7-6直线及其方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六节 空间直线及其方程,空间直线的一般方程、对称式方程与参数方程,两直线的夹角,直线与平面的夹角,定义,:,空间直线可看成两平面的交线,称为空间直线,L,的,一般方程,.,一、空间直线的一般方程,设两平面为,:,1,:,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,=0,2,:,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,=0,则,它们的交线形成的直线,L,方程为,:,定义,:,如果一非零向量平行于一条已知直线,这个向量称为这条直线的,方向向量,二、空间直线的对称式方程与参数方程,已知直线,L,上一点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),和它的一个方向向量,=(,m,n,p,),则直线,L,的位置被完全确定,.,在此条件下讨论直线,L,的方程,.,设,M,(,x,y,z,),为直线,L,上的任一点,则,M,0,M,=(,x,x,0,y,y,0,z,z,0,)/=(,m,n,p,),所以,此,方程称为直线的,对称式方程,或,点向式方程,方向向量的方向余弦称为,直线的,方向余弦,.,令,则,此方程称为直线的,参数方程,.,方程中的,m,n,p,称为直线的一组,方向数,.,例,1:,求经过,M,1,(,x,1,y,1,z,1,),M,2,(,x,2,y,2,z,2,),两点的直线方程,.,解,:,因为直线过,M,1,M,2,两点,因此可取,M,1,M,2,作为直线 的方向向量,.,即,M,1,M,2,=(,x,2,x,1,y,2,y,1,z,2,z,1,),由,点向式得所求直线的方程为,:,此方程称为直线的,两点式方程,.,例,2:,用对称式方程及参数方程表示直线,解一,:,用点向式,在直线上任取一点,(,x,0,y,0,z,0,),取,x,0,=1,得,解得,y,0,=0,z,0,=-2.,故选得平面上一点,(1,0,-2).,因所求直线与两平面的法向量都垂直,故取,=(1,1,1),(2,-1,3)=(4,-1,-3),解二,:,用两点式,已,求出一点,(1,0,-2),再求出一点,令,y,0,=-1,得,解得,x,0,=5,z,0,=-5.,故选得平面上一点,(5,-1,-5).,则所求直线的对称式方程和参数方程为,:,则所求直线的对称式方程和参数方程为,:,代入方程组又得,:,实际上这就是所求直线的参数方程,.,令,z,=,t,可得,:,对称式方程,解三:,由,两式相加得,:3,x,+4,z,+5=0,即,例,3:,一直线过点,A,(2,-3,4),且和,y,轴垂直相交,求其方程,.,解,:,因所求直线与,y,轴垂直相交,点,A,(2,-3,4),直线与,y,轴,的交点为,(0,-3,0).,又因,直线过,则由两点式可得,所求直线方程为,:,由,以上几例可见,求直线方程的思路,步骤：,两定,定点、定向,解,:,由直线,L,的方程知,:,方向向量,=(3,1,-1),可取所求平面的法向量为,:,=(3,1,-1),(1,-3,4)=(1,-13,-10),L,上点,M,(2,-1,2),和已知点,A,(1,2,-2),在所求平面上,.,由,点法式得所求平面方程为,即,例,4:,求通过直线,L,:,A,(1,2,-2),的平面的方程,.,和点,解,:,将所给直线化为参数方程,代入平面方程,得,解得,t,=-1.,再由直线的参数方程得,x,=1,y,=2,z,=2.,故,所求交点的坐标为,(1,2,2).,例,5:,求直线,与,平面,的,交点,.,直线,L,1,:,定义,:,两直线的方向向量的夹角,(,锐角,),称为两直线间的,夹角,.,三、两直线的夹角,直线,L,2,:,两直线的夹角公式,两直线的位置关系：,(1),L,1,L,2,m,1,m,2,+,n,1,n,2,+,p,1,p,2,=0,(2),L,1,/,L,2,例,6:,求过点,(-3,2,5),且与两平面,2,x,y,5,z,=1,和,x,4,z,=3,的交线平行的直线方程,.,解,:,显然已知两,平面的交线的方向向量既为所求直线,的方向向量,.,所求直线的方向向量为,=(2,-1,-5),(1,0,-4)=(4,3,1),所求直线的方程,解,:,先作一过点,M,且与已知直线垂直的平面,.,再求已知直线与该平面,的交点,N,.,垂直相交的直线的方程,.,例,7:,求过点,M,(2,1,3),且与直线,已知直线的参数方程为,:,代入平面,方程得,交点,所求直线就是经过点,M,和,N,的直线,因此,所求直线方程为,:,定义,:,直线和它在平面上的投影直线的夹角,称为直,线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,设,或,则,直线与平面的夹角公式,所以,因此,直线与平面的位置关系：,(1),L,/,Am,+,Bn,+,Cp,=0,(2),L,为所求夹角,.,例8:,设,L,:,求直线,L,与平面,的夹角,.,:,x,y,+2,z,=3,解,:,因为,五、平面束,设有直线,其中 为待定系数，取不同的值得到不同的平面,（除去第二个平面）,过 的平面束,例9,求,直线,在,平面,上的,投影直线的方程,解,过所给直线的,平面束,方程为,即,这,平面与已知平面垂直的条件是,这,就是过已知直线且垂直于平面,的,平面的方程,它与,已知平面 的交线：,即为,所求的投影直线的方程,所求平面方程为,例,10,求点,到,直线,的,距离,解一,如图所示,所求点到直线的距离,等于平行四边形的高,由,向量积的几何意义得,解二,过,M,作一,平面,则,平面的方程为,再求,直线和平面的交点,直线的参数方程为,代入平面方程，有,小结,空间直线的一般方程,.,空间直线的对称式方程与参数方程,.,两直线的夹角,.,直线与平面的夹角,.,（注意两直线的位置关系）,（注意直线与平面的位置关系）,点到直线的距离,一、内容小结,空间平面,1.,空间直线与平面的方程,一般式,点法式,截距式,三点式,空间直线,为直线的方向向量,.,一般式,对称式,参数式,为直线上一点,;,面与面的关系,2,.,线面之间的相互关系,平面,平面,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,线与线的关系,直线,直线,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,面与线间的关系,平面,:,垂直：,平行：,夹角公式：,直线,:,3.,相关的几个问题,(1),过直线,的平面束,方程,:,其中 为待定系数，取不同的值得到不同的平面,（除去第二个平面）,(2),点,的距离为,到平面,：,A x+B y+C z+D,=0,d,到直线,的距离,为,(3),点,d,二,、,实,例分析,例,1.,求与两平面,x,4,z=,3,和,2,x y,5,z,=1,的,交线,平行,且 过点,(3,2,5),的直线方程,.,提示,:,所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,例,2.,求直线,与平面,的交点,.,提示,:,化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为,（,1,，,2,，,2,）,.,例,3.,求过点,(2,1,3),且与直线,垂直相交的直线方程,.,提示,:,先求二直线交点,P,.,化已知直线方程为参数方程,代入,式,可得交点,最后利用两点式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,过已知点且垂直于已知直线,例,4.,设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦,.,提示,:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取,所求平面的法向量,所求为,例,5.,求过直线,L,:,且与平面,夹成,角的平面方程,.,提示,:,过直线,L,的平面束方程,其法向量为,已知平面的法向量为,选择,使,从而得所求平面方程,例,6.,求过点,且与两直线,都相交的直线,L,.,思路,:,先求交点,提示,:,的方程化为参数方程,设,L,与它们的交点分别为,再写直线方程,.,三点共线,例,7.,直线,绕,z,轴旋转一周,求此旋转,转曲面的方程,.,提示,:,在,L,上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,思考与练习,P338,题,21,画出下列各曲面所围图形,:,P338,题,21(1),解答,:,P338 21(2),P338 21,(4),