FIR滤波器的设计

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,FIR,滤波器的设计,FIR,型滤波器的系统函数为：,FIR,数字滤波器的特点(与,IIR,数字滤波器比较)：,优点 ：,（1）很容易获得,严格的线性相位,，避免被处理的信号 产生相位失真；,（2）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题；,（3）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是满足；,（4）无反馈运算，运算误差小。,缺点：,（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；,（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。,如果希望得到的滤波器的理想频率响应为,那么,FIR,滤波器的设计就在于寻找一个频率响应,去逼近,，逼近方法有三种：,窗函数设计法（时域逼近）,频率采样设计法（频域逼近）,最优化设计法（等波纹逼近）,一、,FIR,数字滤波器的线性相位特性,线性相位是指 是 的线性函数,第一类线性相位,第二类线性相位,可以证明，线性相位,FIR,滤波器的单位脉冲响应应满足下面条件：,为实序列，且满足 ，,N,为长度，即， 关于 偶对称或奇对称。,分四种情况：,1,h,(,n,),偶对称，,h,(,n,) =,h,(,N,-,1,-,n,),N,为奇数,2,h,(,n,),偶对称，,h,(,n,) =,h,(,N,-,1,-,n,),N,为偶数,3.,h,(,n,),奇对称，,h,(,n,) =,-,h,(,N,-,1,-,n,),N,为奇数,4.,h,(,n,),奇对称，,h,(,n,) =,-,h,(,N,-,1,-,n,),N,为偶数,四种线性相位,FIR DF,特性：,第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。,第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，,不能设计高通和带阻。,第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，,其它滤波器都不能设计。,第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，,不能设计低通和带阻。,例1,N,=5,h,(0) =,h,(1) =,h,(3) =,h,(4) = -1/2,h,(2) = 2，,求幅度函数,H,(,)。,解：,为奇数并且,h,(,n,),满足偶对称关系,a,(0) =,h,(2) = 2,a,(1) = 2,h,(3) = -1,a,(2) = 2,h,(4) = -1,H,(,) = 2,-,cos,- cos2,= 2- (,cos,+cos2,),小结：,四种,FIR,数字滤波器的,相位特性只取决于,h,(,n,),的对称性,，而与,h,(,n,),的值无关；,幅度特性取决于,h,(,n,),的,值；,设计,FIR,数字滤波器时，在保证,h(n),对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。,二、窗函数设计法,设计思想：,窗函数设计法是从单位脉冲响应序列着手，,使,h(n),逼近理想的单位脉冲响应序列,h,d,(n)。,以一个截止频率为,c,的线性相位理想低通滤波器为例,：低通滤波器的延时,则：,理想低通滤波器特性的,h,d,(,n,),和,H,d,(,),是无限时宽的，且是非因果的，无法实现的,其中,卷积,4个特殊频率点看卷积结果：,1.,=0,时,H,(0),近似等于,H,d,(0),2.,=,c,时，,H,(,c,)=0.5,H,(0);,3.,=,c,2,/,N,时，出现正肩峰；,4.,=,c,+2,/N,时，出现负肩峰。,窗口函数对理想特性的影响：,改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为,4,/,N,，,等于,W,R,(,),的主瓣宽度。（,决定于窗长,）,过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于,W,R,(,),的旁瓣。旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强 ，,与,N,无关,。（,决定于窗口形状,）,N,增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。（ 8.95% ，吉布斯（,Gibbs）,效应）,N,的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变,W,R,(,),的绝对值大小和起伏的密度。,肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。,改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：,窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；,相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。,但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。,几种常用的窗函数：,1. 矩形窗：主瓣宽度为,4,/,N,2. 三角形窗：主瓣宽度为8,/N,3. 汉宁窗（升余弦窗）：主瓣宽度为8,/N,4.汉明窗（改进的升余弦窗）：主瓣宽度为8,/N,5.布莱克曼窗（三阶升余弦窗）：主瓣宽度为,12,/N,窗函数,旁瓣大致幅度,/ dB,过渡带宽,阻带最小衰减,/ dB,矩形窗,13,4,/N,21,三角窗,25,8,/N,25,汉宁窗,31,8,/N,44,汉明窗,41,8,/N,53,凯塞窗,其他窗是增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣；凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。,I,0,(,x,),是零阶修正贝塞尔函数；,可自由选择，决定主瓣宽度与 旁瓣衰减。,越大，,w,(,n,),窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取,49,。,=5.44,接近汉明；,=8.5,接近布莱克曼,=0,为矩形,窗函数设计,FIR,数字滤波器的步骤：,根据技术要求确定滤波器的频响特性确定其对应的单位脉冲响应。,根据对过渡带及阻带衰减指标的要求，选择窗函数形式，并估计窗口长度,N,。,计算滤波器的单位取样响应,计算滤波器频率响应,例：试用窗口法设计一个,FIR,低通滤波器。已知,求： （1）求 的长度,N ； （2）,在矩形窗口条件下，求出的表达式 ； （3）写出过渡带宽 。,解：（1）,(2),N,为奇数。且是低通滤波器， 故属于第一类广义线性相位,FIR,滤波器，截至频率,三、利用频率采样法设计,FIR,滤波器,频域采样法就是一种频域设计方法。,它的基本思想是使所设计的,FIR,数字滤波器的频率特性在某些离散的频率点上的值，准确地等于所需的滤波器在这些频率点处的值，在其他频率处的特征按照一定的优化设计则有较好的迫近。,确定频率特性指标,频率采样,IDFT,ZT,频率采样设计的基本方法存在两个问题,用频率采样法设计线性相位滤波器的条件,频率采样法的设计误差及其改进,用频率采样法设计线性相位滤波器的条件,由于具有线性相位的,FIR,滤波器，其单位采样响应是实序列，且满足条件 ，由此推导出第一类线性相位滤波器传输函数应满足的条件是：,将 写成幅度 和相位 的形式,式中,N,为奇数,N,为偶数,幅度特性必须满足的线性相位的条件,频率采样法的设计误差及其改进,由上述设计过程得到的 与 的逼近程度，,以及 与 的关系？,式中,在每个采样点上， 逼近误差为零，频响,严格地与理想频响的采样值,H,(,k,),相等;,在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而,形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波纹,N,增大，则采样点变密，逼近误差减小。,为了减小逼近误差，可以在理想频率响应的边缘加上一些过渡的采样点。但这样处理却会使得过滤带加宽。,增加采样点数,N,来提高所需滤波器的性能，使得滤波器的过渡带是窄带。但是太大会使滤波器成本和运算复杂度增加。,从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔 2,/33，,而最小阻带衰减略小于20,dB。,对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不能令人满意的。,增大阻带衰减两种方法：,1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。,例如在本例中可在,k=9,和,k=24,处各增加一个过渡带采样点,H,9,=H,24,=0.5，,使过渡带宽增加到二个频率采样间隔4,/33，,其阻带衰减增加到约 -40,dB。,2)增大,N,如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数,N。,例如，同样截止频率,c,=0.5 ,以,N=65,采样，并在,k=17,和,k=48,插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值,H,17,=H,48,=0.5886,在,k=18、47,处插入经阻带衰减最优化计算获得的采样值,H,17,=H,48,=0.1065 ,这时得到的,H(,e,j,)，,过渡带为6,/65，,小于33点采样时插入一个过渡带采样点的过渡带宽 4,/33,，而阻带衰减增加了20多分贝，达-60,dB,以上，当然，代价是滤波器 阶数增加，运算量增加。,小结：,频率采样设计法,优点,：,直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；,适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。,缺点,：截止频率难以控制。,因频率取样点都局限在,2/N,的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。 充分加大,N,，,可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。,判断题,1 .,双线形变换法不能设计高通滤波器。,2 .,并联型结构可以单独调整极点位置。,3 .,矩形窗设计的,FIR,滤波器的过渡带最窄。,4.,频率采样法设计的,FIR,滤波器，增加过渡带采样点可以增加过渡带衰减。,5.,双线性,变换法,的频率坐标变换是线性关系。,6.,FFT,可以用来计算,IIR,滤波器，以减少运算量。,7.,等波纹逼近是一种满足最大误差最小化准则的,FIR,滤波器设计。,8.,用矩形窗设计,FIR,滤波器，增加长度,N,可以改善通带波动和阻带衰减。,9 .,线性相位系统对各个频率分量的延迟是相同的。,1 . 阻带内，滤波器_,A,放大信号,B.,削弱信号,C,.,加上信号,选择题,2. 高通滤波器的截止频率是1,KHz,则将削弱哪个频率_,A. 500 Hz B.1000 Hz C. 1500 Hz,3 .,IIR,代表了_,A. impulse infrared B. infinite impulse response,C. interior intersection of a rectangle,4 .过渡带是指_,A .,带阻滤波器通带内的频带,B.,带通滤波器通带边缘的频带,C.,任意滤波器通带和阻带间的频带,5 .正弦信号的频谱的一个周期中包括_,A .,无峰点,B .1,个峰点,C. 2,个峰点、,6. 一个离散系统_,A .,若因果必稳定,B .,若稳定必因果,C .,稳定与因果无关,7 .理想低通滤波器无法实现是因为_,A.,无限长，因果,B .,有限长，非因果,C.,无限长并非因果,8.为了使,IIR,滤波器的零点和极点均易于控制，应选用_的网络结构形式,A .,级联型,B.,并联型,C .,直接型,9. 如果信号频率是120,Hz，,采样频率是150,Hz，,信号的混叠频率是_,A .75 Hz B .120 Hz C .150 Hz,10 .通带和阻带内均有波纹的,IIR,滤波器是_,A.,Butterworth,B.,Chebyshev,1 C.,椭圆,