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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课题导入,函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象，能说出它们的变化规律吗？,x,y,0,2,-2,2,-2,x,y,0,2,2,-2,-2,保持量（百分数,）,天数,1 2 3 4 5 6,0,20,40,60,80,100,单调性与最大（小）值,问题,1,画出,f(x,)=x,的图像，并观察其图像。,2,、在区间,_,上，随着,x,的增大，,f(x),的值随着,_.,o,5,-5,-5,5,f(x,)=x,1,、从左至右图象上升还是下降,_?,上升,增大,1,、在区间,_,上，,f(x,),的值随着,x,的增大而,_.,问题,2,画出 的图像，并观察图像,.,o,5,-5,-5,5,2,、 在区间,_,上，,f(x),的值随着,x,的增大而,_.,(-,0,(0,+),减小,增大,对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间 上，随,x,的增大，相应的,f(x,),也随着增大”,.,在区间 上，任取两个 ，得到,，当,时，有,这时，我们就说函数 在区间 上是,增函数,.,x,y,2,1,0,1,3,（,1,）对于函数,y=,f(x,),，若在区间,I,上，,当,x,1,时, y,1;,当,x,2,时, y,3,能说在区间,I,上函数值,y,随自变量,x,的增大而增大吗,?,思考,（,2,）,对于函数,y=,f(x,),，若在区间,I,上，,当,x,1, 2, 3, 4,时,相应地,y,1, 3, 4, 5,，,能说在区间,I,上,函数值,y,随自变量,x,的增大而增大,吗？,思考,x,y,1,0,3,4,2,1,2,3,4,x,y,x,1,0,x,2,x,3,x,n,y,1,y,2,y,3,y,n,x,应该取区间,I,内所有实数,(3),对于函数,y=,f(x,),若 区间,I,上有,n,个数,x,1,x,2,x,3,x,n,，它们的函数值满足,:,y,1,y,2,y,3,y,n,时，能说在区间,I,上,y,随,x,的增大而增大吗 ？,思考,若,x,取无数个呢,?,能否仿照前面的描述，说明函数 在区间,(-,0,上是减函数吗？,在区间,(-,0,上，任取两个 ，得到,，当,时，有,这时，我们就说函数 在区间 上是,减函数,.,函数单调性的概念：,一般地，设函数,y=f(x),的定义域为,I,，,如果对于定义域,I,内的某个区间,D,内的任意两个自变量,x,1,，,x,2,，当,x,1,x,2,时，,都有,f(x,1,)f(x,2,),，,那么就说,f(x),在区间,D,上是,增函数,如图,1 .,1,增函数,知识要点,一般地，设函数,y=f(x),的定义域为,I,，,如果对于定义域,I,内的某个区间,D,内的任意两个自变量,x,1,，,x,2,，当,x,1,f(x,2,),，那么就说,f(x),在区间,D,上是,减函数,如图,2.,y,x,0,x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),y=,f(x,),图,1,y,x,0,x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),y=,f(x,),图,2,1,、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的,局部性质,.,2,、必须是对于区间,D,内的,任意,两个自变量,x,1,，,x,2,；当,x,1,x,2,时，,总有,f(x,1,)f(x,2,),，则函数,f(x),分别是增函数或减函数,.,注意,在某区间上，,减函数,图象下降。,增函数,图象上升,x,y,o,x,y,o,如果函数,y=f(x),在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数,y=f(x),在这一区间具有（严格的）,单调性,，区间,D,叫做,y=f(x),的,单调区间,.,函数的单调性定义,例,1,下图是定义在区间,-4,5,上的函数,y=f (x),，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,-2,-3,2,3,o,解：函数,y=,f(x,),的单调区间有,-4,，,-2),，,-2,，,-1),，,-1,，,1),，,1,，,3),，,3,，,5,其中,y=f (x),在区间,-4,，,-2),，,-1,，,1),，,3,，,5,上是增函数，在区间,-2,，,-1),，,1,，,3),上是减函数,.,例,2,物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积,V,减小时，压强,p,将增大,试用函数单调性证明之,.,分析：按题意就是证明函数 在区间 上是减函数,.,证明：根据单调性的定义，设,V,1,，,V,2,是定义域,(0,，,+),上的任意两个实数，且,V,1,V,2,，,则,由V,1,，V,2,(0，+)且V,1,0, V,2,- V,1,0,又,k0,于是,所以，函数 是减函数,.,也就是说，当体积,V,减少时，压强,p,将增大,.,取值,定号,作差变形,结论,用定义证明函数单调性的步骤是：,（,1,）取值,（,2,）作差变形,（,3,）定号,（,4,）判断,根据单调性的定义得结论,即取 是该区间内的任意两个值且,即求 ，通过因式分解、配方、有理化等方法,即根据给定的区间和 的符号的确定,的符号,例 求证：函数 在区间 上是单调增函数,，则,证明：在区间（,0,，,+,）上任取两个值 且,又因为 ， ，所以说,即函数 在区间（,0,，,+,）上是单调增函数,.,若把区间改为,结论变化吗,?,思考,自己动手做一下吧,若把函数改为,结论变化吗？,探究,画出反比例函数 的图象,1,这个函数的定义域是什么？,2,它在定义域,I,上的单调性怎样？证明你的结论,x,y,0,x,x,0,分两个区间,(0,，,+),， （,- ,，,0,）来考虑其单调性,.,函数,f(x)=1/x,在,(0,，,+),上是减,函数,.,f(x,1,)- f(x,2,)=,由于,x,1,x,2,得,x,1,x,2,0,又由,x,1,0,所以,f(x,1,)- f(x,2,)0,即,f(x,1,) f(x,2,).,证明：,（,1,）,在,区间,(0,，,+),上，,设,x,1,x,2,是,(0,，,+),上任意两个实数，且,x,1,x,2,，则,（,2,）在区间（,- ,，,0,）上，同理可得到函数,f(x,)=1/x,在,（,- ,，,0,）上是减,函数。,综上所述，函数,f(x,)=1/x,在,定义域上是减函数,.,下列两个函数的图象：,图,1,o,x,0,x,M,y,y,x,o,x,0,图,2,M,观 察,观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？,思考,设函数,y=,f(x,),图象上最高点的纵坐标为,M,，,则对函数定义域内任意自变量,x,，,f(x,),与,M,的大小,关系如何？,思考,f(x,) M,(0)=1,O,1,2,2,、存在,0,，使得,(0)=1.,1,、对任意的 都有,(x)1.,1,是此函数的最大值,知识要点,M,是函数,y= f (x),的最大值（,maximum value,）：,一般地，设函数,y= f (x),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足：,（,1,）对于任意的,x I,，都有,f (x) M;,（,2,）存在 ，使得,.,一般地，设函数,y=,f(x,),的定义域为,I,，如果实数,M,满足：,（,1,）对于任意的的,xI,，都有,f(x,),M;,（,2,）存在 ，使得,，,那么我们称,M,是函数,y=,f(x,),的最小值（,minimun,value,）,.,能否仿照函数的最大值的定义，给出函数,y=,f(x,),的最小值的定义呢？,思考,函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？,思考,是,如果在函数,f(x,),定义域内存在,x,1,和,x,2,，使对定义域内任意,x,都有 成立，由此你能得到什么结论？如果函数,f(x,),的最大值是,b,，最小值是,a,，那么函数,f(x,),的值域是,a,，,b,吗？,思考,函数,f(x,),在定义域中既有最大值又有最小值,.,探究,:,函数单调性与函数的最值的关系,（,1,）若函数,y=f (x),在区间,m,，,n (m0,k 0,k 1,为常数，如果当,x,1,b,时，函数,的值域也是,1,b,求,b,的值,.,x,y,0,1,1,解：因为,所以,f(x,),在,x=1,时取得最小值为,1,，又因为,x,1,b,，由,f(x,),的图像可知道在区间,1,b,上是递增的，所以,得,b=3,或,b=-1,，因为,b1,，所以说,b=3.,教材习题答案,1.,在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低,.,由此可见，并非是工人越多，生产效率即越高,.,2.,增区间为：,8,12,13,18;,减区间为,12,13,18,20.,3.,证明：任取 且 ，因为,即,所以,f(x,)=-2x+1,在,R,上是减函数,.,4.,最小值,.,
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