空间几何体的体积 (苏教版)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间几何体的体积,类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积。,一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少。,长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为,V,长方体,=,abc,或,V,长方体,=,Sh,这里，,S,，,h,分别表示长方体的底面积和高。,复习回顾,学生活动,（）取一摞书放在桌面上，并改变它们的位,置，观察改变前后的体积是否发生变化？,（）问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？,两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等,祖暅原理,：,（相关原理可参见P59阅读材料。）,S,h,S,S,棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积。,h,一.柱体的体积,底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。,V,柱体,=sh,类似的,底面积相等,高也相等的两个锥,体的体积也相等.,V,锥体,=,S为底面积,h为高.,s,s,二.锥体的体积,s,s,/,s,s,/,h,x,三.台体的体积,V,台体,=,上下底面积分别是s,/,s,高是h，则,V,台体,=,V,柱体,=sh,V,锥体,=,s,s,/,s,s,s,S,/,=0,S,/,=S,想一想？,上一节中，我们知道正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间有一定的关系。那么，这里柱体、锥体、台体的体积公式之间有没有类似的关系？,例1.,有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm那么约有毛坯多少个？,(铁的比重为7.8g/cm,3,),分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽毛坯的质量即可,解. V,正六棱柱,=,V=3.7410,3,-0.78510,3,2.9610,3,（mm,3,）=2.96cm,3,一个毛坯的体积为,约有毛坯,5.810,3,（2.967.8)251(个),答这堆毛坯约有251个.,数学运用,V,圆柱,=,R,高等于底面半径的旋转体体积对比,球的体,积,R,S,1,探究,（二）球的表面积,例2.一个正方体内接于半径为R的球内,求正方体的体积.,R,解:,数学运用,因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必重合，即球心就是正方体的中心，,设正方体的棱长为,a,则,所以,正方体的体积为:,(1),底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为,2.,且与该侧面内的底边所成的角为,45,，求此三棱柱的体积,(2),如图，四棱锥,P,ABCD,的底面,是边长为,1,的正方形，,PA,CD,，,PA,1,，,PD,.,求此四棱锥的体积,思路点拨,(1),由条件求出高和底面边长，再利用公式求体积；,(2),解本题的关键是求四棱锥的高，可证明,PA,底面,ABCD,，再利用公式求体积,一点通,求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形，对棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度,1,一圆锥母线长为,1,，侧面展开图圆心角为,240,，则该,圆锥的体积为,_,2,三棱柱的一个侧面面积为,S,，这个侧面到对棱的距离,为,d,，则三棱柱体积为,_,圆台上底的面积为,16 cm,2,，下底半径为,6 cm,，母线长为,10 cm,，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？,思路点拨,解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题,一点通,求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形,(,三角形或特殊四边形,),来计算对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形,3,正四棱台两底面边长为,20 cm,和,10 cm,，侧面积为,780 cm,2,，求其体积,一点通,已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径,答案：,12,5,把,3,个半径为,R,的铁球熔成一个底面半径为,R,的圆柱，则,圆柱的高为,_,答案：,4,R,6,(2011,扬州市高一期中,),棱长为,2,的正方体的外接球的表,面积是,_,答案：,12,1,求柱、锥、台体的体积时，由条件画出直观图，然后根据几何体的特点恰当进行割补，可能使复杂问题变得直观易求,2,求球与多面体的组合问题，通过多面体的一条侧棱和球心，或,“,切点,”“,接点,”,作出截面图,