固体物理 第三章 晶格振动

第三章 晶格振动,3.1晶体中原子的微振动,声,子,3.1,晶体中原子的微振动 声子,一、微振动方程及其解,设晶体由,N,个原子组成，考虑原子振动，每个原子的位矢：,平衡位置,位移矢量（原子偏离平衡位置）,以位移矢量作为考察量：,晶体的振动动能：,第三章 晶格振动,质量加权坐标,晶体振动势能,按 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数,高阶项,其中,平衡位置处的势能为零势能点,平衡位置处势能为极小值,略去高阶项（简谐近似）,晶体的振动势能：,3.1,晶体中原子的微振动 声子,拉格朗日函数,（概括整个系统动力状态的函数）,代入拉格朗日方程,由,3N,个线性齐次方程组成的方程组,其特解为,所有原子在每个方向上都作,同频率,同相位,不同振幅,的振动,称为,简谐振动,。,每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，称为一个,振动模式,。,有,N,个原子组成的晶体，一共有,3N,个振动模式,3.1,晶体中原子的微振动 声子,方程的一般解可表示为特解的线性叠加,共有,3N,种叠加方式，表示在,3N,个方向上的振动。,对某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式引起的,振动的叠加，形式极为复杂。,所以，实际晶体中每一种微振动都是,3N,个简谐振动的叠加，是一种极为复杂的运动。,3.1,晶体中原子的微振动 声子,晶体的振动势能：,3.1,晶体中原子的微振动 声子,力常数,其中势能公式中用到的力常数可以用矩阵的形式表示出来：,简正坐标和谐振子：,A,为正,交矩阵,正交变换,令,D,为由所有质量加权坐标构成的列矩阵,Q,的每一个矩阵元都是所有质量加权坐标的线性组合,这些矩阵元就是,简正坐标,运用线性变换的方法，引入,简正坐标,，,总能量：,用,Q,表达,T,和,U,，消除势能交叉项（即消去相互作用），组成拉氏函数，带入拉氏方程，求解系统运动方程：,将,N,个相互作用着的原子系统,简化为,3N,个独立的谐振子,谐振子运动方程,3.1,晶体中原子的微振动 声子,其中：,系统的总能量：,每一个谐振子能量可表示为,:,根据量子理论,二、声子,系统由,3N,个谐振子组成，每一个谐振子的能量是量子化的，能量单位即为,声子,。,声子,3.1,晶体中原子的微振动 声子,3.1,晶体中原子的微振动 声子,晶格振动模式,独立的谐振子 声子,质量加权坐标下：,简正坐标下：,能量量子化,一、简谐近似,则原子间相互作用力,近似,1,：原子间作用力简化为弹性力。,作用力常数,近似,2,：只考虑最近邻原子间作用力,3.2,一维布拉菲格子的晶格振动,+2,n,x,第,n+1,个原子对第,n,个原子的作用力,第,n-1,个原子对第,n,个原子的作用力,一维无限长单原子链,3.2,一维布拉菲格子的晶格振动,每一个原子对应一个方程，,n,个原子对应,n,个联立的线性齐次方程组,第,n,个原子的牛顿运动方程：,第,n,个原子受到的合力为（仅考虑最近邻作用）,3.2,一维布拉菲格子的晶格振动,试解：,位于 处的原子的振动解,正,k,对应于沿,+x,方向的前进波，负,k,对应于沿,-x,方向的波，这种在晶体中传播的波，称为 。,格波,一种振动模式,（,k,，,）,试解代入运动方程：,3.2,一维布拉菲格子的晶格振动,波矢,(,k,),与格波频率,(,),间的函数关系称为,色散关系,即,声子谱,。能直接地反映原子间相互作用,是晶格动力学的基础,以其为起点可进一步求得声子态密度、晶格摩尔热容、德拜温度、热膨胀系数等一系列晶体热力学性质。,3.2,一维布拉菲格子的晶格振动,格波的色散关系,由公式和色散关系谱看出，色散关系具有明显的周期性，周期为,n,2,/a,。,对于波矢为,k,1,和,k,2,k,1,n,2,/a,的两个格波具有相同的角频率，相同的能量，相同的位移。,称为,第一布里渊区,的,范围。,0,k,格波的色散关系,3.2,一维布拉菲格子的晶格振动,色散关系具有周期性,，常将,k,限制在,:,(,即倒空间中一维晶格的原胞,),整个晶格象刚体一样作整体运动,因而,恢复力为,0,故,长波极限，,3.2,一维布拉菲格子的晶格振动,邻近原子,反向运动,(,位相相反,),，,所以恢复力和频率取极大值。,二、周期性边界条件,考虑有限长的一维原子链，由,N,个原子组成；另有无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长的一维原子链，各段相应原子运动情况同。,有,N,种均匀分布的分立取值,3.2,一维布拉菲格子的晶格振动,波矢空间中，晶格振动模式,（代表点）,均匀分布。,晶格的独立振动模式数等于,N,，等于晶体的自由度数。,一组,（,k,，,）,对应一种振动模式。,3.2,一维布拉菲格子的晶格振动,波矢相差倒格矢，晶格振动相同,2a,M,m,2n,2n+1,一、运动方程,试解,代入运动方程,一维双原子链（,N,个原胞，,2N,个原子）,3.3,一维复式格子的晶格振动,线性齐次方程非平凡解条件：,0,k,色散关系具有,周期性,，将,k,限制在：,称为一维双原子链的,第一布里渊区,如,m,D,的短波部分讨论，在短波部分与实验结果不符,与温度无关的性质和实验结果不符。,讨论：,高温区,与经典的实验结论相符,3.4,晶格热容及其理论模型,(,德拜模型,),德拜,T,3,定律，很好的描述固体的低温热容。,四、频率分布函数（模式密度）,在波矢 空间，晶格振动模式是均匀分布的,表示,单位频率间隔中晶格振动的模式数,。,频率分布函数的定义：,对于三维情形，分布密度为,晶体体积,二维晶格模式的分布密度为：,空间内，频率为 的模式间所占体积,一维晶格模式分布密度为：,3.4,晶格热容及其理论模型,dk,表示两等频面间的垂直距离,又因为,令 为,对,k,的梯度,ds,dk,ds,为面积元,两等频面间的体积,频率在 的模式数,3.4,晶格热容及其理论模型,(,三维,),(,二维,),(,一维,),对,k,空间的等频面进行积分。,3.4,晶格热容及其理论模型,因子,2,来源于,（,k,）的中心反演对称性,例：德拜模型中假设,ck(c,为大于,0,常数,),k,空间,中等频面为球面,，半径为,/c,3.4,晶格热容及其理论模型,各向同性弹性介质波，一个,k,对应一个横波，两个纵波。,晶体铜的实际模式密度与德拜近似模式密度的比较,3.4,晶格热容及其理论模型,除了极低频限外，德拜密度和实际密度之间有一定的区别，低温下低能的布里渊区附近的声学声子被激发，对热容贡献,例：,是一种常见的色散关系，,在三维情形，空间中等频率面为球面，半径为,:,二维情形：,一维情形：,3.4,晶格热容及其理论模型,作业：,概念解释：声子、格波、色散关系、第一布里渊区,填写,26,页表格。,什么是频率分布函数（模式密度）？分别对,ck,和,ck,2,求解三维,N,个粒子构成的单原子晶体（基含有一个原子）的模式密度。,