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*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1、物理情景,简单和谐运动,星体的环绕运动,2、地理情景,气温变化规律,月圆与月缺,3、心理、生理现象,情绪的波动,智力变化状况,体力变化状况,4、日常生活现象,涨潮与退潮,股票变化,正弦型函数,1.6 三角函数模型的简单应用,9/30/2024,1,返回,9/30/2024,2,问题例示,以下图是某简谐运动的图象，试根据图象答复以下问题：,1这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？,2从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？,3写出这个简谐运动的函数表达式。,O,A,2,B,C,D,F,E,y/cm,x/s,0.4,0.8,1.2,9/30/2024,3,课 前 热 身,1.如果某种变化着的现象具有_性,那么它就可以借助三角函数来描述.2.三角函数作为描述现实世界中_现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画_变化规律预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.3.我们可以利用搜集到的数据,作出相应的_,通过观察_并进展_而获得具体的函数模型,最后利用这个_来解决相应的实际问题.,周期,周期,周期,散点图,散点图,函数拟合,函数模型,9/30/2024,4,新 课 讲 解,1.三角函数模型的应用(1)根据图象求出函数解析式.(2)根据函数解析式作出图象.(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型.(4)利用收集的数据作出散点图,并根据散点图进展函数拟合,从而得到函数模型.,9/30/2024,5,2.解答三角函数应用题的一般步骤(1)审题:问题的给出一般是文字语言与图形语言,认真审题领悟其中的数字本质.(2)建立三角函数模型:根据“审题获得的信息转化成抽象的数学问题,建立三角函数式或三角不等式或三角方程.(3)解决三角函数模型:应用所学的三角知识,解决数学问题.(4)作出结论:将得到的数学答案,依据实际问题作出相应的结论.,9/30/2024,6,例1:如果某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(x+)+b,如下图.(1)求这一天的最大用电量和最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.,分析:利用y=Asin(x+)+b的图象和性质.,题型一 利用三角函数的图象解决问题,9/30/2024,7,解:(1)观察图象知这一题中的最大用电量为50万度,最小用电量为30万度.,注意一般的，所求出的函数模型只能,近似地,刻画这天,某个时段,的温度变化情况，因此要特别注意自变量的变化范围。,(2)观察图象可知,半个周期为,9/30/2024,8,规律技巧:确定函数关系式y=Asin(x+)就是确定其中的参数A等,从图象的特征上找答案,A主要由最值确定,是由周期确定,周期T通过特殊点观察图象求得,如相邻的最大值,最小值相差半个周期,又由图象上的点求得,确定值时,要注意它的不惟一性,一般求|中最小的.,9/30/2024,9,题型总结：,也可以利用函数的零值点来求,9/30/2024,10,练1、如图,某地一天从6,14时的温度变化曲线近似满足函数,y,=Asin(,x,+)+,b,(1)求这一天,614时,的最大温差;,(2)写出这段曲线的函数解析式.,6,10,14,y,T,/,x,t/h,10,20,30,O,9/30/2024,11,解:,(1),最大温差是20,(2)从614时的图象是函数,y,=Asin(,x,+)+,b,的半个周期的图象,6,10,14,y,T,/,x,t/h,10,20,30,O,将,x,=6,y,=10代入上式,解得,所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段温度变化,因此应当特别注意自变量的变化范围,所以,9/30/2024,12,题型二 三角函数模型在物理学中的应用,例2:如以下图所示,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点O离地面0.5 m,风车圆周上一点A从最低点O开场运动ts后与地面的距离为hm.(1)求函数h=f(t)的关系式;(2)画出函数h=f(t)的图象.,分析:此题具有周期性,可用函数y=Asin(x+)+b或y=Acos(x+)+b进展模拟.,9/30/2024,13,解:(1)如图,以O为原点,过点O的圆的切线为x轴,建立直角坐标系,设A点的坐标为(x,y),那么h=y+0.5.,规律技巧:根据题目的特点,恰当的建立坐标系,可使问题简化,作图时如没有要求,可作出示意图.,9/30/2024,14,变式训练2:如以下图弹簧挂着的小球作上下振动,时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式是 t0,+).画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,答复以下问题.,(1)小球开场振动的位置在哪里(2)小球最高最低点与平衡位置的距离分别为多少(3)经过多长时间小球往复振动一次(即周期是多少)(4)小球每1 s能往复振动多少次,9/30/2024,15,解:一个周期长度的图象如以下图.,9/30/2024,16,题型三 求生活实例模拟函数解析式 例3:受日月引力,海水会发生涨落,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度y(m)是时间t(0t24,单位:h)的函数,记作y=f(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据:经长期观察,y=f(t)曲线可以近似地看做函数y=Asint+k的图象.,t,(,h,),0,3,6,9,12,15,18,21,24,y,(,m,),10,.,0,13,.,0,9,.,9,7,.,0,10,.,0,13,.,0,10,.,1,7,.,0,10,.,0,9/30/2024,17,(1)根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式;(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5 m或5 m以上认为是平安的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5 m.如果该船在同一天内平安进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间),分析:可先根据给出的数据在坐标系中作出散点图,再结合几点关键数据求出解析式,最后解决实际问题.,9/30/2024,18,解:(1)根据数据画出散点图,如以下图,那么周期T=12,振幅A=3,k=10,y=3sin t+10(0t24).,9/30/2024,19,12k+1t12k+5(kZ).在同一天内取k=0或1,那么1t5或13t17.所以该船最早能在凌晨1时进港,最晚下午17时出港,在港口最多停留16小时.,9/30/2024,20,练3 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:,时刻,水深/米,时刻,水深/米,时刻,水深/米,0:00,5.0,9:00,2.5,18:00,5.0,3:00,7.5,12:00,5.0,21:00,2.5,6:00,5.0,15:00,7.5,24:00,5.0,9/30/2024,21,(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(准确到0.001).,(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,平安条例规定至少要有1.5米的平安间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口在港口能呆多久,(3)假设某船的吃水深度为4米.平安间隙为1.5米,该船在2:00开场卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停顿卸货,将船驶向较深的水域,9/30/2024,22,解,:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图,3 6 9 12 15 18 21 24,O,x,y,6,4,2,根据图象,可以考虑用函数,y,=,A,sin(,x,+,)+,h,刻画水深与题意之间的对应关系.,A,=2.5,h,=5,T,=12,=,0,所以,港口的水深与时间的关系可用,近似描述.,9/30/2024,23,时刻,0:00,1:00,2:00,3:00,4:00,5:00,6:00,7:00,8:00,9:00,10:00,11:00,水深,5.000,6.250,7.165,7.5,7.165,6.250,5.000,3.754,2.835,2.500,2.835,3.754,时刻,12:00,13:00,14:00,15:00,16:00,17:00,18:00,19:00,20:00,21:00,22:00,23:00,水深,5.000,6.250,7.165,7.5,7.165,6.250,5.000,3.754,2.835,2.500,2.835,3.754,由,得到港口在整点时水深的近似值:,(2)货船需要的平安水深为4+1.5=5.5(米),所以当y5.5时就可以进港.,由计算器可得,SHIFT,sin,-1,MODE,MODE,2,0.2,=,0.201357920.2014,9/30/2024,24,A,B,C,D,y=5.5,y,O,x,5,10,15,2,4,6,8,因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.,9/30/2024,25,O,2 4 6 8 10,x,y,8,6,4,2,P,(3)设在时刻x货船的平安水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同一坐标系内作出这两个函数,可以看到在67时之间两个函数图象有一个交点.,通过计算.在6时的水深约为5米,此时货船的平安水深约为4.3米.6.5时的水深约为4.2米,此时货船的平安水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的平安水深约为4米.因此为了平安,货船最好在6.5时之前停顿卸货,将船驶向较深的水域.,9/30/2024,26,三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥十分重要的作用。,具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图，通过观察散点图并进展函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题。,9/30/2024,27,变式训练3:某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24,单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acost+b,根据以上数据,函数的解析式为_.,t,(,时,),0,3,6,9,12,15,18,21,24,y,(,米,),1,.,5,1,.,0,0,.,5,1,.,0,1,.,5,1,0,.,5,0,.,99,1,.,5,9/30/2024,28,9/30/2024,29,-,太阳光,例4、如图,设地球外表某地正午太阳高度角为,为此时太阳直射纬度,为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是=90-|-|.当地夏半年取正值,冬半年负值.,如果在北京地区(纬度数约为北纬40)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少,题型四 建立函数模型，求取临界值,9/30/2024,30,分析：,太阳高度角,、楼高h与此时楼房在地面的投影长 之间的有如下关系：,h,0,=,h,tan,h,C,B,A,根据地理知识，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长.,考虑太阳直射南回归线,9/30/2024,31,解:,取太阳直射南回归线的情况考虑,此时太阳直射纬度为-2326,依题意两楼的间距应不小于MC.,根据太阳高度角的定义,有,即在盖楼时,为使后
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