chp1.6行列式按行列展开

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一般说来,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,我们自然地考虑把高阶行列式表示成低阶行列式的问题,.,下面介绍行列式的另一重要性质,即行列式按行,(,列,),展开的法则就解决了这一问题,.,为此,先引入余子式和代数余子式的概念,.,1.6,行列式按某行,(,列,),展开定理,例如,一、余子式与代数余子式,记：,称为元素,a,11,的,余子式,，为三阶行列式,划去第一行第一列元素,后剩下的二阶行列式。,称为元素的,a,13,的,余子式,，为三阶行列式,划去第一行第三列元素,后剩下的二阶行列式。,称为元素,a,12,的,余子式,，为三阶行列式,划去第一行第二列元素,后剩下的二阶行列式。,因此,记：,因此，,从上式可以看出，,三阶行列式,等于,第一行的,所有,元素,分别乘上,它们,相应的代数余子式,的,和,。,称为元素,a,11,的代数余子式。,称为元素,a,12,的代数余子式。,称为元素的,a,13,的代数余子式。,三阶行列式的所有元素均存在余子式和代数余子式。行列式中,去掉第,i,行第,j,列,剩下元素按,原来次序,组成的2阶行列式记为,M,ij,称为,元素,a,ij,的,余子式,.,而,A,ij,=(,1),i,+,j,M,ij,称为,a,ij,的,代数余子式,。,并,且,，行列式,均等于某行或某列的所有元素乘上其对应的代数余子式的和：,按第,i,行展开,(,i,=1,2,3),按第,j,列展开,(,j,=1,2,3),例,计算三阶行列式,解,：,D,还可看出,+0,=84,12,=72,=,D,+36,=,24,+60,=72,=,D,+84,=,12,24,=72,=,D.,以及,例,计算行列式,解,按第二行展开，得,注：,如果行列式某行或某列,元素只有一个非,0,，其余元素,均为,0,，则行列式等于该元素,乘以相应的代数余子式。,例如,记,A,ij,=(,1),i,+,j,M,ij,称为,a,ij,的,代数余子式,。,定义：,在,n,阶行列式中，把元素,a,ij,所在的第,i,行和第,j,列划去后，留下来的,n,-1,阶行列式叫做元素,a,ij,的,余子式,，记作,M,ij,(1),行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式,.,(2),行列式,D,的元素,a,ij,的余子式,M,ij,或代数余子式,A,ij,与,D,的第,i,行元素和第,j,列元素没有关系,特别与元素,a,ij,的大小和符号均无关,.,注意：,定理,(,展开定理,),行列式,D,等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,.,可以,根据行列式的特点，利用行列式,性质,5,把,某行,（,列,）化成,只含一个非零元素,，然后按该行（列）展开。处理的过程中尽量选取含,0,比较多的行,(,或列,),或比较好处理的行,(,或列,),。展开一次，行列式降低一阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效。,(降阶法),性质,5,：,把行列式的,某一列,（行）的各元素,乘以同一数,然后加到,另一列,(,行,),对应的元素上去，,行列式值不变,例,.,计算,解法,1,：,(,直接展开),从第一行展开得,=3(,3,+,0,+,15,20,+,3,+,0,),(15 24 3,+,4,15,+,18)(0+40 1 0+25+6),2(030+10256),=15+5 70+120=40.,注：,化为三阶行列式之后，可以用,对角线法则,，,或运用行列式的性质,化为三角行列式,，,也可以再次运用展开式定理把三阶行列式,降阶为二阶行列式,再计算。,解法,2,：,(,先,利用行列式的性质把某行或某列化为只含一个非0元素后再用展开式定理)处理第三行得,该行为,零元素,最多的,行,=40.,注：可以再次运用展开式以达到降阶的目的。,注：该存在公因子4，提取出来以达到简化计算的目的。,例,计算,n,阶行列式,解,将行列式按第一行展开，得,例,证明范德蒙,(Vandermonde),行列式,(1),证,用数学归纳法,.,法国数学家,1735-1796,当,时,(1),式成立,.,假设,(1),式对于,时成立,则,计算高阶行列式,数学归纳法,是常用的方法,注：,范德蒙,(Vandermonde),行列式,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,把行列式,D,=|,a,ij,|,按第,j,行展开，有,把,a,jk,换成,a,ik,(,k,=1,n,),可得,当,i,j,时，,同理,相同,关于代数余子式的重要性质,1.,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,.,三、小结,