BBD1_3数列的极限

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,分析基础,函数,极限,连续,研究的对象,研究的方法,研究的桥梁,第一章,函数与极限,1,第一章,三、收敛数列的性质,四、极限存在准则,一、数列,第三节,数列的极限,二,、数列极限的定义,2,极限概念,是高等数学中最基本的概念，,这个概念,贯串着整个数学分析，,作用。,因数学分析的其它基本概念可用极限概念来表,达。,微分、积分都可用极限运算来描述。,掌握极限的,概念和运算很重要。,极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产,生,的。,变量的变化有各种各样的情况，,经常遇到，,也就是说它在变化的过程中无限的接近,于,某一确定的常数,。,极限概念前言,有一类变量是,稳定的状态。,这就是它在变化的过程中逐步趋向于相对,并在数学的其它领域中起重要,3,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,”,播放,刘徽,正,六边形的面积,A,1,正,十二边形的面积,A,2,一、数列,1,、割圆术：,4,1,、割圆术：,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,”,刘徽,概念的引入,5,1,、割圆术：,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,”,刘徽,概念的引入,6,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,”,1,、割圆术：,刘徽,概念的引入,7,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,”,1,、割圆术：,刘徽,概念的引入,8,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,”,1,、割圆术：,刘徽,概念的引入,9,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,”,1,、割圆术：,刘徽,概念的引入,10,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,”,1,、割圆术：,刘徽,概念的引入,11,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,”,1,、割圆术：,刘徽,概念的引入,12,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,”,1,、割圆术：,刘徽,概念的引入,13,之半，如此分割下去问：,共去棒长多少？,解：,把所去之半,排列起来：,此是,公比为,的等比数列,引例,2,：,第一次去其一半，,第二次再去所余,“,一尺之棰，日截其半，万世不竭,”,一尺之棰，,共去棰长,14,1,、数列的定义,依次排列的一列无穷多个数：,称为,数列,，,其中每一个数称为数列的,项,，,第,n,项,x,n,称为数列的,一般项,（或通项），,下标,称为数列的,项数,。,或,按照一定的法则，,定义,1,数列简记为,15,可看作一动点在数轴,上依次取,数列对应着数轴上一个点列，,数列是整标函数,16,2,、数列的性质,（,1,）有界性,设已知数列,若,存在,M 0,对于一切,n,都有,则称,数列,是,有界的；,否则，若不存在这样的正数,M,，,则称,是,无界的。,例如：,数列,都是有界的，,而,数列,是,无界的。,17,(2,）单调性,在称此,数列是,单调减少,的。,单调增加或单调减少的数列，统称为,单调数列,。,例如,:,是,单调增加数列,;,是,单调减少数列,其,特点是,数列的点作定向移动，,单增向右，,单减,向左。,反之若,在称此数列是,单调增加,的；,若,的,项,x,n,随着项数,n,的增大而增大，即满足,18,二、数列极限的定义,在,1,与,1,之间跳动,观察可见：,的,变化趋势只有两种：,是无限地接近,某个确定的常数，,就是不接近于任何确定的常数。,由此，,得到数列极限的初步定义如下：,引例,观察下列数列的变化趋势,19,定义,若,当,时，一般项,无限地接近于某个,则称,A,为数列,的,极限，记作,或,（,读作,n,趋向无穷大时，,趋向于,A,）,.,若,当,时，,不接近于任何确定常数,A,确定的常数,A,则称数列,没有极限。,20,而,无极限,我们称有极限的数列为,收敛数列，,无,极限的数列为,发散数列。,例如：,21,及常数,a,有下列关系,:,当,n,N,时,总有,记作,此时也称数列,收敛,否则称数列,发散,.,即,或,则称该数列,的极限为,a,若数列,为了精确的反映,接近,a,的程度与,n,之间的关系给出,定义,2,22,为具体的说明,几何解释,:,考察一般项为,数列，,当,n,无限增大时,x,n,与,2,的距离无限的小,.,当,n,N,时,总有,欲使,23,由,取,只要,即从,10001,项起以后的所有点,与,2,的距离小于,即有,取,只要,即从,101,项起以后的所有点,与,2,的距离小于,即有,24,例如,趋势不定,收 敛,发 散,25,三、收敛数列的性质,即,及,则有,1.,收敛数列的极限惟一,.,若,2.,收敛数列一定有界,.,即,:,若,则有,说明,:,此性质反过来不一定成立,.,例如,虽,有界但不收敛,.,数列,收敛数列必有界,.,26,2.,收敛数列一定有界,.,证,:,设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界,.,说明,:,此性质反过来不一定成立,.,例如,虽,有界但不收敛,.,有,数列,27,四、极限存在准则,1.,夹逼准则,(,准则,1),夹逼准则,;,单调有界准则,;.,28,例,1.,证明,证,:,利用夹逼准则,.,且,由,29,例,2,求,解：,因为,则原,式,1,30,例,3.,证明,证,:,利用夹逼准则,.,原式得证,令,31,2.,单调有界数列必有极限,(,准则,2,),(,证明略,),32,例,4.,设,证明数列,极限存在,.,(,P28),证,:,利用二项式公式,有,33,大,大,正,又,比较可知,34,根据准则,2,可知数列,记此极限为,e,e,为无理数,其值为,即,有,极限,.,又,35,的,极限存在，并求此极限。,证,：设,又,单调有界数列必有极限,设,例,5,求证数列,36,内容小结,1.,数列极限的,“,N,”,定义及应用,2.,收敛数列的性质,:,惟一性,;,有界性,;,3.,极限存在准则,:,夹逼准则,;,单调有界准则,;,37,P29 1(2),2(3),3(1,3,5),5,口答,作业,38,刘徽,(,约,225 295,年,),我国古代魏末晋初的杰出数学家,.,他撰写的,重,差,对,九章算术,中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献,.,他的“割圆术”求圆周率,“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“,用已知逼近未知,用近似逼近精确,”,的重要,极限思想,.,的方法,:,39,柯西,(,1789 1857),法国数学家,他对,数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集,共有,27,卷,.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的,分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用,等,有,思想有创建,响广泛而深远,.,对,数学的影,他是,经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展,.,复变函数和微分方程方面,.,一生发表论文,800,余篇,著书,7,本,40,