第二章 误差分布与精度指标

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,空间数据误差处理,Surveying Adjustment,第二章 误差分布与精度指标,第二章 误差分布于精度指标,2-1,随机变量的数字特征,2-2,正态分布,2-3,偶然误差的规律性,2-4,衡量精度的指标,2-5,精度、准确度与精确度,2-6,测量不确定度,小 结,2-1,随机变量的数字特征,一、,数学期望,E(X),表示变量集中位置,性质,E (C ) = C,（,C,为常数）,E (CX ) = CE (X ),设,X,，,Y,是两个随机变量：,E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ),当,X ,Y,独立时，,E (X Y ) = E (X )E (Y ),2-1,随机变量的数字特征,二、方差,D(X),表示随机变量偏离集中位置的离散程度,性质,D (C ) = 0,(,C,为常数,),D (CX ) = C,2,D (X ),D (X + C ) = D (X ),设,X,，,Y,是两个相互独立的随机变量,D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ),计算方差的公式,：,DX=E (X,2,) - E(X) ,2,定义式,：,DX=E X-E(X) ,2,2-1,随机变量的数字特征,三、协方差,表示两两随机变量,X,Y,相关程度,性质,cov,(X , Y ) =E(XY)- E(X) E(Y),cov,(X , Y ) =,cov,(Y , X ),cov,(,aX,bY,) =,ab,cov,(X , Y ),cov(X,1,+X,2,Y)=,cov,(X,1, Y ),+,cov,(X,2, Y ),2-1,随机变量的数字特征,四、相关系数,性质：,|,XY,| 1,0,1,正相关,=0,不相关,-1,0,负相关,2-2,正态分布,一、一维正态分布,1.,定义：若连续型随机变量,x,的概率密度函数为,其中参数,是数学期望，,是标准差，则称,x,服从正态分布，记作,2-2,正态分布,2.,数字特征,E(X)=,D(X)=,2,0.5,一定,O,2-2,正态分布,3.,性质,曲线在,x,轴上方,与,x,轴不相交,.,曲线关于直线,x=,对称,在,x=,时位于最高点,0.5,1,2,一定,O,2-2,正态分布,当,一定时， 曲线的形状由,确定。,越大，曲线越“扁平”，表示总体的分布越分散；,越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中,拐点横坐标：,x =,E(x,), =, ,0.5,1,2,一定,O,2-2,正态分布,4.,3,原则,P(,-, X ,+,) 68.3%,P(,-2 X ,+2) 95.5%,P(,-3 X ,限,)=0,小误差占优性：,P(|,小,|)P(|,大,|),对称性,抵偿性：,E()=0,或,2-3,偶然误差的规律性,3.,的密度函数,P() =,f()d,误差出现在某,一区间内的概率,面 积,的概率密度公式：,N ( 0,2,),2-4,衡量精度的指标,误差的区间,为负值,为正值,频率,频率,0.00-0.20,0.20-0.40,0.40-0.60,0.60-0.80,0.126,0.112,0.092,0.064,0.128,0.115,0.092,0.059,和,0.505,0.495,误差的区间,为负值,为正值,频率,频率,0.00-0.20,0.20-0.40,0.40-0.60,0.60-0.80,0.095,0.081,0.074,0.059,0.088,0.085,0.069,0.064,和,0.199,0.501,0.665,0.492,表,1,的误差更接近零的附近，这一组误差分布的较为密集，或者它的离散度小。,表,1,表,2,一、精度,2-4,衡量精度的指标,0,0.4,0.6,0.8,-0.8,-0.6,-0.4,表,1,表,2,2-4,衡量精度的指标,1.,定义,精度指误差分布的密集或离散的程度，也就是指离散度的大小。,2.,要点：,(1),精度是用来描述,偶然误差,的，主要是指观测结果与数学期望的接近程度。可以从曲线的陡峭程度看出精度的高度。,2-4,衡量精度的指标,(2),一组观测值对应一种分布，所以这组观测值精度相同；不同观测值，分布不同，精度也就不同。,误差的区间,为负值,为正值,频率,频率,0.00-0.20,0.20-0.40,0.40-0.60,0.60-0.80,0.126,0.112,0.092,0.064,0.128,0.115,0.092,0.059,和,0.505,0.495,误差的区间,为负值,为正值,频率,频率,0.00-0.20,0.20-0.40,0.40-0.60,0.60-0.80,0.095,0.081,0.074,0.059,0.088,0.085,0.069,0.064,和,0.199,0.501,表,1,表,2,2-4,衡量精度的指标,3.,衡量精度的方法,（,1,）直观法：分布表、直方图、误差分布曲线图,（,2,）精度指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对误差,误差的区间,为负值,为正值,频率,频率,0.00-0.20,0.20-0.40,0.40-0.60,0.60-0.80,0.126,0.112,0.092,0.064,0.128,0.115,0.092,0.059,和,0.505,0.495,2-4,衡量精度的指标,二、方差和中误差,1.,定义,（,1,）方差：设,在相同的观测条件下,得到一组独立的观测误差,i,，则其方差的定义为,？,（,2,）中误差：方差的算数平方根定义为中误差，即：,（,3,）如何衡量精度,2-4,衡量精度的指标,拐,= ,+,1,- ,1,+,2,- ,2,越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。,2-4,衡量精度的指标,2.,理论值（定义值）,方差：,中误差：,2-4,衡量精度的指标,3.,估值,方差：,中误差：,2-4,衡量精度的指标,三、平均误差,1.,定义：设,在相同的观测条件下,得到一组独立的观测误差,i,，则其平均误差的定义为,平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。,2-4,衡量精度的指标,2.,平均误差与中误差的关系,2-4,衡量精度的指标,3.,平均误差的估值,2-4,衡量精度的指标,四、或然误差,1.,定义：当观测,误差出现在,(,-,，,+,),之间的概率等于,1/2,时，即 ，,则,称为或然误差。,f(,),0,闭合差,50%,2-4,衡量精度的指标,2.,或然误差与中误差的关系,3.,或然误差的估值计算,将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为或然误差。,在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差,。,2-4,衡量精度的指标,中误差、平均误差、或然误差,当,n,不大时，中误差比平均误差更能灵敏的反映大误差的影响,中误差有明确的几何意义,平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系,世界上各国采用中误差作为衡量精度的指标，,我国也采用中误差作为衡量精度的指标。,分布曲线的拐点坐标,2-4,衡量精度的指标,例,1.,为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角,=,45,0000,，,作,12,次观测，结果为：,45,0006 44,5955 44,5958 45,0004,45,0003 45,0004 45,0000 44,5958,44,5959 44,5959 45,0006 45,0003,设,没有误差，试求观测值的中误差、平均误差和或然误差。,2-4,衡量精度的指标,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,+6,-5,-2,+4,+3,+4,0,-2,-1,-1,+6,+3,2,36,25,4,16,9,16,0,4,1,1,36,9,157,2-4,衡量精度的指标,例,2,：为了比较两架经纬仪的观测精度，分别对同一角度进行了,30,次观测，观测结果见课本表,2-3,，。改角已预先用精密经纬仪测定，其值为,76,4218.0,。设将此值作为改角的真值。试计算这两架经纬仪的中误差、平均误差和或然误差。,2-4,衡量精度的指标,解：根据表,2-3,数据得,：, , , ,1,2,，,1,2,，,1,2,第二台经纬仪的精度高,2-4,衡量精度的指标,四、,极限误差,误差落在,(,-,，,+,),，,(,-2,，,+2,),，,(,-3,，,+3,),的概率分别为,一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值,限,，并称为极限误差。,限,=,3,2-4,衡量精度的指标,中误差的统计意义,误差分布的离散度大小,对真误差做出区间估计,2-4,衡量精度的指标,五、相对误差,相对中误差,，,它是中误差与观测值之比 。在测量中一般将分子化为,1,，用 表示。,与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等称为绝对误差。,2-4,衡量精度的指标,例,3,：,有一段距离，其观测值及其中误差为,345.675m15mm,。估计这个观测值的真误差的实际可能范围是多少？并求出它的相对中误差。,|3, |,45mm,，即,-45mm45mm,2-4,衡量精度的指标,例,4,：观测了两段距离，分别为,1000m2cm,和,500m2cm,。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？,真误差不一定相等,中误差相等,相对精度不等,2-5,精度、准确度和精确度,一、精度（,precious,）,1.,协方差,（,1,）,XY,=,YX,（,2,）当,Y=X,时，,XY,=,2,X,（,3,）独立性,XY,= 0,时，,X,与,Y,不相关，也就是说,X,与,Y,相互独立。,2-5,精度、准确度和精确度,取值,理论值：,估值：,2-5,精度、准确度和精确度,2.,观测向量的精度指标,协方差阵,特点,对称矩阵,正定,矩阵,各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元素相等时，为等精度观测,为数量矩阵。,2-5,精度、准确度和精确度,例：观测向量 的协方差阵,试写出观测值,L,1,L,2,和,L,3,的中误差以及协方差,2-5,精度、准确度和精确度,3.,互协方差阵,两组观测值间精度指标,2-5,精度、准确度和精确度,（,1,）定义式,（,2,）,（,3,）,n = r = 1,时，互协方差阵就是,X,关于,Y,的协方差阵,（,4,）,D,XY,= 0,时，,X,与,Y,是相互独立的观测向量,2-5,精度、准确度和精确度,二、准确度,1.,描述,系统误差和粗差,2.,定义：观测值的真值与其数学期望之差,3.,系统误差不存在：,= 0,2-5,精度、准确度和精确度,三、精确度,1.,描述,偶然误差、系统误差和粗差,的集成，是一个全面衡量观测质量的指标。,2.,衡量指标：均方误差,3.,公式,2-5,精度、准确度和精确度,4.,当 时,观测值中只存在偶然误差，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。,2-6,测量不确定度,一、测量数据的不确定性,广义的误差，包括偶然误差、系统误差和粗差。,范围：数据误差的随机性,数据概念上的不完整性及模糊性,2-6,测量不确定度,二、测量不确定度,衡量不确定性的指标（,是标准不确定度）,1.,定义：,真误差,x,绝对值的上界,U = SUP |,x,|,2.,当,x,主要是系统误差影响时，定义为,x,的上下界：,U,1,x, U,2,2-6,测量不确定度,三、评定不确定度,1.,已知,x,概率密度，利用,估计：,P( |,x,| U ) = p,P( U,1,x, U,2,) = p,2.,概率密度未知：,合理估计,小 结,1.,名词,协方差阵,互协方差阵,小 结,2.,偶然误差的规律性,（,1,）假设：观测误差为偶然误差,（,2,）四条统计规律,3.,衡量精度的指标,表达各个指标的理论值和估值公式,4.,理解精度、准确度、精确度的概念,小 结,5.,公式汇编,真误差：,方差,理论值：,估值：,中误差,理论值：,估值：,小 结,平均误差,理论值：,估值：,与中误差关系,：,或然误差,与中误差关系：,小 结,极限误差：,限,= 3,相对误差：,补 充,随机矩阵 的数学期望（均值）定义为,