,图时，需特别小心。,退出,1.,按规则,1,，由于本系统得特征方程为,知本系统根轨迹有两个分支。,2.,按规则,2,，根轨迹起始于 ，终止于 及无穷远点。,3.,按规则,3,，根轨迹连续且对称实轴。,4.,按规则,4,，做出开环零、极点分布图如图所,示。按规则,4,（偶是奇不是）知，根轨迹在实,轴上的线段为（,2,）及（,0,-4,）。,退出,5.,按规则,5,，渐近线与实轴交点的坐标为,渐近线与实轴正方向的夹角为,即渐近线与实轴正方向重合。,6.,按规则,6,，,由 得,其中，,a,1,为会合点坐标，,a,2,为分离点坐标。,退出,7.,按规则,7,，因无复数极点与零点，故不需求出出射角与入射角,8.,按照规则,8,，求与虚轴交点及临界参变量。令 代入特征方程，得,解得：,9.,按规则,9,，有闭环极点之和闭环极点之积,10.,按规则,10,，由于给定系统为,型系统，故根据上面求得的各项数据，绘制的给定系统的根轨迹如上图所示。从上图可见，当,0,k,0.5,时，系统不稳定工作。,退出,退出,参数根轨迹,在绘制系统的根轨迹时，并非只能以开环增益为,可变参量，实际上对绘制根轨迹所选的参数可按,需要加以选择，并称以非开环增益为可变参数绘,制的根轨迹成为反馈系数的参数根轨迹。,反馈系统参数根轨迹的绘制步骤是，首先将系统,的特征方程 整理成如下形式,的根轨迹方程，即,退出,式中,以,s,和参数,X,为自变量的开环,传递函数；,X,非开环增益的参变量；,不含参变量,X,的复变量,s,的多,项式，其中,s,最高,次,幂项的系数需,化成,+1,，即需将化成开环,传递函数的标准形式，即,退出,其次，根据式（,27,）右侧是,-,1,，按绘制,180,根,轨迹规则绘制，式（,27,）右侧是,+1,按照,0,根轨,迹规则绘制。同绘制以开环增益为参变量的普通,根轨迹一样，来绘制参变量是,x,=0,的参数根,轨迹。下面举例消化如下：,例题,4.(,教材例,4-9),已知系统的特征方程为,，试画出以,a,为参变量的根轨迹图，并求出使阻,尼比为,0.5,时,a,的值。,退出,解：,1.,恰当处理,用 去除特征方程的两边得,即,其中,2.,按绘制,180,根轨迹规则，绘制参量根轨迹,(1),按规则,1,，由于特征方程最高阶次为,3,，因此,其根轨迹有三个分支。,退出,(2),按规则,2,，根轨迹的三个分支连续且对称于实,轴。,(3),按规则,3,，根轨迹的三个分支起始于三个开环,极点，即 。由于,m,0,，当,a,时，三条根轨迹分别趋向无穷远。,(4),作出开环零，极点分布图如图所示，按规则,4,，整个负实轴都是根轨迹上的点。,(5),按规则,5,，求根轨迹的会合点。由,退出,退出,(6),按规则,6,，根轨迹的渐近线有,n,m,3,条。其与实轴的交点是,(,，,0),，其中,与实轴正方向的夹角是,(7),没有复极点，复零点，故不用求入射角与出,射角,。,退出,(7),没有复极点，复零点，故不用求入射角与出,射角。,(8),按规则,8,，求根轨迹与虚轴的交点，将,s,j,代入特征方程得,得实部，虚部方程分别为,因此，根轨迹与虚轴的交点是,2,j,。,退出,3.,求 时，,a,的值,由于,由相角条件，结合图,4,20,得,则 。,因此，,OCD,为直角三角形，,OD,2,则,OC,1,，,OA,0.5,，,AC,0.866,。,C,点坐标为，,0.5,0.866,j,由幅值条件,退出,B,C,A,D,