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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2.3.2 平面与平面垂直的判定定理,1.在平面几何中角是怎样定义的？,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。,复习回忆,2.在立体几何中，“异面直线所成的角是怎样定义的？,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a /a， b/ b，我们把相交直线a 和 b所成的锐角 或直角叫做异面直线所成的角.,3.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.,范围：,( 0,o, 90,o,范围：, 0,o, 90,o,空间两个平面有,平行,、,相交,两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.,在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们,将三维空间的角转化为二维空间的角,，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.,两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角来确定的,我们常说“把门开大些，是指哪个角开大一些，,我们应该怎么刻画二面角的大小？,(1) 半平面的定义,一、二面角的概念,平面内的一条直线把平面分为两局部，其中的每一局部都叫做半平面,半平面,半平面,(2) 二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.,这条直线叫做,二面角的棱,，每个半平面叫做,二面角的面,棱,面,面,平卧式：,直立式：,l,l,A,B,(3) 二面角的画法和记法：,面1棱面2,点1棱点2,二面角,l,二面角,AB,二面角,CAB D,A,B,C,D,直立式,3、举出二面角的实例，并画出二面角。,平卧式,二面角画法,由上可知：各二面角的“张角不同，那么如何度量二面角的大小呢？,A,O,l,B,(4) 二面角的平面角,A,B,O,以二面角的棱上任意一点为端点，,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图，,，则,AOB,成为二面角 的平面角,.,它的大小与点,O,的选取无关,.,二面角的平面角必须满足：,角的边都要垂直于二面角的棱,角的顶点在棱上,角的两边分别在两个面内,10,质疑二:在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么,AOB的大小与点O,在棱上的位置有关系吗？,=,等角定理：如果一个角的两边和另,一个角的两边分别平行，并且方向相,同，那么这两个角相等。,A,B,A,B,二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。,结论：,二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。,.,二面角的取值范围一般规定为：, 0,o, 180,o,l,O,A,B,0,。,，180,。,(4) 二面角的平面角,二面角的范围为：,注1：,当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180,；,平面角是直角的二面角叫做,直二面角,，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.,O,A,B,定义法,垂线法,作棱的垂面法,一个平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，且与两半平面的交线分别是射线 OA、OB，O 为垂足，那么AOB 为二面角 -l- 的平面角,(5) 二面角的平面角的作法：,O,A,B,l,O,A,B,o,A,B,补充,练习：,指出以下各图中的二面角的平面角：,B,A,C,D,A,A,B,C,C,D,D,B,二面角,B-BC-A,O,E,O,二面角,A-BC-D,14,正方体AC中,定义法,垂线法,例1 在正方体AC,1,中，E为BC中点，,A,B,1,C,1,D,A,1,B,C,D,1,F,A,B,1,C,1,D,A,1,B,C,D,1,E,G,H,1,2,O,1、求二面角AB,1,CB的正弦值;,2、求二面角EB,1,D,1,C,1,的正切值。,例2：,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，二面角,B,1,-AA,1,-C,1,的大小为_，二面角,B-AA,1,-D,的大小为_，二面角,C,1,-BD-C,的正切值是_.,45,90,练习,A .,O,解,：,那么AD l .,sin,ADO,=, ,ADO,=60.,即二面角, l 的大小为60,.,在RtADO中，,AO,AD,练1： 二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 ，到l的距离为 4. 求二面角 l 的大小.,l,D,过 A作 AO,于O，,过 O作 OD,l,于D，连AD，,就是二面角,l, ,的平面角.,back,练 在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，那么这个二面角的大小是_.,45或135,2： 如图，M是正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,的棱AB的中点，求二面角A,1,MCA的正切值,A,B,C,D,M,A,1,B,1,C,1,D,1,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂线,AA,1,作平面角,作AHCM交CM的延长线于H，连结A,1,H,平面ABCD,解：,作AHCM交CM的延长线于H，连,结A,1,HA,1,A平面AC，AH是A,1,H,在平面AC内的射影，A,1,HCM，,A,1,HA为二面角A,1,CMA的平面角,设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，那么在,直角AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = ,back,C,D,H,G,60,0,30,0,3：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少,A,B,练习,一、计算二面角的关键是作出二面角的平面角，其作法主要有：,(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，那么两垂线所成的角为二面角的平面角,(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角,二、求二面角的思路是,“一作、二证、三算,如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？,二、,平面,与平面垂直的判定,文字语言：如果一个平面经过另一个平面,的一条垂线，那么这两个平面,互相垂直,面面垂直的判定定理,符号语言,：,A,B,图形语言：,该定理作用：“线面垂直面面垂直,应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.,证明：,C,D,A,B,E,在平面内过B点作直线BECD，那么ABE就是二面角-CD-的平面角，,设=CD，AB在上，那么BCD.,AB,，CD,，ABCD.,AB,，BE,，,ABBE. 二面角,-,CD,-,是直二面角，,.,a,back,A,B,C,P,O,证明：,由AB是圆O的直径，可得ACBC,平面PAC平面PBC,例1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.,求证：平面PAC平面PBC,练习,例2、直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。,求证：平面PAC,平面PBD。,证明：,A,B,D,P,C,O,例3,：,ABCD,是正方形，,O,是正方形的,中心，,PO,平面,ABCD,，,E,是,PC,的中点，,求证,：(1),PC,平面,BDE,；,(2)平面,PAC,BDE.,P,O,A,B,C,D,E,B,C,D,A,探究：,2.如下图：在RtABC中，ABC=900 ,P为ABC所在平,面外一点，PA平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直，,为什么？,P,A,B,C,P,A,B,C,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,作业1： 正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中， 求证：,A,B,C,D,E,2：,1.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，那么四面体SEFG中必有( ).,(A)SGEFG所在平面,(B)SDEFG所在平面,(C)GFSEF所在平面,(D)GDSEF所在平面,S,G,1,G,2,G,3,E,F,D,S,G,1,G,2,G,3,E,F,D,S,E,F,G,D,SGEFG所在平面.应选A.,E,F,back,练2 在长方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，AB=2， BC=BB,1,=1， E为C,1,D,1,的中点，求二面角 E-BD-C的大小.,A,A,1,B,B,1,C,C,1,D,D,1,E,M,F,back,3：如图，在长方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，AB = 2，BC = BB,1,=1 ，E为D,1,C,1,的中点，求二面角EBDC的大小,A,A,1,B,B,1,C,C,1,D,D,1,E,思路分析：,找基面,平面BCD,作基面的垂线,过E作EFCD于F,F,作平面角,作FGBD于G，连结EG,G,解：,过E作EFCD于F，,于是，EGF为二面角EBDC的平面角,BC = 1，CD = 2，,而EF = 1，在EFG中, ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,是长方体， EF平面BCD，且F为CD中点，,过F作FGBD于G，连结EG，那么EGBD三垂线定理,M,练习,P,A,B,C,思路分析：,找基面,找基面的垂线,作平面角,平面ABC,取AB的中点M，连结PM,M,由己知AB,2,= AC,2,+ BC,2,，ACB是直角,N,取AC的中点N，连结MN、PN,MNBC，ACBC，MNAC，由三垂线定理知PNAC,MNP就是二面角PACB的平面角,PA = PB = PC，PAMPCM,PMAM，PMCM，,PM平面ABC,连结CM，AM = BM = CM，,4.ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点,且PA=PB = PC = AC = 8, 求二面角PACB的平面角的正切值.,back,练 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？,
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