资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,数学归纳法,问题,1,：,在仪容仪表检查中，,如何断定我们班的所有同学不戴耳环？,方法一：,检查每位同学，确认每位同学,不戴耳环,。,完全归纳法,方法二：检查局部同学，确认他们不戴耳环。,不完全归纳法,定义：,由一系列有限的特殊事例得出,一般结论的推理方法叫,归纳法,。,元素个数,无限多个,（如与自然数有关的命题）,完全归纳法,不完全,归纳法,结论的正确性,实际的可行性,用完全归纳法得到的结论正确吗？不完全归纳法呢？如果一个问题中的元素有无限多个 如与自然数有关的命题，怎样 归纳出其结论的正确性？,：,问题2：,正确,不一定正确,不可行,可 行,问题,3：,通过看视频发现,多米诺骨牌游戏中，能使,所有,多米诺骨牌全部倒下的条件是什么,？,1、第一块骨牌倒下,2、前一块骨牌倒下一定导致后一块骨牌倒下,思考：,这个猜测与多米诺骨牌游戏有没有相似的地方？,多米诺骨牌 数学命题证明,目标 每片骨牌倒下,要求 1第一片要倒下,2假设前片倒下，,那么后片也倒下,结论 由12知,游戏成功,神奇的比照,每个n值都成立,1 n=1时要成立,2假设n=k时成立,那么n=k+1时也成立,由12知,命题成立,一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按以下步骤进展：,1证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题 成立;,2假设当n=k(kN*,k n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.,由(1),(2)可知，命题对从n0开场的所有正整数都成立。,这种证明方法叫做 数学归纳法,数学归纳法,(归纳递推),递推的依据,(归纳奠基)递推的根底,例1.用数学归纳法证明,步骤：递推根底不可少，根底,归纳假设要用到，依据,结论写明莫忘掉。结论,例,2,：,证明方法是否正确？为什么？,n,=,1时，左边,=,1，右边,=,=1 等式成立,n=2时，左边,=,1+3=4，右边=,=4 等式成立,n=3时，左边,=,1+3+5=9，右边,=,=9 等式成立,从而可知，对,n,N,等式都成立,理由：因为是不完全归纳法，,缺乏递推的依据，,结论不可靠，即使验证 了100个正确也是不严密的。,解：等式成立。证明如下：,135(2n1),135(2n1)n,2,1,解：等式成立。证明如下：,假设当n=k时等式成立，即135(2k1)k21那么当n=k+1时，135(2k1)(2k1)k21(2k1)(k1)21当n=k+1时等式也成立对nN等式都成立,理由：第一步没有证明正确，缺乏递推的根底，从而假设没有根据。,的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?,(1).当n=1时,左边=,右边=,(2).假设n=k时命题成立 即,那么n=k+1时,左边,=右边,即n=k+1时,命题也成立.,由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.,(3),强调：,两个步骤缺一不可，,因为,有第一步无第二步，就是不完全归纳法，结论就不可靠；,有第二步而无第一步，第二步中的假设就失去了根底。,第二步的证明n=k+1成立中必须,用归纳假设，,并且证明必须详细。,思考,：,步骤,(1)中n取的第一个值n,0,一定是1吗？为什么？,答：不一定,举例说明：,用数学归纳法证明 n边形,的对角线的条数是,此时n取的第一值,1、用数学归纳法证明 35(2n1)n1n1时，第一步应验证,n,_,时，等式成立。,思考与练习：,2,在验证n=1时，左端计算所得项为 （）(A)1 (B)1+2 (C)123,(D)12321,则当nk1时，左端应在nk时的左端加上,_,2、用数学归纳法证明1232nn(2n1)时，,B,(2k+1)+(2k+2),2、数学归纳法：,证明与自然数,n,有关的命题。,小结：,今天我们学习了,1、由特殊到一般的归纳思想。,步骤：证明当n取第一个值n,0,时命题成立,假设当n=k(kN,kn,0,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。,由 可知,对nN(nn,0,)命题都成立,两个步骤缺一不可,练习：,证明：,当,n,=1时，左边,右边,假设n=k kN*)时，等式成立，,那么n=k+1时,等式成立,这就是说，当,n=k+,1时，等式也成立,根据1和2，可知等式对任何nN都成立,即,第二步的证明没有在假设条件下进展，因此不符合数学归纳法的证明要求,(4),：,成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么,？,（,n,N,）,n,n,2,1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,3,2,-,=,L,
展开阅读全文