第五章—同态信号处理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 同态信号处理,5.1,广义叠加原理,5.2,乘法同态系统,5.3,卷积同态系统,5.4,复倒谱定义,5.5,复倒谱的性质,5.6,复倒谱的计算方法,第五章 同态信号处理,前面介绍的信号是加性组合信号 等，提取和分离这些信号用：线性滤波器，或最小均方误差准则下的维纳与 卡尔曼滤波器。但是实际中有些信号不是加性组合的，而是,乘性：,或卷积：,这时不能用线性滤波器来分离和提取，而需用一种称之为同态滤波器来处理。,同态的概念：是近世代数中的一个概念。,设集合,A,与 的代数运算各是,和 ，有一个从,A,到 的满射 ，,a,和,b,是,A,的任意两个元，若,成立。则 叫做对于代数运算 和 ，,A,到 的同态满射。,并称：对于代数运算 和 ，,A,与 同态。,同态系统（同态滤波器）,如果系统输入与输出看成矢量空间中的矢量，,运算规则,和 看成矢量加法；,和 看成标量与矢量乘法。,那么从输入矢量空间到输出矢量空间的一种线性变换，遵从 广义叠加原理的系统称为同态系统或同态滤波器。,5.1,广义叠加原理,线性系统是用叠加原理来定义，同态系统是一非线性滤波器由广义叠加原理来定义。,设有系统,输入分量的矢量广义相加（加，乘，卷积）,输入 矢量与标量,c,之间的一种广义乘法（乘,c,，,c,次 方，开,c,次方）,输出分量的矢量 广义相加,输出分量的矢量广义相乘,H ,x(n,),y(n,),成立，则称该系统满足广义叠加原理，称为广义线性系统或称为同态系统。,本章只讨论输入运算和输出运算相同的同态系统。,如：,乘法同态系统,输入、输出运算都为乘积。,卷积同态系统,输入、输出运算都为卷积。,2.,同态系统的规范形式,任何同态系统可表示为由三个子系统级联的规范形式：,D ,L,y(n,),x(n,),+,+,+,+,遵从广义叠加原理，把输入矢量的广义相加运算转换为,一般的,(,输出,),加法运算,。,把输入,广义相乘,转换为,一般的,(,输出,),乘法运算,。,也是一个同态系统。,为一般的线性系统，遵从线性叠加原理。,把相加转换为输出矢量加 ，为 的逆运算。,为运算 的特征系统,为运算 的特征系统,为运算 的特征系统的逆系统,输入和输出运算相同的一切同态系统彼此间差异仅在于线性部分，这个结论极为重要。这意味着特征系统一旦确定，余下的问题就是归结为设计一个不同的线性系统,L,5.2,乘法同态系统,有时要碰到一类信号是两个或两个以上分量相乘的信号。,如：在信号的传输中，把衰落效应看作是一个缓变分量和被传输的信号相乘。,调幅信号表示为载波信号和包络函数的乘积。,雷达信号的恒虚警处理，图象处理，自动增益控制，动态范围压缩等，都是乘积组合信号。,信号的一般形式为：,输入输出矢量空间中矢量间的运算都是乘法运算，,乘法运算,指数运算,则乘法同态系统的规范形式为：,适配这种相乘的特征系统 应具有以下特征,1.,特征系统,显然，具有上述运算特性的函数运算是对数运算,D ,L,x(n,),y(n,),+,+,+,+,逆特征系统是 的逆,。,与之匹配的运算当然是指数运算。,所以具体的实现是：,+,+,+,+,复对数,线性,指数,x(n,),y(n,),一般情况下，为复信号，复对数和复指数运算，存在着多,值性和解析性的问题。,在图象增强的应用中，图象的信号可模型化为照度图和反射,图的积。图象的形成是光源的照度图，乘以物体的反射图产,生了图象的亮度图。,用,照度图,反射图,照度分量和图象都表示光的能量，所以有：,反射分量,为了增强对比度和压缩动态范围，现采用同态滤波器。,为了增强对比度，应加大反射分量。,为了压缩动态范围应减少照度分量。,同态图象处理系统规范形式,乘法特征系统 将相乘变为相加,由于照度是低频信号，通常不会迅速变化，而反射是高频信号，所以线性系统 具有如图频率特性,x(n,),y(n,),逆特征系统是一个指数系统,这就达到了加强对比度和减少动态范围的目的。,5.3,卷积同态系统,卷积性组合信号也是信号处理中经常碰到的一种信号形式。在多 或混响环境中通信，录音定格时所产生的失真效应可看作是一种干扰与所需信号的卷积。在信号处理中，语言波形是声道冲激响应和激励的卷积形成的。在地震信号处理中，地震信号是由爆炸产生的地震能量脉冲，通过地层传播时形成的，可看作是能量脉冲和一个包含地层构造信息的冲激响应的卷积。,一,.,卷积同态系统的规范形式,x(n,),y(n,),1,.,卷积同态系统 将卷积 加法运算,这一功能由三步工作，用下图来完成，即卷积特征系统为：,卷积特征系统的表示,Z,变换将卷积变成乘积。,x(n,),y(n,),再复对数将两个,Z,变换的乘积转变为相加,第三步用逆,Z,变换将,Z,变换的复对数转换成时间序列,式中 叫做复倒谱。,因此，卷积特征系统 的作用是将卷积运算组合信号转换成它们的复倒谱之和，的复倒谱用 表示。,2.,线性系统：,应根据不同领域的不同要求和复倒谱 和 的,特点来设计。或者是加强一个削弱一个，或是提取一个而滤掉另一个。总之是要对 进行线性滤波。,式中，和 分别是 和 线性滤波后得到的输出，卷积特征系统的逆系统 的作用是将加法组合信号变换成卷积运算组合信号即：,这种功能实现如图,y(n,),第一步：,Z,变换 卷积逆特征系统,第二步：复指数,第三步：对上式乘积次求逆,Z,变换得到两个时间函数的卷积。（时域 频域）,应用实例：,1.,语言信号分析,2.,解混响,在混响环境中录制声音时，除有用信号外，还有若干回波信号,时反射函数，是回波相对于有用信号的时延。可表示为,式中,当只有一个回波信号时：,用卷积同态滤波器，去掉回波提取,1.,将上式代入前式，然后两边求,Z,变换得,2.,上式两边取对数得：,3.,上式两边求逆,Z,变换得：,式中，式有用信号得复倒谱，等式右边和式式回波得复倒谱，它是一个幅度迅速衰减的冲激序列，相邻冲激之间相隔 ，因此为滤去回波应设计一个梳状滤波器，所以线性部分式一个梳状滤波器，复时谱滤波器。经过该线性梳型滤波器后便只留下有用信号的复倒谱 ，然后再用卷积逆特征系统进行处理，便得到有用信号 。,复时谱滤波器特性,5.4,复倒谱定义,的复倒谱定义为,：,的时间序列的,Z,变换的复对数的逆,Z,变换。,显然，一个时间序列的复倒谱仍然是一个时间序列，容易证明实序列的复倒谱是一个实时间序列。,上述复倒谱的定义中涉及到两个待解决的理论问题，即复对数的多值性和复倒谱的解析性问题，现面分别予以讨论。,5.4.1,复对数的多值性问题,时间序列 的,Z,变换为,是周期函数,所以 的对数是复对数,可见一个 对应无穷多个 （）,不满足变换的唯一性要求，说明复对数出现了多值性问题，解决办法是一般取主值运算，即对幅角 对 取模得到主值相位。用大写：,于是：,是唯一性变换。,但这时 的单位圆上的值却不是,w,的连续函数，与 的解析性相违。,5.4.2,的解析性问题,由复倒谱定义知，是由 的求逆,Z,变换得到的，这意味着 是 的,Z,变换。,在收敛域内是,Z,的解析函数。如果 是稳定和因果的，那么 的收敛域是某个圆的外部，且包括单位圆。这意味着，在单位圆上也是解析的，这就首先要求 是,w,的连续函数。,为了保证 是,w,的连续函数，要求 在单位圆上是既无零点又无极点。由于 是稳定因果的，所以其,Z,变换 的收敛域包括单位圆，意味着 在单位 圆上无极点。,如果 在单位圆上又无零点，那就保证了 的连续性。,5.5,复倒谱的性质,设序列 的,Z,变换为：,的模都小于,1,，为单位圆内外的零点数目，为单位圆内外的极点数目。,取对数：,将上式右端,4,个求和式的对数函数展开成 和,Z,的幂级数，其系数即为逆变换。,的逆,Z,变换为,这是一个振幅逐渐衰减的正负交替的冲激序列。,因此，它对复倒谱的贡献很有规律。而跟信号 无关。所以在讨论 的复倒谱时可以不考虑 的影响。,对于 ：只有在,A0,时才有意义。,如果,A0,常对,A,取绝对值,这样 的逆,Z,变换,是一个幅值为 的单位冲激序列。,4,个求和的逆,Z,变换对 都无任何贡献。,有,宗上所述，由上式取逆,Z,变换，便得到 的复倒谱为：,由上看出：复倒谱具有下列性质,（,1,）即使时间序列 式有限长的，复倒谱也总是无限长的时间序列。不过，复倒谱的幅度至少按 的速度衰减，意味着其能量主要集中在低时端。,（,2,）最小相位序列（单位圆外无零点亦无极点），即,，所以复倒谱一定时因果序列。类似的，最大相位序列的复倒谱必为逆因果序列。,（,3,）间隔为 的冲激序列的复倒谱仍然是一个间隔为,的冲激序列。,5.6,复倒谱的计算方法,一般有三种计算复倒谱的方法：,（,1,）按定义计算方法,（,2,）复对数求导数计算方法,（,3,）递推计算方法,下面介绍复对数求导数计算法。,按定义计算复倒谱，实际上的主要工作是用一般方法,计算复对数。这里介绍另外一种计算复对数的方法。,根据定义,(1),对式,(1),两端求导数，得,(2),对式,(2),两端分别求逆,Z,变换后并在两端乘以,z,，得,于是,这里，,c,是收敛中的闭合曲线。如果收敛域包括单位圆，则由上式,得到,由于,故,这样，计算复倒谱的步骤为：,在工程应用中，一般是有限长序列，因此，在上述步骤中要用离散,傅立叶变换代替傅里叶变换。设是长为,N,的序列，于是计算步骤如,下：,这种算法避免了计算复对数的问题，但付出的代价是产生了更严重,的混叠失真，因为这种方法的计算结果是：,